從中考題探索初高中數(shù)學(xué)知識的銜接

摘 要：近年來，隨著高考改革的逐步深入，廣東省高考逐步采用了全國卷，廣東省的中考也采用了廣東省組織統(tǒng)一出卷考試方式.在的考試背景下，本文通過研究中考題，站在初中教學(xué)的觀點來思考初高中的銜接問題.主要關(guān)注在中考改革的背景下，初中教師在教學(xué)中有哪些內(nèi)容可以拓展，可以更長遠地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生順利地適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).因此，作為初中教師，筆者認為需要多研究初高中銜接問題，既在初中的層面研究中考題，也要在更高維度深入剖析中考題，深入思考初高中知識的聯(lián)系與銜接.

關(guān)鍵詞：中考;初高中銜接;數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）05-0014-03

收稿日期：2021-11-15

作者簡介：陳曉嵐（1993.1-），女，廣東省佛山人，本科，中學(xué)二級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

1 引言

2021年廣東省數(shù)學(xué)中考試題公布之后，引起了教研人員、一線教師及數(shù)學(xué)愛好者的熱議.2021年中考與高中銜接的內(nèi)容非常多，筆者認為，中考數(shù)學(xué)試題撇去偏、難、題量大等問題，更重要的是給我們一個明確的方向——中考將與高中有更緊密的銜接.本文選取2021年廣東省中考題第9題、第10題、第23題，從解題思路、與高中數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系及教學(xué)啟示等方面來進行剖析.

2 典例分析

例1 （2021年廣東省卷第9題）我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，則其面積S=pp-ap-bp-c.這個公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式.若p=5，c=4，則此三角形面積的最大值為（? ）.

A.5? B.4? C.25? D.5

2.1 試題分析

經(jīng)過簡單化簡可求出a+b=6，S=5ab-5，即要通過a+b=6求S的最大值.利用初中階段的重要數(shù)學(xué)思想 “消元”，即可以把b=6-a代入S=5ab-5，得S=5a6-a-5，通過配方法得到S=5·-a-32+4，所以當(dāng)a=3時，S的最大值為25，答案選C.

本題考查的是利用消元思想和二次函數(shù)知識求最值，但是因為考查的形式比較新穎，是以“海倫公式”為切入點，先入為主地給學(xué)生心理壓力，學(xué)生會因為不認熟悉這個公式而慌神，導(dǎo)致一下子沒有思路.再者，這道題難在沒有直接給出二次函數(shù)，需要學(xué)生代入消元才在根式中出現(xiàn)二次函數(shù)，所以消元與根式也給學(xué)生造成了解題阻礙.2.2 與高中數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系

本題從a+b=6，S=5ab-5，再次分析，可以看出關(guān)鍵在于通過a+b的值求出ab的最大值，那么最直接考查的知識應(yīng)該是高中的基本不等式a+b2≥ab，而且a>0，b>0，當(dāng)a=b時，取得最值.從而得到當(dāng)a=b=3時，ab=9，此時S=5·9-5=25.

例2 （2021年廣東省卷第10題） 設(shè)O為坐標原點，點A、B為拋物線y=x2上的兩個動點，且OA⊥OB.連接點A、B，過O作OC⊥AB于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值（? ）.

A.12? B.22? C.32? D.1

2.3 試題分析

以下兩種解法是初中階段的解答方法，都是在函數(shù)背景中，利用相似三角形和隱圓的知識找到滿足條件的點C位置，從而解決本題.根據(jù)初中知識本題考查學(xué)生的作圖能力、數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)和幾何的綜合運用能力.

解法1 如圖1，分別作AE、BF垂直于x軸于點E、F，設(shè)OE=a，OF=b，由拋物線解析式為y=x2，則AE=a2，BF=b2，作AH⊥BH于H，交y軸于點G，連接AB交y軸于點D，設(shè)點D（0，m），因為DG∥BH，所以△ADG∽△ABH，于是DGBH=AGAH，即m-a2b2-a2=aa+b.化簡得：m=ab.

有因為∠AOB=90°，所以∠AOE+∠BOF=90°，又∠AOE+∠EAO=90°，所以∠BOF=∠EAO，又∠AEO=∠BFO=90°，所以△AEO∽△OFB.所以AEOF=EOBF，即a2b=ab2，化簡得ab=1.則m=ab=1，說明直線AB過定點D，D點坐標為（0，1）.又∠DCO=90°，DO=1，所以點C是在以DO為直徑的圓上運動，所以當(dāng)點C到y(tǒng)軸距離等于此圓半徑12時，點C到y(tǒng)軸距離的最大.

解法2 如圖2，分別作AE、BF垂直于x軸于點E、F，又因為AO⊥BO，所以△AOE∽△OBF.

