Einstein-Bumblebee 引力理論中的Kerr-Sen-like黑洞玻色子隧穿輻射*

譚霞 楊樹政

1) (齊魯師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院,濟(jì)南 250200)

2) (西華師范大學(xué)物理與天文學(xué)院,南充 637002)

Lorentz-breaking 理論不僅對彎曲時(shí)空背景有影響,而且對于在彎曲時(shí)空中的玻色子和費(fèi)米子的動(dòng)力學(xué)方程都有一定的修正.因此,我們需要在不同的黑洞時(shí)空中對玻色子和費(fèi)米子的量子隧穿輻射進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚?從而得到經(jīng)過Lorentz-breaking 理論修正后的黑洞Hawking 溫度等物理量的新表達(dá)式及其物理意義.本文根據(jù)Einstein-Bumblebee 引力理論中得到的Kerr-Sen-like (KSL)黑洞時(shí)空度規(guī),在標(biāo)量場作用量中引入aetherlike 場矢量修正項(xiàng)和彎曲時(shí)空中的d’Alembert 算符并應(yīng)用彎曲時(shí)空中的變分原理,研究了此時(shí)空度規(guī)中的Lorentz-breaking 修正項(xiàng)及KSL 時(shí)空中自旋為零的含有Lorentz-breaking 修正項(xiàng)的玻色子動(dòng)力學(xué)方程的新形式.通過正確選擇與KSL 時(shí)空度規(guī)相對應(yīng)的aether-like 場矢量,求解修正的玻色子動(dòng)力學(xué)方程,得到了修正的量子隧穿率,并在此基礎(chǔ)上研究了含有Lorentz-breaking 修正項(xiàng)的此黑洞的Hawking 溫度和Bekenstein-Hawking 熵.此外,還研究了Lorentz-breaking 效應(yīng)對玻色子正、負(fù)能級分布及其能級交錯(cuò)的最大值的影響,從而得出此黑洞時(shí)空中的量子非熱輻射的條件.最后對所得到的一系列結(jié)果的物理意義進(jìn)行了深入的討論.

1 引言

在場論和量子引力理論的研究過程中,研究者們發(fā)現(xiàn)在高能領(lǐng)域的Lorentz 不變性需要進(jìn)行Planck 尺度量級的修正.因此,在彎曲時(shí)空中考慮Lorentz-breaking 的影響是值得深入研究的課題.Lorentz 色散關(guān)系是現(xiàn)代物理學(xué)的基本關(guān)系,廣義相對論和量子場論都是建立在這個(gè)基本關(guān)系基礎(chǔ)之上的理論.對標(biāo)量場和旋量場理論模型的Lorentz-breaking 修正的相關(guān)課題研究已引起廣泛關(guān)注.最先知道的Lorentz-breaking 項(xiàng)是Carroll-Field-Jackiw (CFJ)項(xiàng)[1–3],在隨后的研究過程中,aether-like 修正項(xiàng)和Chiral 修正項(xiàng)也已被研究.研究者們在平直時(shí)空和彎曲時(shí)空彎曲時(shí)空中的標(biāo)量場方程和旋量場方程加入了Lorentz-breaking 項(xiàng)的修正.在這些場方程修正的基礎(chǔ)上,還對標(biāo)量粒子和旋量粒子的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了正確的修正,得到了一系列有意義的研究結(jié)果[4–23].這些Lorentzbreaking 修正效應(yīng)已在經(jīng)典和量子兩個(gè)方面得到一系列有意義的研究[24–30].在彎曲時(shí)空中研究Lorentz-breaking 的影響應(yīng)該考慮到兩個(gè)方面內(nèi)容,其一是Lorentz-breaking 理論對彎曲時(shí)空背景的影響,其二是Lorentz-breaking 理論對彎曲時(shí)空中的標(biāo)量場和旋量場方程的影響.在彎曲時(shí)空背景不變的情況下,對標(biāo)量場和旋量場的方程分別進(jìn)行修正,并在此基礎(chǔ)之上,對靜態(tài)、穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)黑洞的量子隧穿輻射進(jìn)行修正,從而對黑洞Hawking溫度和Bekenstein-Hawking 熵進(jìn)行修正,這一方面的研究工作已有報(bào)道[15–30].考慮到Lorentzbreaking 理論對彎曲時(shí)空背景的影響并且考慮到玻色子或費(fèi)米子在此時(shí)空背景下的動(dòng)力學(xué)方程的修正是一項(xiàng)有意義的研究工作,所以相關(guān)工作還需要繼續(xù)深入開展.

