破解三角函數(shù)最值難題的三個(gè)“妙招”

史保恒

解答三角函數(shù)最值問(wèn)題，一般需先對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)，然后將其視為函數(shù)最值問(wèn)題來(lái)求解.此類問(wèn)題的綜合性較強(qiáng)，對(duì)同學(xué)們的綜合分析能力有較高要求.因此在解答三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，我們需靈活運(yùn)用三角函數(shù)中的公式、性質(zhì)以及函數(shù)的性質(zhì)、圖象來(lái)解題.

一、利用函數(shù)的性質(zhì)

對(duì)于形如 y =a sin2x +b cosx +c（a ≠0，且a、 b、 c 為常數(shù)）或 y =a cos2x +b sinx+c 的三角函數(shù)式，我們通常需先運(yùn)用誘導(dǎo)公式或者二倍角公式將函數(shù)式中的函數(shù)名稱統(tǒng)一，然后將其看作關(guān)于sinx、cosx 的一元二次函數(shù)，借助一元二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象來(lái)求三角函數(shù)的最值.

例1.求函數(shù) y =5sinx + cos2x 的最值.

解：y =5sinx + cos2x =-2 sin2x +5sinx+1，可將其視為一個(gè)關(guān)于sinx 的二次函數(shù)，則y =-2è（?）sinx- ?（?）2+ ，

而-1≤sinx≤1，>1，

因此函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)sinx=-1，即 x =2k +1π+ 時(shí)，ymin=-6;當(dāng)sinx=1，即 x =2kπ+ 時(shí)，ymax =4.

我們首先利用二倍角公式將函數(shù)式中的函數(shù)名稱統(tǒng)一為正弦，然后將函數(shù)式看作關(guān)于 sinx 的一元二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值.

二、利用基本不等式

基本不等式： a +b ≥2a >0，b >0是求函數(shù)最值的重要手段.在運(yùn)用基本不等式求三角函數(shù)的最值時(shí)，我們可先通過(guò)三角函數(shù)恒等變換將三角函數(shù)式配湊為兩式的和或積的形式，并使其一為定值，這樣便可運(yùn)用基本不等式求得最值.在運(yùn)用基本不等式時(shí)要把握三個(gè)條件：“一正”“二定”“三相等”.

例2.求函數(shù) y = sin4x ? cos2x 的最大值. 解：y = sin4x ? cos2x = sin2x ? sin2x ?2 cos2x≤3，

因?yàn)?sin2x + cos2x =1，

所以 sin2x + sin2x +2 cos2x =2，

因此 sin2x + sin2x +2 cos2x ≥2 +2=4 ，

當(dāng)sinx=2cosx= ，即 x =kπ±arccos 時(shí)等號(hào)

成立，

則，所以 y 的最大值為 .

解答本題，需首先運(yùn)用基本不等式的變形式 a +b +c ≥33，明確目標(biāo)式的變形方向，然后根據(jù)重要不等式 sin2x+cos2x =1和基本不等式，求得 sin2x + sin2x +2cos2x 的最值，從而求得目標(biāo)式的最值.

三、采用導(dǎo)數(shù)法

有些三角函數(shù)式較為復(fù)雜，我們需先將其函數(shù)名稱統(tǒng)一，將三角函數(shù)式看作關(guān)于正弦、余弦、正切函數(shù)的函數(shù)式，然后對(duì)其求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系，以便判斷出函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值.

例3.求函數(shù)的最大值.

解：

因此，當(dāng) x = 時(shí)，f xmax =fè（?） ?（?）= .

一般地，若導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)單調(diào)遞增，若 則函數(shù)單調(diào)遞減.若導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)左側(cè)的函數(shù)遞增，右側(cè)的函數(shù)遞減，則該點(diǎn)為極大值點(diǎn)，再將極大值與端點(diǎn)值比較，即可求得函數(shù)的最大值.

總之，求解較為復(fù)雜的三角函數(shù)最值問(wèn)題，關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，這樣便可運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)法來(lái)解題.因而在求三角函數(shù)最值時(shí)，要充分關(guān)注函數(shù)的定義域，即角度的取值范圍.

（作者單位：江蘇省南京市溧水區(qū)第二高級(jí)中學(xué)）