比率依賴的修正Leslie-Gower捕食-食餌模型正解存在性和唯一性

竇 曉 霞， 李 海 俠

(寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 寶雞 721013 )

0 引 言

捕食-食餌模型是生態(tài)學(xué)與生物數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究課題，具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為，已成為生態(tài)領(lǐng)域研究的核心內(nèi)容，受到了國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家的廣泛關(guān)注．生物模型中反應(yīng)函數(shù)的引入提高了有實(shí)際背景生物模型的精確度，因此，生物學(xué)家和數(shù)學(xué)家建立并研究了具有不同反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型．這些研究包括經(jīng)典的Holling-Ⅱ型[1-5]、比率依賴型[6-7]、Beddington-DeAngelis型[8]、Crowley-Martin型[9-12]和Ivlev型[13-14]等反應(yīng)函數(shù)．現(xiàn)實(shí)中隨著食餌數(shù)量的增加，食餌的防御能力也會(huì)提高，這對(duì)捕食者會(huì)起到抑制作用．于是為了模擬這種抑制現(xiàn)象，Andrews提出了Holling-Ⅳ型反應(yīng)函數(shù)．文獻(xiàn)[15]討論了具有簡(jiǎn)化Holling-Ⅳ型反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌擴(kuò)散模型，利用分歧理論得到了正分歧解的存在性和穩(wěn)定性，并通過不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論給出了正解的存在性．文獻(xiàn)[16]考察了具有Holling-Ⅳ型反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型，討論了穩(wěn)態(tài)解的存在性和穩(wěn)定性、倍周期分歧和Neimark-Sacker分歧的存在性和方向．本文主要考慮一類基于比率依賴的簡(jiǎn)化Holling-Ⅳ型反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌擴(kuò)散模型，運(yùn)用反應(yīng)擴(kuò)散方程和非線性泛函分析等理論，通過考察食餌和捕食者的增長(zhǎng)率以及捕食者的捕獲率等因素的影響來研究該模型的動(dòng)力學(xué)行為．

1 模型介紹

文獻(xiàn)[17]在齊次Neumann邊界條件下討論了如下比率依賴的Leslie-Gower捕食-食餌模型：

(1)

考慮到捕食者和食餌受空間非均勻分布的影響，本文在Robin邊界條件下研究如下修正Leslie-Gower 捕食-食餌擴(kuò)散模型：

(2)

從生物學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義上來講，物種是否能夠共存是對(duì)生物模型最重要的研究?jī)?nèi)容之一．因此本文重點(diǎn)討論系統(tǒng)(2)對(duì)應(yīng)的平衡態(tài)系統(tǒng)

(3)

為了得到重要的結(jié)論，給出本文需要的預(yù)備知識(shí)．

令λ1(p)是特征值問題

易知當(dāng)r>λ1時(shí)，如下方程

(4)

存在唯一正解，記為θ(r，a)．而且，θ(r，a)

2 正解的存在性

利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論討論系統(tǒng)(3)正解的存在性．

易知：當(dāng)r>λ1時(shí)，系統(tǒng)(3)存在半平凡解(θ(r，r/k)，0)；當(dāng)b>λ1時(shí)，系統(tǒng)(3)存在半平凡解(0，θ(b，b/c))．簡(jiǎn)單起見，記θ(r，r/k)為u*，θ(b，b/c)為v*．

首先，運(yùn)用特征值的比較原理以及最值原理易得正解存在的必要條件和先驗(yàn)估計(jì)．

引理1若系統(tǒng)(3)存在正解(u，v)，則r>λ1，b>λ1．

□

□

為了計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)，引入以下記號(hào)：

下面在{(u，v)：u≥0，v≥0}上定義函數(shù)

定義算子F：D′→W為

這里M是滿足M>max{m/a，b(k+c)/c}的充分大的常數(shù)．于是F是緊且連續(xù)可微算子．顯然系統(tǒng)(3)存在非負(fù)解當(dāng)且僅當(dāng)算子F在D中存在不動(dòng)點(diǎn)．

接下來運(yùn)用文獻(xiàn)[21]中的定理1給出算子F在平凡解和半平凡解處的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)．

引理3設(shè)r>λ1，b>λ1，則

以及算子Fε為

證明首先證明(0，0)是F在W中的孤立不動(dòng)點(diǎn)．假設(shè)不成立，則存在非負(fù)非平凡解Wi=(ui，vi)，使得當(dāng)i→∞時(shí)Wi→(0，0)且(I-F)Wi=0．于是ui、vi滿足

□

最后由引理3并結(jié)合不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的可加性可得系統(tǒng)(3)正解存在的充分條件．

則

因此系統(tǒng)(3)至少存在一個(gè)正解．

□

3 正解的唯一性和穩(wěn)定性

本章分析參數(shù)m對(duì)系統(tǒng)(3)正解唯一性和穩(wěn)定性的影響，給出正解唯一且穩(wěn)定的條件．

若r>λ1，b>λ1，則問題

存在唯一正解，記作v*．

2.1 一般資料比較 本研究輔助生育組孕婦140例，孕周：15+0～15+6周 27 例，16+0～16+6周 65 例，17+0～17+6周29例，18+0～18+6周13例，19+0～19+6周6例，年齡（30.73±3.40）歲，體重（56.56±8.43）kg；自然妊娠組孕婦420例，孕周：15+0～15+6周32例，16+0～16+6周178例，17+0～17+6周154例，18+0～18+6周42例，19+0～19+6周14例，年齡（29.32±4.11）歲，體重（54.67±8.55）kg，差異無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＞0.05），具有可比性。

x∈Ω

(5)

(6)

如果ξ?0，則由式(6)可知

矛盾，故ξ≡0．于是

此矛盾說明結(jié)論成立．

□

故結(jié)合引理4得到系統(tǒng)(3)存在非退化且線性穩(wěn)定的唯一正解．

□

4 半平凡解的穩(wěn)定性和漸近行為

本章通過拋物方程的比較原理探討系統(tǒng)(2)的滅絕性和持久性．首先探討半平凡解(u*，0)和(0，v*)的穩(wěn)定性．

引理5(i)設(shè)r>λ1．如果b<λ1，則半平凡解(u*，0)穩(wěn)定；如果b>λ1，則半平凡解(u*，0)不穩(wěn)定．

證明由于(i)和(ii)的證明類似，因此只證明(ii)．考慮系統(tǒng)(3)在(0，v*)處的線性化特征值問題：

(7)

□

其次給出系統(tǒng)(2)滅絕的充分條件．

定理3設(shè)(u，v)是系統(tǒng)(2)的正解．如果r≤λ1，b>λ1，則當(dāng)t→∞時(shí)，(u，v)→(0，v*)．

證明因?yàn)?/p>

由比較原理得，當(dāng)t→∞時(shí)，u(x，t)→0．令是充分小的正常數(shù)，則存在T≥0使得所有t>T有u(x，t)<．由系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程得

于是

(8)

又由系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程得

再由比較原理有

(9)

□

最后給出系統(tǒng)(2)的持久性條件．

(10)

和方程

(11)

(12)

v(x，t)≤v*+

(13)

另一方面，由系統(tǒng)(2)有

根據(jù)比較原理可得

于是存在T″≥0使得對(duì)于所有的t>T″，有

(14)

設(shè)T*=max {T，T′，T″}，則對(duì)所有的t>T*，有

□

5 結(jié) 語(yǔ)