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    數(shù)學(xué)概念的精致化教學(xué)
    ——談高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)思考*

    2022-03-25 01:59:46江海華吳琳琳
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年3期
    關(guān)鍵詞:斜率最值圖象

    江海華 吳琳琳

    (江蘇省太倉市明德高級(jí)中學(xué) 215400)

    導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他自然學(xué)科的基礎(chǔ),是研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的工具,但是建立在“無限逼近”的過程之中的導(dǎo)數(shù)概念,與初等數(shù)學(xué)所涉及的一系列思想方法有著本質(zhì)的區(qū)別.這難免給一線教師造成很大的壓力,甚至有將導(dǎo)數(shù)“驅(qū)逐”出高中數(shù)學(xué)課本的呼聲.需要強(qiáng)調(diào)的是,導(dǎo)數(shù)和微積分的發(fā)展經(jīng)歷了漫長的過程,這是一門早就被論證過的科學(xué)理論.不可否認(rèn)這一新理論在創(chuàng)世初期,清晰和嚴(yán)格的推理方法逐漸被“直觀”和“本能”所代替,但是這種看似模糊、站不住腳的新方法帶來的神奇效果卻在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮了巨大的威力.眾多的歷史事實(shí)也表明,在探尋這一新方法嚴(yán)密的理論依據(jù)的過程中,數(shù)學(xué)經(jīng)歷了一段前所未有的高速發(fā)展.因此我們必須看到,對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的深入學(xué)習(xí)能夠促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值,使學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)(特別是非線性關(guān)系)的一般研究思想和方法有新的感悟,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,感受數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的一般規(guī)律,深刻體會(huì)導(dǎo)數(shù)的工具屬性是人類的理性思維和方法在研究實(shí)際問題中取得的偉大勝利,這有非常重要的指導(dǎo)和啟發(fā)意義.同時(shí),在這一曲折的追求真理的過程中出現(xiàn)的一系列新思想、新方法及名人軼事都是實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)育人”的絕佳素材.

    為進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)及工具屬性的認(rèn)識(shí),筆者將從以下幾個(gè)方面,談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)思考:

    1 高中數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的必要性與必然性

    函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型,函數(shù)模型可以幫助我們解決許多實(shí)際問題,而實(shí)際應(yīng)用中充斥著大量最優(yōu)化的相關(guān)問題,研究函數(shù)的單調(diào)性成為必然.一方面,盡管在必修一中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的定義,但是通過定義法去判別及確定某函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是極為困難的,這必然引導(dǎo)著人們?nèi)ふ腋悠毡榈姆椒?另一方面,隨著物理學(xué)家研究問題的逐步深入,往往需要數(shù)學(xué)家提供更精確的模型信息,如變化率等.華羅庚先生提到:“數(shù)無形時(shí)少直覺,形無數(shù)時(shí)難入微.”這就為借助函數(shù)圖象,利用代數(shù)的手段精細(xì)化地研究函數(shù)的基本性質(zhì)提供了可能.在導(dǎo)數(shù)教學(xué)過程中,教師應(yīng)時(shí)刻秉持如何精細(xì)化研究函數(shù)這一整體目標(biāo),切不可因某些細(xì)枝末節(jié)的問題弱化了學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)工具屬性的情感體驗(yàn).“不謀全局者不足謀一域”,導(dǎo)數(shù)教學(xué)站位要高,導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性要在課堂教學(xué)中著重體現(xiàn).如果學(xué)生在這方面的認(rèn)識(shí)是蒼白的,在以后獨(dú)立面對(duì)具體的函數(shù)模型時(shí)必然會(huì)陷入模糊和不知所措的困境.因此,在導(dǎo)數(shù)教學(xué)的過程中,教師要以豐富的具體實(shí)例向?qū)W生展示研究問題的基本思路和方法,在比較與反思中強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中不可代替的工具屬性.

