巧用“圓”解題

摘 要：圓是中學數(shù)學中一種簡單卻又重要的曲線，也是中學階段的重點內(nèi)容，“圓”與“數(shù)”更

能非常美妙的結合，而利用圓進行解題的關鍵是要善于發(fā)現(xiàn)隱含于題中與圓有關的信息，抓住圖形的特征，拓寬解題思路.恰當靈活地運用圓的知識，可以直觀、巧妙地解答許多數(shù)學問題，它能使問題由難轉易，由空洞到直觀.常常具有化繁為簡的功能，本文對圓在解題中的應用進行初步的探討.

關鍵詞：轉化;構造;解題

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）05-0041-03

收稿日期：2021-11-15

作者簡介：申海東（1973.6-），男，北京人，本科，中學高級教師，從事中學數(shù)學教學研究.

日常教學中，我們經(jīng)常會碰到一些用常規(guī)方法求解難度較大的問題.這時，如果構造適當?shù)膱D形來給予輔助，往往能促使問題轉簡，使問題中原來隱晦不清的關系和性質在新構造的環(huán)境中清晰地展現(xiàn)出來，從而簡捷地解決問題.這就是我們常說的數(shù)形結合，我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事非.”從這句話中也可以品出數(shù)形結合是非常重要的一種數(shù)學思想.在數(shù)形結合中，圓是我們經(jīng)常構造的圖形.圓是中學數(shù)學中一種簡單卻又重要的曲線，也是近幾年考試的熱點內(nèi)容，“圓”與“數(shù)”能非常美妙的結合.我們構造圓進行解題的關鍵是要善于發(fā)現(xiàn)隱含于題中與圓有關的信息，抓住目的特征圖形，拓寬解題思路.本文從一些典型的實例出發(fā)，介紹構造圓解題的幾種常見情形，供大家參考.

在學習過程中，有一類幾何問題，表面上是直線型問題，但利用直線型的有關知識解答很復雜，甚至有的找不到解決問題的思路.如果對題設進行認真分析，挖掘題中蘊含的與圓相關聯(lián)的條件，構造圓，利用圓有關的性質，化繁為簡，化難為易.下面舉例說明構造圓的基本模型.

1 含有2倍角關系或特殊角45°

如果題目的條件中，有一個角是另一個角的2倍或者有一個銳角是45°時，在直接求解不好解決的時候，可以構造輔助圓，借助圓的相關性質嘗試解決問題，其依據(jù)是在同圓或等圓中，圓心角是圓周角的2倍.

問題1 如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于點D，∠BAC=45°，BD=3，CD=2.求△ABC的面積.

分析 只要求出△ABC的高AD即可求解本題，而常規(guī)的方法不是很好求解，故利用∠BAC=45°這個條件構造輔助圓.∠BAC為圓周角，那么圓心角∠BOC=90°，這時△BOC為等腰直角三角形.

解 如圖1，作△ABC的外接⊙O.過點O作OE⊥BC于點E，由∠BAC=45°可知：∠BOC=90°，則△OBE、△OBC均為等腰直角三角形，且OE=EC=BE=2.5，則ED=CE-CD=0.5.過點O作OF⊥AD于點F，連OA，則四邊形OEDF為矩形，所以OF=DE=0.5，DF=OE=2.5.在Rt△AOF中，由勾股定理得AF=3.5，所以AD=AF+FD=6，即S△ABC=12×5×6=15.

2 含有定長和定角

如果題目中有固定線段AB以及AB所對的∠C大小固定，可以將線段看成圓的弦，定角可以看做弦所對的圓周角，利用同弧所對的圓周角相等，可知點C并不是唯一固定的點，點C是動點，構造輔助圓解決有關問題，如圖2.

問題1 如圖3，點A與點B的坐標分別是（1，0），（5，0），點P是該直角坐標系內(nèi)的一個動點.

（1）使∠APB=30°的點P有無數(shù)個.

