圓錐曲線中弦長問題的解法探究

王慧敏

摘要：圓錐曲線是高中數學的一個重難點，也是每年高考必考的熱門知識點。而弦長問題則是圓錐曲線中的經典問題，也是高考的熱門考點。弦長問題的解題過程中存在一些通用的技巧，可以適用于大部分弦長問題問題解答。本文將通過一道高考改編題來探究這類問題的常用解法.

關鍵詞：弦長公式，焦半徑公式，點差法，伸縮變換

題目：（2021年高考數學全國卷Ⅱ20（2））已知橢圓C的方程為x^2/3+y^2=1，右焦點F（√2，0），設M，N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線x^2+y^2=1（x>0）相切.當M，N，F三點共線時，證明：|MN|=√3.

解法1：（利用弦長公式）

設M（x_1，y_1 ） ?，N（x_2，y_2 ）直線MN的方程為x=my+√2，則圓心O（0，0）到直線MN的距離為d=√2/√（m^2+1）=1，解得m^2=1，聯立方程組{█（x=my+√2@x^2/3+y^2=1）┤，〖4y〗^2+2√2 my-1=0，由弦長公式可得|MN|=√（1+m^2 ）?√（8m^2+16）/4=√2×√24/4=√3，所以結論成立。

點評：對于大多數學生來說，圓錐曲線綜合性問題雖思路清晰，容易切入，但常常受制于繁瑣而復雜的運算，解法1是先聯立方程組，再利用弦長公式，這是解決弦長問題的基本方法，運用這種方法的最大問題就是計算問題，由于運算量太大，導致選用解法1的學生大多數不能得出正確結果.但相對于利用兩點間的距離公式來說計算量稍小。

解法2：（利用焦半徑公式）

同解法1得x_1+x_2=-√2/2 m^2+2√2，由焦半徑公式可得

|MN|=|MF|+|NF|=a-ex_1+a-ex_2=2a-e（x_1+x_2 ）=2√3-√6/3 （x_1+x_2 ）=2√3-√6/3 （-√2/2 m^2+2√2）=√3，所以結論成立。

點評：解法2利用橢圓的焦半徑來解決，相對解法1來說運算量大大減少，并且容易理解。

解法3：（利用點差法）

由解法1可知m^2=1，設M（x_1，y_1 ） ?，N（x_2，y_2 ）直線MN的方程為x=my+√2.則{█（〖x_1〗^2/3+〖y_1〗^2=1@〖x_2〗^2/3+〖y_2〗^2=1）┤，兩式相減，得1/m?（y_1+y_2）/（x_1+x_2 ）=-1/3 ①.又因為MN過點F（√2，0），所以1/m=（（y_1+y_2）/2）/（（x_1+x_2）/2-√2），即y_1+y_2=1/m （x_1+x_2-2√2）②，將②代入①得x_1+x_2=（6√2）/（m^2+3）.由焦半徑公式得|MN|=|MF|+|NF|=a-ex_1+a-ex_2=2√3-√6/3 （-√2/2 m^2+2√2）=√3，所以結論成立;

點評：點差法是解決圓錐曲線中點弦問題的基本方法，用點差法處理弦長問題，省略掉了聯立方程組這一步驟，計算簡潔，事半功倍.但值得注意的是，若弦不過焦點，則點差法失效[1].

解法4：（利用伸縮變換）

令x^'=x/√3，y^'=y，則直線MN的方程x=my+√2變?yōu)椤? x^'=my^'+√2，m變?yōu)閙^'=m/√3，橢圓C的軌跡方程變?yōu)椤紉^'〗^2+〖y^'〗^2=1，則|M^' N^' |=√（1+〖m^'〗^2 ）?|y_1^'-y_2^' |=√（1+m^2/3）?|y_1^'-y_2^' |.又因為|M^' N^' |=2√（R^2-d^2 ）=√2，由解法1可知m^2=1，故√（1+1/3）?|y_1^'-y_2^' |=√2，即|y_1^'-y_2^' |=|y_1-y_2 |=√6/2，所以|MN|=√（1+m^2 ）?|y_1-y_2 |=√3，所以結論成立;

點評：解法4利用橢圓與圓之間的伸縮變換構造一個新的圓的方程，利用轉化的思想來解決問題.雖然這并不是最簡單的解法，但是它可以讓學生學會將知識融會貫通.

小結：在解決圓錐曲線的弦長相關問題時，可采用弦長公式、焦半徑公式、點差法和伸縮變換的方法來解決。一題多解可以使學生開闊視野，把學過的知識和方法融會貫通，使用自如。

參考文獻：

[1]聶文喜.從一道高考題談圓錐曲線焦點弦長問題的求解策略[J].數理化學習（高中版），2016（12）：40-42.