    2 導(dǎo)數(shù)教學(xué)過程中幾個(gè)關(guān)鍵概念的理解與處理建議

    從某種程度上說,高中數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)教學(xué)確實(shí)存在著某些不可避免的“先天不足”,要克服這種“先天不足”必然要談到導(dǎo)數(shù)教學(xué)的“度”怎么把握.而這個(gè)“度”很大程度就依賴于學(xué)生對(duì)無限逼近與“量變到質(zhì)變”“近似與明確”的哲學(xué)原理的理解深度與層次.若只將導(dǎo)數(shù)(求導(dǎo))作為一種規(guī)則步驟去反復(fù)操練,則并沒有突出導(dǎo)數(shù)的核心作用.

    2.1 無窮小量與函數(shù)連續(xù)

    無窮小量與函數(shù)連續(xù)是高等數(shù)學(xué)中兩個(gè)非常重要且基本的概念,部分教師認(rèn)為沒有必要加大學(xué)生的理解負(fù)擔(dān),不需要提.筆者認(rèn)為,“藏著掖著,躲貓貓變戲法”似地不講原因就進(jìn)行運(yùn)算(變形)反而不利于學(xué)生利用定義推導(dǎo)幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),會(huì)覺得

    Δx

    一會(huì)是0一會(huì)又不是0.在求非線性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)幾乎繞不開這兩個(gè)概念,有沒有提只是這層“窗戶紙”有沒有捅破罷了,其實(shí)沒有任何糾結(jié)的必要.下面給出一個(gè)很簡單但是又很典型的例子:求函數(shù)

    f

    (

    x

    )=

    x

    的導(dǎo)數(shù),相當(dāng)于找拋物線的斜率.這是一個(gè)教我們?nèi)绾斡?jì)算“當(dāng)

    Δx

    →0時(shí),趨向于何值”的最簡單的例子.我們有如果直接取分母

    Δx

    為零,那么將得到?jīng)]有意義的表達(dá)式但若在取

    Δx

    →0之前,把差商進(jìn)行改寫,就能消去搗亂的因子

    Δx

    ,從而避開這個(gè)困難(

    Δx

    ≠0),得到=2

    x

    +

    Δx.

    這一步運(yùn)算實(shí)質(zhì)是兩個(gè)無窮小量的計(jì)算(比階),如何讓學(xué)生體會(huì)到這一點(diǎn)是比較困難的.現(xiàn)在,在消去

    Δx

    之后,讓

    Δx

    →0就沒有任何障礙了,用“代入法”就可以直接得到,這是利用了差商的新形式2

    x

    +

    Δx

    是連續(xù)的,而連續(xù)函數(shù)在自變量無限接近的條件下,函數(shù)值就等于在該點(diǎn)的函數(shù)值.因?yàn)閺膸缀沃庇^來說,函數(shù)連續(xù)從圖象上表現(xiàn)為“一筆畫”的形態(tài).當(dāng)然,用類似的方法還可以推導(dǎo)出許多其他基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).不可否認(rèn),在這里我們利用了大量的幾何直觀,缺乏一些必要的嚴(yán)密論證,但這種犧牲是值得的,這已經(jīng)盡可能地凸顯了導(dǎo)數(shù)(求導(dǎo))的數(shù)學(xué)本質(zhì).

    2.2 導(dǎo)數(shù)(求導(dǎo))概念教學(xué)的處理建議

    教材中通過氣溫曲線圖研究氣溫“陡增”的數(shù)學(xué)意義入手,引入了“平均變化率”這一數(shù)學(xué)概念,筆者認(rèn)為鋪墊還不夠平穩(wěn).盡管學(xué)生了解平均變化率的計(jì)算方法,但是對(duì)于教材中為什么要研究這一概念卻不知所云.不妨深究一下在課堂教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):量化曲線“陡峭”方法的淵源,可提出如下問題串,讓學(xué)生思考:

    問題1

    通過觀察直線的圖象,我們可以很清晰地知道直線的傾斜程度,一般我們用直線的哪個(gè)代數(shù)量來刻畫呢?這個(gè)代數(shù)量是怎么計(jì)算的?

    設(shè)計(jì)意圖

    讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線的斜率這一代數(shù)量可以用來刻畫直線的傾斜程度(變化趨勢),明確直線斜率的求法(差商的形式).

