一類新的曲率積分不等式*

馬磊，羅慶仙，徐鎮(zhèn)猛

(廣東茂名幼兒師范?？茖W(xué)校 理學(xué)院, 廣東 茂名 525200)

1 文獻(xiàn)綜述及問(wèn)題的提出

19世紀(jì), 出于對(duì)部分物理現(xiàn)象和實(shí)際問(wèn)題研究的需要, 幾何學(xué)家們研究了曲線或曲面受不同外力的影響時(shí)曲率函數(shù)發(fā)展的相關(guān)問(wèn)題。尤其, 針對(duì)沿曲線法線方向且以主曲率函數(shù)為速度的曲線的發(fā)展問(wèn)題已引起了廣泛的關(guān)注.Gage[1]在研究平面上一類保面積的曲率流的發(fā)展問(wèn)題時(shí), 得到了一個(gè)涉及平面凸曲線的曲率積分的不等式 (1)。目前，一般稱此不等式為Gage等周不等式[2],具體表述如下；設(shè)?K：(I→R2)為平面上邊界光滑的緊致閉凸集K的邊界曲線, 其曲率為κ, 面積及周長(zhǎng)分別為A,L,則

(1)

20世紀(jì),Green 與 Osher在[2]中推廣了Gage的結(jié)果 (1),得到了一般形式的結(jié)果,其表達(dá)式形如

(2)

即曲率的冪積分的下界可以由曲線所圍成的面積與其長(zhǎng)度作為參數(shù)來(lái)估計(jì).特別地,不等式 (2) 中n=2時(shí),即為著名的Gage等周不等式；n=3，4時(shí)，其表達(dá)式分別為

這類不等式的新證明及推廣參見(jiàn)文獻(xiàn)[4,5,6,7,8],相關(guān)的應(yīng)用參見(jiàn)文獻(xiàn)[9,10,11]。

本文利用文獻(xiàn)[12]中的分析形式的仿射等周不等式, 得到了一類分析形式的積分不等式并給出了其等號(hào)成立的條件。應(yīng)用這類積分不等式應(yīng)用我們得到了一類關(guān)于凹函數(shù)的曲率積分不等式, 這類曲率積分不等式的特殊形式為著名的曲率熵不等式(3)[3,8]與部分曲率的冪積分上界估計(jì)的不等式 (4)。

曲率熵不等式具體表述如下：設(shè)K為R2中邊界為C2光滑的緊致閉凸集,則K的面積A,邊界曲線?K的相對(duì)曲率k滿足不等式

(3)

當(dāng)且僅當(dāng)?K為圓時(shí)等號(hào)成立。

(4)

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)?K為圓。

2 預(yù)備知識(shí)

在平面幾何中, 關(guān)于支撐函數(shù)的理論部分可以參見(jiàn)經(jīng)典的著作[14-16]。

平面R2中的直線G可以由垂直于G的方向與x軸的正方向的夾角θ以及原點(diǎn)到直線G的距離p=p(θ)決定.并且滿足方程xcosθ+ysinθ-p(θ)=0.

(5)

當(dāng)p=p(θ)隨θ變化時(shí),方程(5)為一族直線的方程, 且p=p(θ)是以2π為周期的連續(xù)函數(shù)。對(duì)直線族方程(5)兩邊同時(shí)關(guān)于θ求導(dǎo)可得

(6)

由方程 (5) 與 (6) 可得直線族的參數(shù)方程

x=-pcosθ+p′sinθ，y=-psinθ-p′cosθ.

