高中數(shù)學(xué)課堂中滲透函數(shù)與方程思想教學(xué)初探

楊雪松

與小學(xué)和初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不一樣，高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)相對(duì)比較抽象化，大部分學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)比較吃力。高中一年級(jí)學(xué)習(xí)函數(shù)就讓不少學(xué)生感到恐懼，因?yàn)槠涑橄笮允橇x務(wù)教育階段學(xué)習(xí)無(wú)法比擬的。如果學(xué)生想要把高中數(shù)學(xué)這一科目學(xué)習(xí)好，就需要掌握一定的數(shù)學(xué)思維并且能夠靈活應(yīng)用。但數(shù)學(xué)思想并不是一蹴而就的，也不是一兩節(jié)課就可以傳授完畢的秘訣，它是需要學(xué)生在深刻理解數(shù)學(xué)概念、熟練掌握一定量的數(shù)學(xué)問(wèn)題后，通過(guò)解題后的不斷反思，在其思維中一步步摸索與總結(jié)而形成的系統(tǒng)思考方法。本文將結(jié)合自己的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，對(duì)高中數(shù)學(xué)課堂滲透函數(shù)與方程思想教學(xué)進(jìn)行初步地探討與分析，幫助學(xué)生在提升自身數(shù)學(xué)能力的同時(shí)，也注意自身數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高，并為數(shù)學(xué)教學(xué)效率的提高和數(shù)學(xué)教學(xué)改革的優(yōu)化提供相關(guān)參考。

一、正確理解數(shù)學(xué)的抽象性，在形象直觀中逐步抽象化

從小學(xué)開(kāi)始，學(xué)生就明確數(shù)學(xué)中的“數(shù)”是從萬(wàn)事萬(wàn)物中抽象出來(lái)的、物質(zhì)的量的表征。如數(shù)字“9”，可以是9顆棒棒糖，也可以是9本書(shū)、9位同學(xué)、9根筆等等。到了初中，我們又把抽象的數(shù)用更加抽象的字母替代。如字母a，它不僅可以表示正數(shù)、負(fù)數(shù)，還可以是0。這時(shí)，就很容易讓學(xué)生犯迷糊，如-a，它是不是負(fù)數(shù)呢？這個(gè)時(shí)候，就要分類(lèi)討論了，即若a為正數(shù)，-a就是負(fù)數(shù);若a=0，-a依然等于0;若a為負(fù)數(shù)，這時(shí)-a就反而是正數(shù)。這在對(duì)a取絕對(duì)值時(shí)，可以很好地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的掌握情況。很多學(xué)生會(huì)以為|a|=a，而沒(méi)有從a的取值分類(lèi)去得出不同的結(jié)論。學(xué)生在初中階段就接觸了不少簡(jiǎn)單的函數(shù)，如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等。這些函數(shù)揭示的是兩個(gè)變量之間的內(nèi)在數(shù)量關(guān)系，這就比單純地一個(gè)字母表示的數(shù)更加抽象了。

高中階段，我們高一的函數(shù)學(xué)習(xí)是最關(guān)鍵的影響因素，指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，它們是我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他函數(shù)的基礎(chǔ)。為了更好地掌握這些基礎(chǔ)的三大函數(shù)，我們課堂上要做大量的鋪墊，以化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化抽象為形象。如，對(duì)于函數(shù)概念，y=f（x），我們知道，x是自變量，y或者說(shuō)f（x）是因變量，x取定值時(shí)，y也因此而有唯一的定值與之對(duì)應(yīng);而x取值變化時(shí)，y也隨之變化。對(duì)此，我簡(jiǎn)單地說(shuō)成：函數(shù)就是你和我的關(guān)系，你定我也定，你變化我也隨之變化。學(xué)生一下子就能夠明白這樣兩個(gè)變量的依存關(guān)系。

學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時(shí)，我引入2的0-10次方，要求學(xué)生記憶2的0-10次冪結(jié)果：1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024，還在課堂上用2的這些次冪演練蘭州拉面的生產(chǎn)過(guò)程。例：蘭州拉面開(kāi)始揉面，可以看成20=1;然后一拉為2，即21=2;隨后再一拉，2變成4，即22=4;以此翻倍下去……拉10次，即210=1024。這時(shí)，拉面師傅手中有1024根面條，截取去兩頭，抓取到熱鍋中煮熟，加上調(diào)料，一碗熱氣騰騰的蘭州拉面就完成了?？梢砸贿吥M拉面的過(guò)程，一邊讓學(xué)生跟著做體操，同時(shí)記憶2的0-10次冪結(jié)果。這樣不僅培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感，還給學(xué)生留下深刻的記憶體驗(yàn)。對(duì)于指數(shù)函數(shù)，我們可以以y = f（x） = 2x為特例展開(kāi)學(xué)習(xí)，再在學(xué)習(xí)過(guò)程中講一些故事，如印度宰相與國(guó)王下棋打賭的故事，或者一張紙折疊30次可以堆高到達(dá)月球的結(jié)果，讓學(xué)生體會(huì)指數(shù)翻倍先慢后快的特點(diǎn)。通過(guò)這些游戲、故事等，讓抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐漸被學(xué)生接受。