    問題2

    給出一個(gè)一般的曲線

    y

    =

    f

    (

    x

    )的圖象(這時(shí)可以用教材中的氣溫曲線圖),它不再是直線形態(tài),若以(

    x

    ,

    f

    (

    x

    ))為一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn),你能否作出一條直線來輔助判別曲線

    y

    =

    f

    (

    x

    )的圖象在某點(diǎn)

    x

    =

    x

    處的變化趨勢?這條直線的斜率如何計(jì)算?

    設(shè)計(jì)意圖

    在曲線上作一條直線(給出曲線的割線定義),計(jì)算割線斜率.建立在學(xué)生已有的基礎(chǔ)之上,并進(jìn)一步明確差商的由來及計(jì)算方法.這是“以直代曲”的方法由來.

    問題3

    你所作的這條直線總能判別該曲線

    y

    =

    f

    (

    x

    )的圖象在該點(diǎn)

    x

    =

    x

    處的變化規(guī)律嗎?為什么?如果不能,原因是什么?該如何改進(jìn)呢?

    設(shè)計(jì)意圖

    通過作不同的割線并計(jì)算其斜率,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并不是所有的答案都和曲線

    y

    =

    f

    (

    x

    )圖象直觀上看到的一致.這種差異性為學(xué)生發(fā)現(xiàn)不是所有的割線都滿足條件做好了鋪墊,割線到切線的提出呼之欲出,這是在解釋“局部的以直代曲”的必要性.

    圖1 圖2

    問題4

    從代數(shù)角度如何區(qū)別在曲線上點(diǎn)(

    x

    ,

    f

    (

    x

    ))左右兩端作割線?這時(shí)自變量的增量

    Δx

    →0如何理解?

    設(shè)計(jì)意圖

    得到

    Δx

    可正也可負(fù)的結(jié)論,當(dāng)

    Δx

    取負(fù)值時(shí),另一個(gè)點(diǎn)在(

    x

    ,

    f

    (

    x

    ))的左側(cè),當(dāng)

    Δx

    取正值時(shí),另一個(gè)點(diǎn)在(

    x

    ,

    f

    (

    x

    ))的右側(cè).而自變量的增量

    Δx

    →0就相當(dāng)于另一個(gè)點(diǎn)無限靠近點(diǎn)(

    x

    ,

    f

    (

    x

    )),理解這種趨向過程是包含點(diǎn)(

    x

    ,

    f

    (

    x

    ))兩側(cè)的,但是又不是同一個(gè)點(diǎn).進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)趨向于0的

    Δx

    不是一個(gè)確定的常數(shù),而是一個(gè)要多小有多小的變量.

    問題5

    (如果學(xué)生回答問題4時(shí)出現(xiàn)問題)通過作圖軟件,將曲線

    y

    =

    f

    (

    x

    )在某點(diǎn)

    x

    =

    x

    處的圖象放大很多倍,引導(dǎo)學(xué)生從直觀發(fā)現(xiàn)“局部以直代曲”的合理性(圖2),并提問:這一過程如何用代數(shù)的手段去刻畫,這是在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)讓自變量的增量

    Δx

    →0的必要性.

    問題6

    當(dāng)自變量的增量

    Δx

    →0時(shí),差商的值如何變化?這個(gè)值的幾何意義是什么?

    設(shè)計(jì)意圖

    讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)差商的極限其實(shí)就是曲線

    y

    =

    f

    (

    x

    )在某點(diǎn)

    x

    =

    x

    處的切線斜率,但是此時(shí)學(xué)生不知道如何計(jì)算.究其原因,還是不理解自變量的增量

    Δx

    →0意味著什么.這里教師可以通過物理中的瞬時(shí)速度加以解釋.

    問題7

    (明確導(dǎo)數(shù)的定義)設(shè)函數(shù)

    y

    =

    f

    (

    x

    )在區(qū)間(

    a

    ,

    b

    )上有定義,

    x

    ∈(

    a

    ,

    b

    ),若

    Δx

    無限趨近于0時(shí),比值無限趨近于一個(gè)常數(shù)

    A

    時(shí),則稱

    f

    (

    x

    )在

    x

    =

    x

    處可導(dǎo),并稱該常數(shù)

    A

    為函數(shù)

    f

    (

    x

    )在

    x

    =

    x

    處的導(dǎo)數(shù),記作

    f

    ′(

    x

    ).