（2）若點P在y軸上，且∠APB=30°，求滿足條件的點P的坐標.

分析 （1）動點P，定線段AB，定角∠APB=30°，只需點P在過點A、點B的圓上，且弧AB所對的圓心角為60°即可，顯然符合條件的點P有無數(shù)個.

（2）根據(jù)（1）中分析可知，當點P在y軸的正半軸上時，點P是（1）中的圓與y軸的正半軸的交點，借助垂徑定理、等邊三角形的性質、勾股定理等知識，即可求出符合條件的點P的坐標.當點P在y軸的負半軸上時，同理可求出符合條件的點P的坐標.所以，P1（0，23+7），P2（0，23-7），P3（0，-23-7），P4（0，-23+7）.

3 含有共頂點的三條等線段

如果題目中的條件中有“OA=OB=OC”這樣的條件時，說明A、B、C三點共圓，可構造以O為圓心，OA為半徑的圓，依據(jù)：圓的定義，到定點距離等于定長的點的集合是圓.

問題3 如圖4，在△ABC內(nèi)有一點D，使得DA=DB=DC，若∠DAB=20°，則∠ACB=0°.

分析 因為DA=DB=DC，故A、B、C三點在⊙D上，構造輔助圓.

由題知：∠DAB=∠DBA=20°，所以∠ADB=140°，

故∠ACB=70°.

問題5 如圖5，在正方形ABCD中，連接BD，點E為CB邊的延長線上一點，點F是線段AE的中點，過點F作AE的垂線交BD于點M，連接ME、MC.

（1）根據(jù)題意補全圖形，猜想∠MEC與∠MCE的數(shù)量關系并證明;

（2）連接FB，判斷FB 、FM之間的數(shù)量關系并證明.

分析 這是一道幾何綜合題，以正方形為背景探究角與角、線段和線段之間的數(shù)量關系，綜合性比較強，需要學生應用題目中所有的信息，利用前面的結論，并能夠將題目中的條件轉化成相關的知識再解決.

（1）由正方形的對稱性可知：AM=CM;由線段垂直平分線的判定定理可知：AM=EM，所以AM=EM=CM.

（2）構造⊙M，連接AC，∠AME=2∠ACE=90°，可知△AME是等腰直角三角形，再結合等腰三角形的性質和直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，易證FB =FM.題目中雖然沒有直接給出定點定線段，但是我們可以利用題中的信息得到相應的結論，在中考的綜合題中，經(jīng)常利用輔助圓的思想找到角之間的關系，可以簡化證明過程.

4 四點共圓

如果題目中涉及到四邊形ABCD，且四邊形ABCD中一組對角互補或者四邊形的外角等于內(nèi)對角，或者如圖6，已知∠1=∠2，∠3=∠4，我們就說A、B、C、D四點共圓，可以利用圓的性質定理解決相關問題.

問題5 如圖7，等邊△ABC中，AB=6，P是AB上一動點，PD⊥BC，PE⊥AC，則DE的最小值為多少？

分析 因為∠PEC=∠PDC=90°，所以四邊形PDCE的對角互補，PDCE四點共圓.如圖12，∠EOD=120°，△EOD為等腰三角形，所以ED=

3r，r是⊙O的半徑.要想DE最小，則r最小，直徑CP最小.當CP⊥AC時，CP最小，此時CP=33，故ED=92.

由此可見題中的條件滿足上述要求，構造輔助圓，會收到事半功倍的效果.利用圓將動態(tài)問題靜態(tài)化，將復雜問題簡單化，將直線形問題曲線化，借助圓的相關性質解決問題.

參考文獻：

[1] 劉國祥.巧用輔助圓，妙解數(shù)學題[J].新高考（高三數(shù)學），2014（02）：31-32.

[2] 牛根吉.讓探究活動在數(shù)學課堂學習中深度發(fā)生[J].中學課程輔導（教師通訊），2020（20）：35-36.

[責任編輯：李 璟]