波形鋼腹板PC箱梁剪力滯效應(yīng)的能量變分法解

高 麗，周 媛，王社良，劉 博

(1.淮陰工學(xué)院 計(jì)算機(jī)與軟件工程學(xué)院，江蘇 淮安 223003；2.西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，陜西 西安 710055；3.長安大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710061；4.中鐵二十局集團(tuán)有限公司，陜西 西安 710016)

波形鋼腹板預(yù)應(yīng)力混凝土(PC)箱梁橋是將薄鋼板彎折成波浪形后替換普通混凝土箱梁腹板后發(fā)展成的新型組合橋梁.由于波形鋼腹板高強(qiáng)輕質(zhì)的特性，箱梁的跨度有了新的突破，動(dòng)力響應(yīng)弱，抗震性能大為改善.憑借波形鋼腹板的褶皺效應(yīng)，腹板幾乎不抵抗軸向力，由抗彎效率高的混凝土土頂?shù)装宄袚?dān)豎向彎矩，受力更為合理、明確[1-3].鋼腹板上可支模，架設(shè)迅速，維護(hù)方便，造型優(yōu)雅，在50～100 m跨徑橋梁方案極具競(jìng)爭(zhēng)力.波形鋼腹板PC箱梁橋自20世紀(jì)80年代法國提出后，在歐洲、日本得到成功實(shí)踐，近年來，波形鋼腹板PC箱梁橋在國內(nèi)也得到了迅速發(fā)展[4-5].

與普通PC箱梁一樣，波形腹板PC箱梁頂板也會(huì)受剪切變形影響，橫向變形不均勻，導(dǎo)致正應(yīng)力沿寬度方向分布不均勻[6-7].已有的分析表明：波形鋼腹板PC組合箱梁的剪力滯問題比普通預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁更加突出.波形腹板PC箱梁設(shè)計(jì)時(shí)不能直接套用普通PC箱梁剪力滯的研究結(jié)論[8-9].在運(yùn)用能量變分法討論P(yáng)C箱梁的剪力滯效應(yīng)時(shí)，許多學(xué)者擬定了二次、三次及四次曲線作為翹曲函數(shù)，其概念清晰，求解簡單，取得了豐碩的成果[10-13].縱向翹曲位移函數(shù)與箱梁真實(shí)翹曲位移吻合程度決定了分析結(jié)果誤差大小.

對(duì)于波形鋼腹板組合箱梁的剪力滯問題，理論分析尚不全面.本文引入β階曲線和近似余弦函數(shù)作為箱梁縱向翹曲的位移模式，推導(dǎo)了等截面波形鋼腹板組合箱梁剪力滯系數(shù)的近似解，通過與空間有限元法計(jì)算結(jié)果比較，提出一個(gè)可靠度高，通用性強(qiáng)，方便實(shí)用的波形腹板PC箱梁剪力滯系數(shù)計(jì)算方法.

1 β次翹曲位移函數(shù)的變分解

基本假定：(1)由于波形鋼腹板預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁在豎向荷載作用下服從“擬平截面假定”[14],可引入兩個(gè)廣義位移函數(shù)來描述翼板變形：

(1)

(2)

式中：u(x)為翼緣板最大轉(zhuǎn)角差，其余幾何參數(shù)如圖1示.

圖1 波形鋼腹板箱梁截面參數(shù)

(2)翼緣板為應(yīng)力沿厚度均勻分布的薄板，忽略板的平面外剪應(yīng)變和橫向彎曲變形等微小量，不考慮波形鋼腹板的剪切變形.

當(dāng)箱梁彎曲時(shí)，外力勢(shì)能：

(3)

應(yīng)變—位移幾何關(guān)系為

(4)

上下翼板應(yīng)變能分別為

(5)

式中：E、G分別為翼緣板的彈性模量和剪切模量.忽略翼緣板自身慣性矩，截面慣性矩為

(6)

(7)

由最小勢(shì)能原理有

δ∏=0

(8)

分部積分后可得：

(9)

根據(jù)變分原理有

(10)

(11)

(12)

可得簡化后的表達(dá)式:

(13)

式中：M、Q分別為計(jì)算截面的彎矩和剪力.

