具p-Laplacian非局部條件的非線性隱式分數(shù)階微分方程解的存在唯一性

王 和 香

(喀什大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，新疆 喀什 844006)

0 引言

作為整數(shù)階微積分的推廣，分數(shù)階微積分的起源可以追溯到1695年.由于分數(shù)階構(gòu)建的模型比整數(shù)階模型更符合實際且方法更多樣，使得對分數(shù)階微積分的研究得到迅速發(fā)展，并廣泛應(yīng)用于聲控、信號處理、多孔介質(zhì)、電化學等眾多領(lǐng)域.

近年來，許多學者進一步研究了具有Caputo導數(shù)的分數(shù)階微分方程解的存在性.[1-14]文獻[1]利用Banach壓縮映射原理討論了一類具有Caputo導數(shù)的隱式分數(shù)階微分方程邊值問題

CDαy(t)=f(t，y(t)，CDαy(t))，t∈J=[0，T]，T>0，0<α≤1；

ay(0)+by(T)=c

解的存在性和穩(wěn)定性，其中CD是Caputo導數(shù)，f：J×R×R→R是連續(xù)函數(shù).文獻[2]利用Leray-Schauder度理論證明了具有非局部邊界條件的隱式分數(shù)階微分方程

CDαu(t)=f(t，u，u′，CDβu，CDαu)

解的存在性，其中1<β<α≤2，函數(shù)f連續(xù)，CD是Caputo導數(shù).文獻[3]利用Banach壓縮映射原理和Schauder不動點定理，討論了含積分邊界條件的隱式分數(shù)階微分方程

解的存在唯一性，其中CD是Caputo導數(shù)，f：J×R×R，λ∈(0，+∞).受以上文獻啟發(fā)，本文研究一類具p-Laplacian算子的帶有非局部條件的非線性隱式分數(shù)階微分方程

(1)

1 預備知識

定義1[4]若α>0，函數(shù)u：[0，+∞)→R的Riemann-Liouville分數(shù)階積分定義為

定義2[4]對于α>0，函數(shù)u：[0，+∞)→R的Caputo分數(shù)階微分定義為

其中n-1<α≤n，n=[α]+1.

引理3[6](Krasnoselskii不動點定理) 設(shè)M為Banach空間上的有界閉凸非空子集，算子A，B滿足：①Ax+By∈M，其中x，y∈M；②算子A是緊的且連續(xù)；③算子B是壓縮映像.則存在z∈M，使得z=Az+Bz.

引理4[7](Arzela-Ascoli定理) 設(shè){f(t)}是定義在α≤t≤β上的一致有界且等度連續(xù)的實函數(shù)族，則從其中必可選取一個在α≤t≤β上一致收斂的函數(shù)列{fn(t)}.

引理5[8]p-Laplacian算子具有以下性質(zhì)：

(ⅰ) 若10，|x|，|y|≥m>0，則|φp(x)-φp(y)|≤(p-1)mp-2|x-y|；

(ⅱ) 若p>2，|x|，|y|≤M，則|φp(x)-φp(y)|≤(p-1)Mp-2|x-y|.

引理6[9]設(shè)0<α≤1，h：[0，T]→R為連續(xù)函數(shù)，則線性問題

CDαy(t)=h(t)，t∈J，y(0)+g(y)=y0

引理7 微分方程(1)等價于如下方程：

2 主要結(jié)論

首先給出以下條件：

(H3)g：C(J，R+)→R是連續(xù)函數(shù)，并且滿足‖g(x)-g(y)‖≤b‖x-y‖，?x，y∈C(J，R)；

(H4) |f(t，x，y)|≤q(t)|x|+L|y|，t∈J，x，y∈R，q(t)∈C(J，R+)，0

證明定義T：C(J，R)→C(J，R)，

令

則有

T(BR)?BR，BR={y∈C(J，R)|‖y‖∞≤R}.

|CDαy(t)|≤|f(t，y(t)，CDαy(t))-f(t，0，0)|+|f(t，0，0)|≤p(t)|y(t)|+N|CDαy(t)|+M，

可得

故

則有

任取x，y∈C(J，R)，t∈J，有

|CDαx(t)-CDαy(t)|≤|f(t，x(t)，CDαx(t))-f(t，y(t)，CDαy(t))|≤
p(t)|x(t)-y(t)|+N|CDαx(t)-CDαy(t)|.

故

由引理5，有

從而

即‖Tx(t)-Ty(t)‖∞≤‖x-y‖∞.由壓縮映射原理，算子T有唯一不動點，即微分方程(1)有唯一解.

證明令R≥2(|y0|+G)，BR={y∈C(J，R)|‖y‖∞≤R}.定義BR上的算子A，B：

下證Ax(t)等度連續(xù).設(shè)t1，t2∈J，x∈BR，

故A(BR)相對緊，由引理4，A是緊的.由引理3可知微分方程(1)至少有一個解.

3 例子

考慮微分方程

(2)

由定理1，微分方程(2)有唯一解.