二、正確理解函數(shù)與方程思想，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

現(xiàn)在我們所提倡的是能力的學(xué)習(xí)，在數(shù)學(xué)當(dāng)中，需要培養(yǎng)學(xué)生的各種數(shù)學(xué)思維能力。如換個(gè)角度思考，正難則反，利用“借”的思想，數(shù)形結(jié)合……這些思想方法都是我們解決數(shù)學(xué)以及實(shí)際問(wèn)題必不可少的思想工具。方程思想，其實(shí)就是利用未知解題的思想。如，三百多年前，數(shù)學(xué)王子高斯碰到老師給的難題：1+2+3+……+100=？大家都按固有的慣性思維，從左到右依次相加99次。這個(gè)工作量還是挺大的，但也會(huì)得到一個(gè)有用的數(shù)列，即1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66……聰明的高斯則換個(gè)角度觀察，從兩頭往中間看，發(fā)現(xiàn)1+100=2+99=3+98=……=50+51=101。這樣，就有50個(gè)101，加法變成乘法，即101×50=5050。這也是今天等差數(shù)列求和方法的源頭。如果我們利用方程思想，我們就可以設(shè)1+2+3+…+100=x;然后如同孫悟空的金箍棒，給它一個(gè)反轉(zhuǎn)，就有100+99+98+…+1=x。兩個(gè)等式對(duì)齊，相加，就有左邊是100個(gè)101，即10100;右邊是2x。即2x=10100，解方程得x=5050。因此，同樣可以得到1+2+3+……+100=5050。

一般情況下，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中經(jīng)常要用到函數(shù)與方程的思想，這是解題的關(guān)鍵，特別是碰到一些有規(guī)律的數(shù)列，一定會(huì)有數(shù)據(jù)之間的依存關(guān)系。如對(duì)于前述1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66……，依存關(guān)系是S = 。而對(duì)于拉面數(shù)1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024……，依存關(guān)系是S = 2n-1。因此，學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)與方程的思想不僅能夠提高自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)，也能夠鍛煉自己的思維方式，把復(fù)雜混亂的題目整理得更加清晰明了，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)的邏輯思維能力，更利于學(xué)生理解復(fù)雜的解題過(guò)程。同時(shí)，也對(duì)學(xué)生在生活當(dāng)中的實(shí)際應(yīng)用很有幫助。

數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想不僅能夠?qū)⒊踔械闹R(shí)和高中的知識(shí)很好地銜接起來(lái)，還能把一些生活當(dāng)中的實(shí)際問(wèn)題或者是具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)與方程，從而更加有利于我們把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。函數(shù)與方程的思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是一種十分重要的思維方式，在解題中也十分關(guān)鍵，幾乎所有的數(shù)學(xué)題都會(huì)應(yīng)用到這種解題思路，這是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本內(nèi)容，也是提升學(xué)生解題思路的重要條件。函數(shù)與方程的思想可以讓學(xué)生在面對(duì)大量復(fù)雜的題目材料時(shí)，把它們變得系統(tǒng)清晰化，更有利于理清思路，應(yīng)用函數(shù)與方程的解題方法，常常能夠把問(wèn)題簡(jiǎn)單化。應(yīng)用這種方法在解題過(guò)程中可以達(dá)到事半功倍的效果。

三、函數(shù)與方程思想具體應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)

1. 在函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化當(dāng)中的應(yīng)用

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的大部分思路是利用函數(shù)和方程之間可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化的思想，但是在兩者轉(zhuǎn)化的過(guò)程當(dāng)中需要特別注意的是函數(shù)的定義域，這是解題中常常遇到的一種情況;另外一種情況是當(dāng)一個(gè)函數(shù)的定義域確定的情況下，當(dāng)運(yùn)用待定系數(shù)法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，要能夠時(shí)刻注意函數(shù)的類(lèi)型，這樣才能把這類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題完整且正確地解答出來(lái)。所以說(shuō)，我們?cè)谧鲱}的時(shí)候，有思路的同時(shí)，也要做到仔細(xì)認(rèn)真。很多函數(shù)和方程的問(wèn)題當(dāng)中都會(huì)涉及到定義域，我們一定要考慮到定義域的取值范圍，并且要能夠把同一類(lèi)型的題目總結(jié)出規(guī)律，這樣能夠幫助我們更加快速地解答出問(wèn)題。