當(dāng)?shù)冉孛婧喼Я撼惺芗泻奢dP時(shí)，解的一般形式為

(14)

式中：u*為剪力Q(x)分布有關(guān)的特解；C1，C2為待定系數(shù)，由邊界條件確定.

翼緣板縱向正應(yīng)力：

(15)

固支邊界：

u=0

(16)

(17)

同理，可得到其他力學(xué)圖式和荷載工況下的位移和邊界條件的具體表達(dá)式，最后導(dǎo)出應(yīng)力并將剪力滯系數(shù)λ1匯總到表1.

2 近似余弦函數(shù)的變分解

余弦函數(shù)的泰勒展開公式：

(18)

由上式可以看出，余弦函數(shù)本質(zhì)上是一個(gè)高階多項(xiàng)式，高次冪的系數(shù)很小，一般取前三項(xiàng)已有足夠的精度，常數(shù)項(xiàng)不影響應(yīng)力的橫向分布，可以假定翹曲位移模式為

(19)

式中：ξ,η,ζ∈[-1,1]任意參數(shù)，為保證腹板處位移的連續(xù)條件還應(yīng)有：ξ+η+ζ=1

(20)

式中：

(21)

(22)

(23)

運(yùn)用最小勢(shì)能原理和變分原理，最后得到應(yīng)力表達(dá)式及邊界條件，并將剪力滯系數(shù)λ2匯總于表1：

表1 剪力滯系數(shù)實(shí)用計(jì)算公式匯總

(24)

(25)

續(xù)表1

3 算例分析

采用兩種有限元分析軟件ANSYS和MIDAS/FEA同時(shí)建立計(jì)算跨徑為30 m的簡支梁和15 m的懸臂梁的1/4空間模型，如圖2所示.

圖2 有限元模型

模型梁為單箱單室波形鋼腹板箱梁，梁高3 m，頂板寬5.5 m，懸臂長1.25 m，底板寬3.5 m.頂?shù)装灏搴?.4 m.端部設(shè)厚度為0.9 m的端隔板.波形鋼腹板厚為10 mm，波長0.9 m，直幅寬0.25 m，斜幅寬0.2 m，波高0.12 m.混凝土強(qiáng)度C55，彈模為3.5×104MPa，泊松比為0.2，采用帶中間節(jié)點(diǎn)的高次實(shí)體單元模擬.鋼腹板材質(zhì)為Q345c優(yōu)質(zhì)低碳鋼，彈模2.06×102GPa，泊松比0.3，選用shell63板單元建模，并與混凝土頂?shù)装寮岸烁舭骞补?jié)點(diǎn).在對(duì)稱面施加對(duì)稱約束，簡支梁的支座位置采用面上鉸約束，懸臂梁的固定端約束全部自由度.暫不計(jì)入預(yù)應(yīng)力單元的影響.由于混凝土頂?shù)装逶阡摶旃补?jié)點(diǎn)區(qū)域剛度不均勻，受力復(fù)雜，恰好又是最大剪力滯系數(shù)的敏感位置，網(wǎng)格務(wù)需精細(xì)、中正，豎向至少4層單元.模型采用柔度較好的20個(gè)節(jié)點(diǎn)單元solid95，共計(jì)41 752個(gè)單元和198 917個(gè)節(jié)點(diǎn).

表2給出了集中荷載20 kN下簡支梁和懸臂梁典型截面剪力滯系數(shù).

表2 集中荷載20 kN下典型截面剪力滯系數(shù)

從表2可以看出，當(dāng)引入的曲線從2次增加至20次，簡支梁的最大剪力滯系數(shù)理論值由1.20增加到1.29，有限元值為1.17.懸臂梁的最大剪力滯系數(shù)從1.20上升至1.30，有限元值為1.23.翹曲位移函數(shù)的階次愈大，最大剪力滯系數(shù)的計(jì)算結(jié)果也愈大.可見，翹曲位移函數(shù)的階次太高會(huì)導(dǎo)致結(jié)果偏離真實(shí)值，采用三次拋物線是個(gè)比較保守，富余量又不大的選擇.