    問題8

    如何理解函數(shù)

    y

    =|

    x

    |在

    x

    =0處不可導(dǎo)?

    設(shè)計(jì)意圖

    一方面給學(xué)生講清楚,并不是與函數(shù)圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線就是該函數(shù)的切線.另一方面,若函數(shù)在定義域內(nèi)的某一點(diǎn)不可導(dǎo),從幾何上看有什么特征(函數(shù)圖象在該點(diǎn)處是“尖”的,或者說不光滑)?從代數(shù)上看又該如何衡量(差商在不同的趨向下不唯一)?

    在上述問題串的探究過程中,從“形”與“數(shù)”兩個(gè)方面逐步深入地解釋了導(dǎo)數(shù)(求導(dǎo))形式所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)本質(zhì):局部“以直代曲”的合理性與可操作性.

    2.3 原函數(shù)f(x)與導(dǎo)函數(shù)f′(x)的關(guān)系與聯(lián)系

    通過原函數(shù)

    f

    (

    x

    ),可以求出曲線

    y

    =

    f

    (

    x

    )在

    x

    處的高度.我們還可以通過研究曲線在動(dòng)點(diǎn)

    P

    (

    x

    ,

    f

    (

    x

    ))處的斜率,因?yàn)檫@也是一個(gè)確定的常數(shù),于是可將其視作是

    x

    的一個(gè)新函數(shù),記作

    f

    ′(

    x

    ).這就和由變量

    x

    的任何值得到

    f

    (

    x

    )的情形一樣:

    f

    (

    x

    )是曲線

    y

    =

    f

    (

    x

    )在點(diǎn)

    x

    的高度,

    f

    ′(

    x

    )是曲線

    y

    =

    f

    (

    x

    )在點(diǎn)

    x

    的斜率.當(dāng)

    x

    的值發(fā)生改變時(shí),可以通過

    f

    ′(

    x

    )的值來描述曲線

    y

    =

    f

    (

    x

    )的變化規(guī)律.若一個(gè)點(diǎn)有正的導(dǎo)數(shù),即

    f

    ′(

    x

    )>0,就表示該點(diǎn)曲線上升(

    y

    增加),反之亦然.特別地,若

    f

    ′(

    x

    )=0,就表示曲線在

    x

    處是水平方向.特別需要指出的是,將

    y

    =

    f

    (

    x

    )上下平移得到一個(gè)新函數(shù),并不會(huì)讓新函數(shù)在

    x

    處的變化規(guī)律發(fā)生改變.換句話說,

    f

    ′(

    x

    )只是刻畫函數(shù)變化規(guī)律的代數(shù)量,它的大小與函數(shù)值

    f

    (

    x

    )的大小并沒有直接的關(guān)系,而這一點(diǎn)是學(xué)生理解極大值與極小值沒有必要聯(lián)系(不能判斷極大值、極小值誰大誰小)的基礎(chǔ).教師在教學(xué)過程中,要通過大量的函數(shù)圖象實(shí)例向?qū)W生展示這一基本事實(shí),在一系列正反例辨析中達(dá)到對(duì)該概念的深入理解.

    2.4 函數(shù)極值概念的處理建議

    按照教材編排的順序看,先研究的是函數(shù)的極大極小值,再研究函數(shù)的最大最小值.這種設(shè)計(jì)符合研究函數(shù)的自然流程,但是從知識(shí)發(fā)生發(fā)展的角度來說,我們應(yīng)該先提出如何尋找函數(shù)最大最小值的問題,而極大極小值只是一個(gè)“過渡性、階梯性”的概念,講清楚極值在求函數(shù)最值中扮演的“輔助”屬性,是我們研究極值的邏輯起點(diǎn).在實(shí)際教學(xué)過程中,我們可以設(shè)計(jì)如下的問題串.

    問題1

    假設(shè)函數(shù)

    f

    (

    x

    )是定義在閉區(qū)間[

    a

    ,

    b

    ]上的連續(xù)函數(shù)(通俗地說,該函數(shù)圖象可以一筆畫),你們不妨親自動(dòng)手畫一畫,然后根據(jù)你所畫的圖象,判斷:函數(shù)

    f

    (

    x

    )在閉區(qū)間[

    a

    ,

    b

    ]上是否必有最大最小值?