本文主要是根據(jù)Einstein-Bumblebee 引力理論和一個(gè)被修正的KSL 黑洞的時(shí)空度規(guī),對標(biāo)量場方程進(jìn)行正確修正,并研究此黑洞的修正的Hawking 溫度和Bekenstein-Hawking 熵及量子隧穿率的物理意義.為了深入探討,還研究了KSL 黑洞的量子非熱效應(yīng).第2 節(jié)介紹Lorentz-breaking對穩(wěn)態(tài)彎曲時(shí)空背景的影響,同時(shí)介紹在彎曲時(shí)空背景中標(biāo)量場及玻色子動(dòng)力學(xué)方程的修正形式及其物理意義.第3 節(jié)研究KSL 黑洞的量子隧穿輻射特征和量子非熱輻射特征,第4 節(jié)是對文中所用研究方法及所得結(jié)果的深入討論.

2 Lorentz-breaking 理論和KSL 黑洞時(shí)空中的玻色子動(dòng)力學(xué)方程

Einstein 建立的廣義相對論引力理論是一個(gè)不可重整化的引力理論,這就導(dǎo)致引力論和量子論結(jié)合的量子引力理論以及物理學(xué)中的大統(tǒng)一理論至今無法被構(gòu)建起來.因此,自從1915 年Einstein發(fā)表廣義相對論至今,物理學(xué)和天文學(xué)的相關(guān)研究人員持續(xù)地研究修正的引力理論.對廣義相對論進(jìn)行修正的思路主要有兩種: 其一是對Einstein 方程等式左邊進(jìn)行修正,也就是對場方程的幾何部分進(jìn)行修正,其二是對Einstein 引力理論的物質(zhì)場方程部分進(jìn)行修正.修正的引力理論有多種形式,例如超對稱理論、圈量子引力理論、標(biāo)量張量引力理論、Horava-Lifshitz 引力理論、Einstein-aether 引力理論等.其中Einstein-aether 引力理論是一種Lorentz-breaking 的理論,該理論通過在廣義相對論中引入aether-like 矢量場進(jìn)行修正,要求aetherlike 矢量uμ滿足uμuμ=const.這里uμ不再是常矢量,但是要uμuμ縮并的結(jié)果為常數(shù).在這些修正的引力理論中,Einstein-aether-like 理論是一個(gè)不通過后牛頓近似與廣義相對論相區(qū)別的引力理論.Bumblebee 引力理論是一個(gè)有效的引力場理論,可以稱之為Einstein-Bumblebee 理論.由于Lorentz-breaking,此引力場的作用量修正為[31]

其中,GN是牛頓引力常數(shù);σ 是一個(gè)實(shí)的耦合常數(shù),其實(shí)際意義是一個(gè)非最小耦合常數(shù),且是Einstein 引力場與Bumblebee 矢量場Bμ之間的非最小耦合常數(shù);V表示勢并且V=V(Bμ),考慮到Lorentz-breaking,V=V(BμBμ±b2) .根據(jù)文獻(xiàn)[31]的研究結(jié)果,在Einstein-Bumblebee 引力中的KSL 黑洞時(shí)空線元用Boyer-Lindquist 坐標(biāo)表述為

這里,M是此黑洞的質(zhì)量,a=J/M是黑洞的單位質(zhì)量的角動(dòng)量,J是此黑洞的角動(dòng)量.?是由于Lorentz-breaking 引起的對時(shí)空背景的修正項(xiàng),b為荷電參數(shù),且b=Q2/M.根據(jù)(2)式—(5)式,可以計(jì)算出與(2)式對應(yīng)的度規(guī)行列式和非零的逆變度規(guī)張量的分量分別為

對于(2)式描述的KSL 黑洞是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的穩(wěn)態(tài)黑洞,此黑洞的事件視界面滿足曲面方程F(xμ)=0,可知其法矢量nμ=,法矢量的長度定義為