表3給出了10 kN/m均布荷載作用下簡支梁和懸臂梁典型截面剪力滯系數(shù).

表3 均布荷載10 kN/m下典型截面剪力滯系數(shù)

簡支梁在均布荷載下的最大剪力滯系數(shù)為1.02，且對(duì)曲線階次并不敏感，工程中可以忽略跨中剪力滯引起的應(yīng)力集中效應(yīng).懸臂梁在均布荷載下，剪力滯系數(shù)為1.23左右，比集中荷載下更為顯著，因此，懸臂施工的薄壁箱梁必須重視剪力滯因素引起的不均勻現(xiàn)象.

由圖3可見，變分法求解波形鋼腹板預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁的最大剪力滯系數(shù)可以很好地逼近有限元值，但該法將翼緣板做了擬平面應(yīng)力假定，自由端存在一定的誤差，并且從有限元分析可以看出翼板懸挑段與箱室內(nèi)段的剪力滯系數(shù)并非完全對(duì)稱，可以考慮擬定多條翹曲函數(shù)來分別計(jì)算.

圖3 簡支梁集中荷載下跨中截面剪滯系數(shù)分布

圖4 懸臂梁根部剪力滯系數(shù)橫向分布

懸臂梁在均布荷載下的最大剪力滯系數(shù)值1.34，二次曲線的變分值為1.38.然而，在集中荷載下最大剪力滯系數(shù)為1.23，高于二次曲線的求解值1.20，可以考慮采用4次曲線來解答，對(duì)于不同的荷載工況，也可以考慮采用不同階次的曲線.

4 超靜定橋梁的剪力滯解答

由最小勢(shì)能原理推出超靜定波形鋼腹板組合箱梁橋的剪力滯系數(shù)存在兩個(gè)難點(diǎn)：一是聯(lián)立求解困難，公式繁雜，應(yīng)用不便；二是超靜定箱梁翼緣板有效寬度的變化影響彎矩M(x)沿跨長方向的分布.可以結(jié)合表1的實(shí)用公式應(yīng)用肢解法和疊加法[15]，使分析得以簡化.

連續(xù)梁橋，斜拉橋，連續(xù)剛構(gòu)等超靜定橋梁在各種荷載工況下都存在多個(gè)彎矩為0的反彎點(diǎn)，可以人為地在該點(diǎn)將橋梁拆解成若干根簡支梁或懸臂梁，最后運(yùn)用表1的實(shí)用公式間接計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的剪力滯系數(shù)，這是肢解法.

在變分法求解過程中，僅假定了縱向翹曲位移的橫向分布，縱向和豎向位移依然滿足連續(xù)性要求和邊界條件，考慮到約束的本質(zhì)是對(duì)橋梁施加相應(yīng)的支座反力，可以用等代力替代贅余約束，將超靜定橋梁簡化為靜定形式，根據(jù)線彈性階段的應(yīng)力疊加原理，將疊加原理推廣到箱梁剪力滯的求解中，這是疊加法.計(jì)算截面I的剪力滯系數(shù)表達(dá)式為：

式中：M為I截面真實(shí)彎矩；Mi為基本體系在單個(gè)工況下I截面處的彎矩；λi為基本體系單個(gè)工況下I截面的剪力滯系數(shù)；λ為I截面真實(shí)剪力滯系數(shù)；

以第3節(jié)中的模型梁截面為基本截面，分別建立3 m×30 m的三跨連續(xù)梁和連續(xù)剛構(gòu)實(shí)體有限元模型，得到工況1：中跨跨中和邊跨跨中同時(shí)施加集中荷載10 kN時(shí)典型截面的剪力滯效應(yīng)，見表4；工況2：全橋均布荷載10 kN/m下，典型截面的剪力滯效應(yīng)，見表5.

表4 工況1典型截面剪力滯系數(shù)

表5 均布荷載下典型截面剪力滯系數(shù)

從表4和表5可以看出，肢解法、疊加法和有限元結(jié)果基本吻合，雖然有些誤差，但相對(duì)誤差不大于3.4%，足以滿足工程精度的要求.