(7)

如果直線族為緊致凸集K的邊界?K的包絡(luò), 則稱p=p(θ)為凸集K的支撐函數(shù)(或凸曲線?K的支撐函數(shù))。

假設(shè)p=p(θ)是C2(二階連續(xù)可微) 函數(shù), 凸曲線?K的弧長(zhǎng)微元為ds,則由 (7) 可知,

(8)

眾所周知,以2π為周期的函數(shù)p=p(θ)為凸集K的支撐函數(shù)(或凸曲線?K的支撐函數(shù))的充要條件為ρ=p+p″>0(參見(jiàn)[14,15])。另外,當(dāng)且僅當(dāng)ρ為某一正常數(shù)時(shí)K的邊界曲線?K為圓,即當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a,b,c使得p(θ)=acosθ+bsinθ+c時(shí),K的邊界曲線?K為圓。若凸集K的支撐函數(shù)(或凸曲線?K的支撐函數(shù))是C2函數(shù), 則凸集K的邊界(凸曲線?K)的相對(duì)曲率, 周長(zhǎng)及其面積可分別為(參見(jiàn)[14,15,16])

(9)

(10)

(11)

3 定理及其證明

下面的結(jié)論(引理1)為仿射微分幾何中分析形式的仿射等周不等式(參見(jiàn)[12]), 對(duì)證明本文的結(jié)論起著關(guān)鍵性的作用。

引理1設(shè)K為R2中邊界為C2光滑的緊致閉凸集, 其支撐函數(shù)為p(θ), 則

(12)

定理1 設(shè)K為R2中邊界為C2光滑的緊致閉凸集, 其支撐函數(shù)為p(θ),φ(t)為(0，+∞)上單調(diào)遞增的凹函數(shù),則

(13)

當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a,b,c使得p(θ)=acosθ+bsinθ+c時(shí)等號(hào)成立。

證明由于K是R2中邊界為C2光滑的緊致閉凸集, 所以K的邊界曲線?K的相對(duì)曲率κ大于0(參見(jiàn)[14],[15]). 由 (9) 式可知p+p″>0.

因此, 當(dāng)p+p″為某個(gè)固定的正常數(shù)c時(shí), 則存在常數(shù)a,b使得

p(θ)=acosθ+bsinθ+c，

且此時(shí)

(14)

(15)

所以,

(16)

由于φ(t)為(0，+∞)上的凹函數(shù), 根據(jù)Jensen不等式可知

(17)

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)p+p″為常數(shù)。

因此, 當(dāng)p+p″不是常值函數(shù)時(shí), 根據(jù)Jensen不等式等號(hào)成立的條件可知, 不等式 (17) 無(wú)法取到等號(hào). 故當(dāng)p+p″為不是常數(shù)c時(shí),

(18)

又因φ(t)為(0，+∞)上的增函數(shù), 由不等式(12)可知

(19)

所以

綜上可知，不等式(13)成立且當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a,b,c使得p(θ)=acosθ+bsinθ+c時(shí)等號(hào)成立。

定理2'設(shè)K為R2中邊界為C2光滑的緊致閉凸集,其面積A與邊界曲線?K的相對(duì)曲率κ，φ(t)為(0,+∞)上單調(diào)遞增的凹函數(shù), 則

(20)

當(dāng)且僅當(dāng)?K為圓時(shí)等號(hào)成立。

(21)

根據(jù)(11)式可得

(22)

由等式 (21), (22) , 結(jié)合定理1中的不等式 (13) 可知不等式 (20) 式成立, 且當(dāng)且僅當(dāng)?Κ為圓時(shí)等號(hào)成立。

推論1 設(shè)K為R2中邊界為C2光滑的緊致閉凸集，它的面積A與邊界曲線?K的相對(duì)曲率κ滿足不等式

(23)

當(dāng)且僅當(dāng)?K為圓時(shí)等號(hào)成立。

(24)

當(dāng)且僅當(dāng)?Κ為圓時(shí)等號(hào)成立。

4 結(jié)語(yǔ)

本文利用分析形式的仿射等周不等式, 得到了一類新的積分不等式并給出了其等號(hào)成立的條件。作為這類積分不等式的直接應(yīng)用, 得到了一類關(guān)于凹函數(shù)的曲率積分不等式, 這類曲率積分不等式的特殊形式為曲率熵不等式與一些特殊情況下曲率的冪積分上界估計(jì)的不等式。這種用分析的方法研究幾何不等式的手段, 豐富了分析與幾何的聯(lián)系, 為研究曲率的冪積分的上下界估計(jì)提供了一種新的思路。