我們可以定義此黑洞的零超曲面方程為

由方程(8)可確定此黑洞的事件視界rH所滿足的方程.把(7)式代入(8)式中,得到

由此可見,由于Lorentz-breaking 引起的時(shí)空背景的改變,導(dǎo)致此黑洞的事件視界位置rH發(fā)生變化.由方程(10)可知,此黑洞的外視界和內(nèi)視界分別表述為

根據(jù)時(shí)空度規(guī)(2)式,文獻(xiàn)[31]研究了此黑洞的影子,文獻(xiàn)[32]研究了通過磁重聯(lián)提取此黑洞的能量.以下內(nèi)容將是對此黑洞熵修正的相關(guān)研究,這是還未深入研究的課題.為了研究黑洞熵,以下考慮Lorentz-breaking 理論對標(biāo)量場方程的修正.

對平直時(shí)空而言,aether-like 場矢量uα是一個(gè)常矢量,自然滿足uαuα=const .由于Lorentzbreaking,平直時(shí)空中標(biāo)量場作用量為

由變分原理可知,由δSf=0 可以確定標(biāo)量場方程.注意到變分與積分可交換秩序,由(13)式和變分原理可以得到平直時(shí)空中的修正的標(biāo)量場方程如下:

其中,四維Minkowski 時(shí)空中的d’Alembert 算符為

坐標(biāo)x1=x,x2=y,x3=z,x4=ict=ix0.

在此四維Minkowski時(shí)空中的線元ds2=-(dx0)2+(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2,顯然,此時(shí)空度規(guī)的號差為 +2 .□ 的含義是標(biāo)量場的梯度的散度運(yùn)算符號.如(2)式所示,在四維彎曲時(shí)空中,考慮到Lorentz-breaking 理論的修正意義,標(biāo)量場的作用量被修正為

其中uα是aether-like 場矢量,λ 是耦合常數(shù),是彎曲時(shí)空中的d’Alembert 算符,在彎曲時(shí)空中,的含義是標(biāo)量場的梯度的散度運(yùn)算符號.根據(jù)(15)式和變分原理:

對此變分運(yùn)算而言,我們需要對彎曲時(shí)空中的協(xié)變微商進(jìn)行詳細(xì)說明.在彎曲時(shí)空中,一個(gè)標(biāo)量場的協(xié)變微商等于其普通微商,即?;μφ=?,μφ=?μφ.注意到縮并指標(biāo)在廣義相對論中的規(guī)范寫法.方程(17)的第2 項(xiàng)應(yīng)該寫成λuα?αφuβ?βφ,這仍然是一個(gè)標(biāo)量,因此變分計(jì)算如下:

則(20)式可表達(dá)為

(20)式是修正后的標(biāo)量場方程,實(shí)際上這是自旋為零的標(biāo)量場方程,是一個(gè)修正后的Klein-Gordon方程.此方程可以用于研究自旋為零,質(zhì)量為m的標(biāo)量粒子的動(dòng)力學(xué)行為.以此方程為依據(jù),可以研究不同彎曲時(shí)空中的量子隧穿輻射特征并對修正后的Hawking 溫度等重要的物理量進(jìn)行研究.以下針對KSL 黑洞,研究此黑洞的修正的Hawking溫度,Bekenstein-Hawking 熵和粒子正負(fù)能級分布特征.

3 對KSL 黑洞量子隧穿輻射的修正

為了在KSL 黑洞時(shí)空中求解方程(22),選擇aether-like 矢量的分量:

顯然uμ滿足:

根據(jù)WKB 理論和黑洞的量子隧穿輻射理論,方程(22)中的φ是標(biāo)量場波函數(shù),微觀粒子的作用量用S表示.則波函數(shù)與作用量S的聯(lián)系表示為

把(25)式代入(22)式中,可得

這是質(zhì)量為m,自旋為零的標(biāo)量粒子的動(dòng)力學(xué)方程,這個(gè)標(biāo)量場方程是Lorentz-breaking 理論修正后的方程.如果考慮荷電為q的自旋為零的標(biāo)量粒子,那么(26)式將改寫為

其中Aμ是電磁勢.(27)式是質(zhì)量為m,荷電為q,自旋為零的標(biāo)量粒子的動(dòng)力學(xué)方程,這個(gè)標(biāo)量場方程也是Lorentz-breaking 理論修正后的方程.