    問題2

    這堂課主要是利用導(dǎo)數(shù)工具來研究函數(shù)的性質(zhì),請(qǐng)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義判斷你畫的函數(shù)的圖象是否符合

    f

    (

    x

    )是定義在閉區(qū)間[

    a

    ,

    b

    ]上的可導(dǎo)函數(shù)?如果不是,請(qǐng)你再另舉一個(gè)滿足條件的例子.

    問題3

    標(biāo)出函數(shù)圖象中的最低點(diǎn)和最高點(diǎn),談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn).

    問題4

    (引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出兩種情形:最值點(diǎn)不在兩端點(diǎn)處取到,最值點(diǎn)在兩端點(diǎn)處取到)若最值點(diǎn)不在兩端點(diǎn)處取到,函數(shù)圖象在該點(diǎn)處有何特征?(總結(jié)出此時(shí)

    f

    ′(

    x

    )=0)此時(shí)函數(shù)

    f

    (

    x

    )在

    x

    =

    x

    處兩側(cè)具有怎么的變化規(guī)律?

    問題5

    f

    ′(

    x

    )=0,則函數(shù)

    f

    (

    x

    )一定在

    x

    =

    x

    處取到最大值或最小值嗎?若不是,請(qǐng)舉一個(gè)反例加以說明.特別給出以下兩個(gè)例子來說明滿足

    f

    ′(

    x

    )=0的點(diǎn)(

    x

    ,

    f

    (

    x

    ))不一定是函數(shù)的最值點(diǎn),然后給出函數(shù)極值點(diǎn)的定義.

    圖3 圖4

    問題6

    通過上述分析,請(qǐng)你給出求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在某閉區(qū)間上的最值的方法.最值是函數(shù)的一個(gè)非常重要的特征(前提得有),大量的生活實(shí)例中都需要尋找某函數(shù)模型的最優(yōu)解(很大一部分就屬于最值問題).通過上述一系列的探究活動(dòng),學(xué)生可以清晰地看到:連續(xù)的可導(dǎo)函數(shù)

    f

    (

    x

    )在閉區(qū)間[

    a

    ,

    b

    ]上必存在最大、最小值,最值要么在端點(diǎn)處取到,要么不在兩端點(diǎn)處取到.若最值點(diǎn)不在兩端點(diǎn)處取到,函數(shù)圖象在該點(diǎn)處呈水平狀態(tài),即

    f

    ′(

    x

    )=0.反之,若

    f

    ′(

    x

    )=0,則函數(shù)

    f

    (

    x

    )不一定在

    x

    =

    x

    處取到最大值或最小值.在大量的正反實(shí)例辨析中,筆者相信,學(xué)生可以真正明白:一般地,研究函數(shù)的最值要先研究函數(shù)的極值,極值在求函數(shù)最值中扮演著“輔助”角色.

    2.5 函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

    雖然導(dǎo)數(shù)

    f

    ′(

    x

    )能夠刻畫曲線

    y

    =

    f

    (

    x

    )的“陡峭程度”,但是卻無法分辨曲線的彎曲程度.那我們追求的所謂精細(xì)化研究函數(shù)的形態(tài)又該如何體現(xiàn)呢?如圖5.

    圖5

    從圖象上看,盡管函數(shù)圖象在原點(diǎn)兩側(cè)均是呈上升狀態(tài),但是能明顯發(fā)現(xiàn),這兩種上升狀態(tài)(曲線的彎曲形態(tài))是不同的,那又該用什么代數(shù)量來刻畫這個(gè)不同點(diǎn)呢(這是研究二階導(dǎo)數(shù)的原因之一)?二階導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)分析中是一個(gè)非常重要的概念,因?yàn)?p>f