5 剪力滯效應(yīng)的參數(shù)分析

改變有限元模型的橋?qū)?，建立寬跨比?.1～1的10組波形鋼腹板預(yù)應(yīng)力懸臂箱梁模型，分析在懸臂端集中荷載和均布荷載工況下的剪力滯效應(yīng).

從圖5可以看出，寬跨比是影響箱梁剪力滯效應(yīng)的重要幾何參數(shù)之一.懸臂梁在相同荷載工況下，頂?shù)装宓募袅禂?shù)基本一致.均布荷載工況的剪力滯效應(yīng)對(duì)寬跨比的改變更為敏感.當(dāng)寬跨比由0.1遞增到1時(shí)，均布荷載下的最大剪力滯系數(shù)相應(yīng)由1.19上升至2.67；集中荷載下的最大剪力滯從1.07浮升至2.00.因此，本文按照最小二乘法給出懸臂梁根部剪力滯系數(shù)y和寬跨比x的關(guān)系函數(shù).

圖5 寬度比對(duì)懸臂梁根部剪力滯的影響

集中荷載：y=-0.77x2+1.95x+0.83

均布荷載：y=-3.6x3+5.86x2-0.85x+1.25

變分法求解波形鋼腹板預(yù)應(yīng)力混凝土組合箱梁的剪力滯效應(yīng)時(shí)，由于波形鋼腹板的褶皺效應(yīng)，鋼腹板的軸向力的拉壓剛度為0，不考慮剪切變形等微量對(duì)剪力滯的貢獻(xiàn)，認(rèn)為腹板僅在頂?shù)装彘g起連接和傳遞剪力的作用.可以通過改變鋼腹板的材料特性和結(jié)構(gòu)參數(shù)，來分析由此引起的誤差.

由圖6可以看出，波形鋼腹板在通常使用的厚度范圍內(nèi)，剪力滯系數(shù)隨板厚變化波動(dòng)微小，進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)鋼腹板的波高、彈模、泊松比等對(duì)剪力滯的影響也不明顯，由于篇幅限制，此處不再贅述.因此，變分法分析波形鋼腹板組合箱梁的剪力滯效應(yīng)時(shí)，鋼腹板軸向不受力和不考慮剪切變形的假定不會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生顯著影響.

圖6 波形腹板板厚對(duì)剪力滯的影響

6 結(jié)論

(1)利用能量變分法求解波形鋼腹板PC箱梁的剪力滯效應(yīng)是可行的，最大剪力滯系數(shù)理論值一般隨著引入縱向翹曲位移函數(shù)階次的增加而增大，高次冪的曲線會(huì)導(dǎo)致結(jié)果偏離真實(shí)值，對(duì)于波形鋼腹板PC箱梁而言，一般取3階曲線是比較合理的.

(2)懸臂箱梁的剪力滯系數(shù)隨著寬跨比增大顯著升高，均布荷載下的剪力滯系數(shù)比集中荷載下要大，應(yīng)該重視寬箱梁在平衡懸臂施工中由自重引起的剪力滯效應(yīng).簡支梁在集中荷載下的剪力滯效應(yīng)比較嚴(yán)重，而均布荷載下跨中截面的剪力滯系數(shù)1.02左右，并且對(duì)于縱向翹曲函數(shù)的選擇并不敏感.

(3)以靜定結(jié)構(gòu)的剪力滯系數(shù)實(shí)用公式為基礎(chǔ)，運(yùn)用疊加法和肢解法解超靜定橋梁的剪力滯問題簡單高效，結(jié)果可靠，是一種值得推廣應(yīng)用的方法.

(4)對(duì)于縱向翹曲位移按照拋物線變化，最大剪力滯系數(shù)可以很好地逼近有限元值，在自由端存在一定的離散性，并且箱梁的縱向翹曲位移并非關(guān)于腹板對(duì)稱分布，頂?shù)装逡灿胁町?，可以考慮擬定多條翹曲函數(shù)來分別計(jì)算，在這方面還有待深入探討.