在KSL 時(shí)空背景中求解方程(26),就可以研究量子隧穿輻射特征,并對修正后的量子隧穿率Γ,Hawking 溫度等重要的物理量進(jìn)行研究.根據(jù)黑洞的量子隧穿輻射理論,黑洞事件視界處的量子隧穿率為Γexp(-2ImS±) .為了求解方程(26),對修正項(xiàng)進(jìn)行如下說明:

注意到:

所以考慮到方程(28)和(30),當(dāng)r →rH時(shí),方程(26)可以簡化為

這是穩(wěn)態(tài)軸對稱KSL 黑洞時(shí)空中的自旋為零的玻色子動(dòng)力學(xué)方程的Lorentz-breaking 修正形式.此彎曲時(shí)空中存在Killing 矢量,因此=n(const.) .方程(31)中的S可以分離變量,即

把方程(32)代入方程(31)中可得

此方程兩邊同時(shí)乘以ρ2[r(r+b)+(1+?)a2-(1+?)a2sin2θ]2,并對此方程進(jìn)行變量分離.設(shè)分離變量出現(xiàn)的常數(shù)為C′,那么由方程(33)可得

因此,由方程(34)得到

由此方程可知:

由此,可以得到兩個(gè)結(jié)論,一是方程(36)左邊是正實(shí)數(shù),必然要求右邊也是正實(shí)數(shù),因此可得

由方程(37)可以確定粒子能級分布.由方程(36)得到的第2 個(gè)結(jié)論是:

其中,

根據(jù)WKB 近似理論和黑洞量子隧穿輻射理論,KSL 黑洞的量子隧穿率的表達(dá)式為

由方程(41)和方程(42)可見,由于Lorentzbreaking 效應(yīng),時(shí)空背景的修正和粒子動(dòng)力學(xué)方程的修正都對粒子隧穿率Γ和此黑洞事件視界rH處的Hawking 溫度有修正.Γ和TH與?,b,λ,和有關(guān).前面定義的uμ=(ut,ur,uθ,u?),在Γ和TH的表達(dá) 式中只有Ct和Cr,這就說明uμ的time-like 分量和space-like 分量對粒子量子隧穿率和黑洞溫度有修正的意義.由于黑洞表面引力與Hawking 溫度存在確定的關(guān)系,因此把(42)式改寫為

其中,κ 就是KSL 黑洞事件視界處的表面引力,即

方程(41)—(44)就是Lorentz-breaking 對KSL 黑洞時(shí)空中自旋為零的玻色子隧穿輻射修正的結(jié)果.

此外黑洞物理中的熱力學(xué)演化的重要物理量之一是黑洞熵.根據(jù)黑洞熱力學(xué)第一定律,KSL 黑洞的Bekenstein-Hawking熵SBH由以下方程確定,即

Sbh是未作修正之前的Bekenstein-Hawking熵,在線元表達(dá)式(2)式中,令dt=0,dr=0,通過計(jì)算此黑洞的事件視界的面積可以得到:

顯然,SBH與?,ct,和cr有關(guān).

黑洞還有一種輻射是非熱輻射.靜態(tài)黑洞沒有非熱輻射,穩(wěn)態(tài)黑洞和動(dòng)態(tài)黑洞都有非熱輻射.穩(wěn)態(tài)軸對稱KSL 黑洞除了以上所述的熱輻射還有非熱輻射.研究此黑洞的非熱輻射仍然要從方程(25)開始去研究粒子能級ω±的分布和正能級與負(fù)能級交錯(cuò)的最大值[33].KSL 黑洞的非熱輻射還未被研究.根據(jù)方程(37),取等號就可得到如下ω所滿足的方程