設(shè)A（a，a2），B（b，b2），

所以O(shè)EBF=AEOF，即-ab2=a2b，化簡得ab=-1.

所以B（-1a，1a2）

設(shè)AB：y=kx+m，把A、B代入得m=1.所以直線AB必過點D（0，1），OD=1，于是點C是在以DO為直徑的圓上運動，所以當(dāng)點C到y(tǒng)軸距離等于此圓半徑12時，點C到y(tǒng)軸距離的最大.如果跳出初中知識的限制，這道題還有兩種解法，分別涉及基本不等式和對勾函數(shù).而且這兩種方法會更加直接，不需要結(jié)合圖形，用純代數(shù)的方法即可解出.

解法3 由解法1和解法2，均可以得到AB：

y=kx+1①

則OC：y=-1kx②

聯(lián)立①②，解得x=-1k+1k=1-k-1k.

由基本不等式的變形ba+ab≥2（a>0，b>0）可知，

當(dāng)k>0時，k+1k≥2，x≥-12;

當(dāng)k<0時，-k+-1k≥2，x≤12;

當(dāng)k=0時，x=0.

綜上所述，點C到y(tǒng)軸距離最大為12.

解法4 由解法1和解法2，均可以得到

AB：y=kx+1①

則OC：y=-1kx②

聯(lián)立①②，解得x=-1k+1k=1-k-1k

如圖3，由對勾函數(shù)y=k+1k可知：k>0，當(dāng)k=1時，k+1k的值最小，最小值為2，此時x=-12;k<0，當(dāng)k=-1時，k+1k的值最大，最大值為-2，此時x=12.綜上所述，點C到y(tǒng)軸距離最大為12.

2.4 與高中數(shù)學(xué)知識聯(lián)銜接分析

基本不等式的解法（解法三）是高中數(shù)學(xué)研究函數(shù)最值時常用的方法之一.筆者認為解答此題時利用解法三思路清晰，不過要涉及基本不等式和分類討論，對于初中生的要求較高，初中階段還沒有接觸基本不等式.另外，本解法涉及的分類討論，雖然在初中學(xué)生已經(jīng)有接觸和體驗，但是學(xué)生對分類討論的掌握仍然有困難.更多的初中生未必會選擇這樣的解法來求解.相反地，在高中階段更多地使用這種接法.因此，從解法三中我們感受到初高中在思維層面銜接上還有一些差距.

對勾函數(shù)的解法（解法四）是基于解法三的分析再結(jié)合圖像求解的，只不過是分類討論，解法直接利用對勾函數(shù)y=k+1k的圖象取得最值.根據(jù)圖像能很清晰地得到答案，相對于解法一、解法二要簡潔很多，不過利用對勾函數(shù)來解決問題是學(xué)生的盲區(qū).如果能在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生通過圖像來找最值，分析問題，并給學(xué)生充足的時間來思考，發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例3 （2021年廣東省卷23）如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點.連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，求CG的長.

2.5 試題分析

解法一 如圖5，延長BF交CD于H，連接EH.

易得AC=AD2+CD2=12+12=2，由翻折的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，可證Rt△EHD≌Rt△EHF（HL），然后證出△EDH∽△BAE，所以EDAB=DHEA=12，因為CH∥AB，所以CGGA=CHAB=34，所以CG=37AC=327.

本題解法一主要考查初中階段翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是求出DH，CH，利用平行線分線段成比例定理解決問題即可.

解法二 由勾股定理和三角函數(shù)易得，

sin∠EBA=55，cos∠EBA=255，根據(jù)二倍角公式，得sin∠ABF=2sin∠EBA·sin∠EBA=45.

設(shè)BG=5x，BH=3x，GH=4x

由△AGH∽△ACB，得GHCB=AHAB，求得x=17

通過勾股定理求出CG=3272.6 與高中數(shù)學(xué)知識銜接分析

根據(jù)上述的題目分析，明顯可以看出，解法二比解法一所作的輔助線少、思維更加直接、所需的知識點少、證明過程簡潔等諸多好處，但是二倍角公式是高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的知識，初中只是接觸了簡單的銳角三角函數(shù)及簡單的誘導(dǎo)公式如cosα=sin90°-α，而且對于這個公式的使用也不多，僅僅處于了解的程度.所以，學(xué)生進入高中之后，一下子接觸眾多的二倍角公式、半角公式等，會明顯感到吃力.這也體現(xiàn)了初中和高中階段之間的知識層次及學(xué)習(xí)能力方面的的差距.

參考文獻：

[1] 2021年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷.

[2] 張煒.淺談新課程標準下初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（30）：23-24.

[責(zé)任編輯：李 璟]