混合單調算子不動點定理的拓展研究

尚珍珍,張小勇,寇海榮

(太原學院 智能與自動化系,山西 太原 030032)

0 引言

混合單調算子自郭大鈞[1]及Lakshm ikantham V[2]提出以來就獲得廣泛關注,大多在巴拿赫空間[3]中進行研究。Bhaskar等[4]推出了混合單調的概念,并介紹混合單調映射和耦合不動點的相關概念。半序方法對于研究非線性方程(組)的解以及非線性算子不動點[5]的存在性有著十分重要的意義。近年來,主要研究關于半序度量空間中不動點的存在性以及算子方程的可解性[6-8]。

本文進一步研究混合單調算子不動點存在的惟一性,并證明了一些新的不動點定理,拓展了現(xiàn)有文獻的一些結論。

定義1 Bhaskar and Lakshmikantham[4]

如果A(x,y)對每一個固定的y∈Y關于x是增的,對每一個固定的x∈X關于y是減的,那么二元算子A:X×X→X為混合單調算子。

定義2

設(X,≤)是半序集[5],X×X產生的空間是半序度量空間,有(x,y),(u,v)∈X×X,(u,v)≤(x,y)?x≥u,y≤v。如果x=G(x,y),y=G(y,x),則(x,y)∈X×X是其耦合不動點。

定理1 Bhaskar and Lakshmikantham[4]

設(X,≤)是半序集,(X,d)是一個完備度量空間,G:X×X→X是連續(xù)映射,或者X有以下屬性:

1)如果有一個非減序列{xn}→x,對?n∈N,有xn≤x;

2)如果有一個非減序列{yn}→y,對?n∈N,有y≤yn;

假設?k∈[0,1],使得對?x,y,u,v∈X,x≥u,y≤v,有

(1)

如果?x0,y0∈X,則

x0≤G(x0,y0),y0≥G(y0,x0)

(2)

那么,?x,y∈X,使得x=G(x,y),y=G(y,x)。

定理2 Lakshmikantham and C′iric′[9]

設(X,≤)是偏序集,(X,d)是一個完備度量空間。有兩個映射關系G:X×X→X,g:X→X。

假設?φ(t)

(3)

分析:可以看出,定理2在定理1的基礎上進行了改進,將壓縮常數(shù)k改進為函數(shù)φ(t),事實上通過這種改進,壓縮條件更加寬松。

1 不動點定理研究

在文獻[10]和文獻[11]中關于混合單調算子有了新的研究成果,具體分析在混合單調算子的研究中的一些情況,使用新的度量空間(X2,d2),減少半序度量空間中耦合巧合和耦合不動點的條件,進而得到相應的結果。

定理3 Berinde[3]

設(X,≤)是半序集,(X,d)是一個完備度量空間。G:X×X→X是連續(xù)映射。假設?k∈[0,1],則對?x,y,u,v∈X,x≥u,y≤v有：

(4)

定理3是Berinde證明的,壓縮條件顯然范圍更廣,把不等式左端的一項變成對稱的兩項,得出定理4:

定理4

設(X,d,≤)是半序度量空間,有兩個單調映射關系G:X×X→X,g:X→X。

假設φ:[0,∞]→[0,∞],φ(0)=0, 且是右上半連續(xù)的。對?x,y,u,v∈X,g(x)≤g(u),g(y)≥g(v)均有

(5)

那么?x0,y0∈X,使得

g(x0)≤G(x0,y0),g(y0)≥G(y0,x0)

(6)

分析:可以看出,定理4中的式(5)是在定理2壓縮條件的基礎上進行修改的,不等式左端由一項變成了對稱的兩項和的形式,證明分析如下:

因此,通過壓縮條件式(5),得到一個巴拿赫型壓縮形式:

d2(S(x,y),S(u,v))≤φ(d2((gx,gy),(gu,gv)))

(7)

假設式(6)成立,令初始值(g(x0),g(y0))∈X2,定義有Picard迭代相關特性的S,則序列{g(xn),g(yn)}?X2可以定義為:

(g(xn+1),g(yn+1))=S(g(xn),g(yn)),n≥0

(8)

遵循巴拿赫的壓縮不動點定理證明步驟,在式(7)中令(x,y)=(gxn,gyn)≥(gxn-1,gyn-1)=(u,v),可得：

d2(S(gxn+1,gyn+1),S(gxn,gyn))≤φ(d2((g(gxn),g(gyn)),(g(gxn-1),g(gyn-1))),n≥1

(9)

用反證法來證明δ=0。因此:

(10)

(11)

(12)

由式(11)、式(12)可得:

rk≤φ(δn(k)+δm(k))+φ(rk)

(13)

在式(13)中,令k→∞,由于φ(δ)<δ,φ(0)=0,運用式(10)可得:ε≤φ(0)+φ(ε)=φ(ε),這顯然是矛盾的。

(14)

通過定理3和定理4可以看出,完全是在壓縮條件上進行改進,將等式左端的一項變成兩項和的形式,研究結果概括、擴展、補充了Harjanietal[12]和RazaniParvaneh[13]建立的耦合不動點定理。另外,使用本文方法可以得到多個變量公共不動點的結果,在半序度量空間可以拓展由一個變量得到的常見不動點結果。在今后的研究中,會將本文研究的不動點定理運用到非線性積分方程中。

2 結論

本文對原有混合單調算子的結論進行了改進,將壓縮條件進行變換,采用對稱的兩項和代替原來的一項,而且將壓縮條件的右端改進為函數(shù)形式,適用范圍更廣。使用新的度量空間(X2,d2),減少半序度量空間中耦合巧合和耦合不動點的條件,進而得到相應的結果,獲得在某些情況下更普遍的定理。在定理的證明中,主要是證明柯西收斂,運用不等式關系以及相關定義證明所需論證問題。