由此方程可以解出正能級ω+和負(fù)能級ω-分別為

由方程(37)和方程(49)可得粒子能級分布為

禁區(qū)寬度為

當(dāng)r →rH時(shí),由于=0,因此由(49)式可以得到,即

(53)式與(39)式完全一致.(39)式中,ω0的物理意義是熱輻射中的化學(xué)勢,這里ω0是ω+與ω-交錯(cuò)能級的最大值,這是在非熱輻射中的ω0.這就說明在KSL 黑洞事件視界rH處,Dirac 真空的禁區(qū)寬度縮小到零.正負(fù)能級交錯(cuò)的最大值是ω0,這必將導(dǎo)致非熱輻射的發(fā)生.當(dāng)r →∞時(shí),ω± →±m(xù).在Dirac 真空概念中負(fù)能態(tài)是充滿粒子的態(tài),而正能態(tài)是空著的態(tài).處于負(fù)能態(tài)的負(fù)能粒子能量是ω,當(dāng)ω滿足如下條件時(shí),負(fù)能粒子會(huì)通過量子隧道效應(yīng)穿越禁區(qū)成為輻射的正能粒子而離開此黑洞.此非熱輻射條件為

非熱輻射粒子將帶走此黑洞的能量和角動(dòng)量.實(shí)際上,這就是Starobinsky-Unruh 過程 (自發(fā)輻射)[34,35].黑洞的自發(fā)輻射與超輻射都屬于非熱輻射,這一輻射與黑洞溫度無關(guān).KSL 黑洞非熱輻射將使此黑洞退化為Schwarzschild-like 黑洞.

4 討論

研究結(jié)果表明,考慮到Lorentz-breaking 理論對彎曲時(shí)空中的玻色子動(dòng)力學(xué)方程的修正形式如方程(26)和方程(27)所示.將方程(26)應(yīng)用于KSL 黑洞時(shí)空中進(jìn)行研究得到了KSL 黑洞量子隧穿率、Bekenstein-Hawking 熵、Hawking 溫度、量子非熱輻射能量范圍表達(dá)式的新形式.這一系列的結(jié)果對于研究黑洞的量子隧穿輻射是有參考意義的內(nèi)容.

靜態(tài)、穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)黑洞都有熱輻射,即Hawking量子隧穿輻射.而只有穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)黑洞才有量子非熱輻射.我們可以用量子隧穿輻射的觀點(diǎn)來解釋Hawking 熱輻射,即在黑洞視界內(nèi)部有大量虛粒子,這些粒子通過量子隧道效應(yīng)穿越視界并實(shí)化成實(shí)粒子,形成Hawking 熱輻射.利用量子隧穿理論,Kraus 和Wilczek [36,37]提出用量子隧穿輻射理論來計(jì)算黑洞的Hawking 溫度和熵.這是對Hawking純熱輻射的修正.由于Lorentz-breaking 理論的修正,對彎曲時(shí)空背景和彎曲時(shí)空中的玻色子和費(fèi)米子的動(dòng)力學(xué)行為都會(huì)產(chǎn)生一定的影響.以上研究表明,KSL 黑洞的量子隧穿率,黑洞表面引力,黑洞Hawking 溫度都有新的表達(dá)式.與黑洞溫度相關(guān)的是黑洞的Bekenstein-Hawking 熵.如果用?SBH表示此黑洞的熵變,那么,此黑洞的量子隧穿率可以表示為Γ=exp(?SBH) .還可以根據(jù)修正后的Hawking 溫度TH的表達(dá)式和黑洞熱力學(xué)第一定律得到修正后的Bekenstein-Hawking 熵的表達(dá)式.根據(jù)黑洞熱力學(xué)第二定律,黑洞熵在順時(shí)方向永不減少,即 dSBH>0 .這是唯一能顯示時(shí)間箭頭的物理定律.在當(dāng)今物理學(xué)的研究中,除了熵之外,人們還想不出有什么物理量具有時(shí)間的單向性.除了量子熱效應(yīng)的修正之外,以上對此黑洞的量子非熱效應(yīng)的研究表明,Lorentz-breaking 理論對時(shí)空背景和標(biāo)量場方程的修正對粒子能級及其正、負(fù)能級交錯(cuò)最大值都有一定的影響.需要說明的是,以上的研究方法對于玻色子在不同彎曲時(shí)空中的動(dòng)力學(xué)特征的研究有參考意義.但是,對于不同自旋的費(fèi)米子而言,需要用另外的方法去研究.需要進(jìn)一步說明的是,以上的研究結(jié)果是在WKB 理論和半經(jīng)典情況之下得到的結(jié)果,如果要考慮Planck 不同冪次的影響,則需要利用以上所用研究方法和所得到的相關(guān)結(jié)果采用超越半經(jīng)典理論進(jìn)行進(jìn)一步的修正研究.