    ″(

    x

    )表示

    f

    ′(

    x

    )的變化率,給出了曲線彎曲程度的代數(shù)表示方法.引導(dǎo)學(xué)生探究:先在曲線

    y

    =

    f

    (

    x

    )的圖象上任取一點(diǎn)

    x

    ,作出在

    x

    處的切線,隨著自變量

    x

    逐漸變大,切線的傾斜程度越來越大,這一發(fā)現(xiàn)如何用代數(shù)量來表示?(

    f

    ′(

    x

    )表示在

    x

    處的切線斜率,即

    f

    ′(

    x

    )越來越大)如果繼續(xù)用導(dǎo)數(shù)的觀點(diǎn)看,等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)

    f

    ′(

    x

    )的導(dǎo)數(shù)大于0,反之亦然.導(dǎo)函數(shù)

    f

    ′(

    x

    )的導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中稱為函數(shù)

    f

    (

    x

    )的二階導(dǎo)數(shù),記為

    f

    ″(

    x

    ).如果

    f

    ″(

    x

    )在一個(gè)區(qū)間是正的,那么

    f

    ′(

    x

    )的變化率是正的.一個(gè)函數(shù)的變化率是正的是指函數(shù)值隨

    x

    的增加而增加.因此,

    f

    ″(

    x

    )>0是指當(dāng)

    x

    增加時(shí)斜率

    f

    ′(

    x

    )增加,于是在

    f

    ′(

    x

    )是正的地方函數(shù)變陡峭,而在

    f

    ′(

    x

    )是負(fù)的地方函數(shù)變平緩,此時(shí)就說曲線是下凸的,如圖6.同理,如果

    f

    ″(

    x

    )<0,那么曲線

    y

    =

    f

    (

    x

    )是向上凹的,如圖7.要得到這一結(jié)論,不可操之過急,建議多用幾個(gè)常見的函數(shù)模型圖象來加以說明和辨析,強(qiáng)化幾何直觀和代數(shù)刻畫的聯(lián)系.

    圖6 圖7

    雖然在高中階段函數(shù)

    f

    (

    x

    )的二階導(dǎo)數(shù)不是必學(xué)的知識(shí)點(diǎn),但從精致化研究函數(shù)性質(zhì)的角度來看,這是一個(gè)繞不過去的概念,從某種程度真正反映了學(xué)生的思維層次和理解深度,必然成為考查的重點(diǎn).

    3 導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)反思

    導(dǎo)數(shù)問題一直是各省份高考數(shù)學(xué)中的難題,從近幾年全國卷導(dǎo)數(shù)大題的命題思路來看,往往是選擇我們非常熟悉的初等函數(shù)作為題干基礎(chǔ),并沒有在刻意制造一個(gè)形式復(fù)雜的函數(shù)模型;盡管起點(diǎn)往往很低,但還是讓大部分考生感到十分吃力,各種求導(dǎo)、分類討論、運(yùn)算技巧蜂擁而上,洋洋灑灑之后學(xué)生思路基本已經(jīng)湮沒在細(xì)枝末節(jié)的汪洋大海,對(duì)于題目的要求早已拋諸腦后.作為一線的教師,我們要深刻思考出現(xiàn)這種問題的本質(zhì)原因在哪里,是題目做得太少嗎?筆者認(rèn)為,恰恰是在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中我們花費(fèi)了過多的時(shí)間在所謂的數(shù)學(xué)技巧之上,在解決眾多“結(jié)構(gòu)良好”的問題中,幾乎迷失了教學(xué)方向,讓學(xué)生錯(cuò)誤地相信研究數(shù)學(xué)其實(shí)是有一套固定程序的.如果意識(shí)不到這一點(diǎn),數(shù)學(xué)教學(xué)永遠(yuǎn)是僵化低效的.我們要從高考命題的角度去洞察數(shù)學(xué)新課改的方向.學(xué)生在實(shí)戰(zhàn)中的潰不成軍要引起我們足夠的重視,改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式一直是數(shù)學(xué)教育改革的核心,而改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式在很大程度上依賴于教師的教學(xué)方式.在講授數(shù)學(xué)某些核心概念的過程中,要避免粗放的引導(dǎo)和“快餐式”的啟發(fā).正如章建躍先生所說:在知識(shí)形成過程的“關(guān)鍵點(diǎn)”上要精致,在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生解決問題策略的“關(guān)節(jié)點(diǎn)”上要精致,在數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”上要精致.我們有理由相信,數(shù)學(xué)概念的精致化教學(xué)是引導(dǎo)學(xué)生走向有深度、有廣度的數(shù)學(xué)課堂的一項(xiàng)有效手段.

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