例1：已知函數(shù)f（x） = kx2 + （k-3）x+1的圖像與x軸在原點(diǎn)的右側(cè)有交點(diǎn)，求解這個(gè)函數(shù)，確定實(shí)數(shù)k的取值范圍。

分析：解這一道題時(shí)，首先要分析當(dāng)k=0時(shí)，f（x） = -3x+1，這個(gè)圖像與x軸的交點(diǎn)為（，0），這個(gè)結(jié)果符合題意的要求。

其次，分析當(dāng)k不等于0時(shí)，對(duì)于x=0，函數(shù)的值為1。當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)的圖像是開(kāi)口向下的拋物線，此時(shí)它與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，分別位于原點(diǎn)的兩側(cè)。

最后，當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)的圖像是開(kāi)口向上的拋物線，此時(shí)必須結(jié)合△大于等于0，來(lái)求解k的取值范圍。也就是0小于k并且小于等于1。

解題：（1）當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=-3x+1，符合題意。

（2）當(dāng)k≠0時(shí)，f（0）=1。

當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖像開(kāi)口向上，此時(shí)用△≥0解得，0<k≤1。

當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖像開(kāi)口向下，有兩個(gè)交點(diǎn)。

綜上所述，k的取值范圍是k≤1，即k∈[-∞，1]。

通過(guò)這一道簡(jiǎn)單的例題，我們可以看出，函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)化可以提供給我們的是：在解決較難的題型時(shí)，一種全新的解題思路，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將帶有變量的方程問(wèn)題用一次函數(shù)或函數(shù)的形式表達(dá)出來(lái)，并結(jié)合函數(shù)的圖像以及圖像的開(kāi)口方向，結(jié)合函數(shù)的唯一特性，做出正確的解答。依靠這種全新的解題思路，數(shù)學(xué)的解題變得高效。

2. 在不等式當(dāng)中的應(yīng)用

不等式的學(xué)習(xí)也是高中數(shù)學(xué)重要的一部分，解題的大部分思路也會(huì)應(yīng)用到函數(shù)與方程的思想，這是解題的關(guān)鍵。在幫助我們把這些知識(shí)聯(lián)系在一起的同時(shí)，也能讓我們更深刻地理解不等式的相關(guān)知識(shí)。

例2：已知f（t） = log2t，t∈[，8]，對(duì)于f（t）值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)m，不等式x2 + mx + 4 > 2m + 4x恒成立，求x的取值范圍。

解析：t∈[，8]，f（t）∈[，3]。

繼而可以將原題表示為：m（x-2）+（x-2）2>0無(wú)論在什么條件下都是成立的，這個(gè)問(wèn)題就成為了解關(guān)于m的一次函數(shù)問(wèn)題。這樣的理解對(duì)于解函數(shù)問(wèn)題是十分重要的。

當(dāng)x=2時(shí)，不等式不成立。所以x≠2。

令g（m） = m（x-2）+（x-2）2，m∈[，3]，進(jìn)一步可以表達(dá)為

g（m）在m∈[，3]上，無(wú)論是什么條件都是大于零的，因此得到

g（）>0，g（3）>0。

解得：x>2或x<-1。

首先必須要知道這個(gè)問(wèn)題要得到x的取值范圍，這里需要注意另一個(gè)變量，解決思路的轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵在于將不等式的求解x取值范圍轉(zhuǎn)變?yōu)榍笞兞縨的一次函數(shù);其次，再結(jié)合一次函數(shù)的特性，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，在多個(gè)字母變量中，結(jié)合一次函數(shù)，輕松解得正確答案。通過(guò)函數(shù)和方程的應(yīng)用來(lái)解決不等式，能夠?qū)?wèn)題快速準(zhǔn)確地解答出來(lái)。

3. 應(yīng)用到數(shù)列問(wèn)題當(dāng)中

數(shù)列也可以看作是一種函數(shù)，但是數(shù)列的定義域較為特殊一點(diǎn)，就是它是自然數(shù)整點(diǎn)。把函數(shù)與方程的思想運(yùn)用到數(shù)列當(dāng)中，能夠更好地掌握數(shù)列的規(guī)律，學(xué)習(xí)得更加深刻透徹。

例3：已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1 = 2an + 3且a1=6，求數(shù)列的通項(xiàng)an。

分析：設(shè)an+1 + x = 2（an + x），通過(guò)與已知an+1 = 2an + 3對(duì)比，解得x=3，即an+1 + 3 = 2（an + 3）。在這道題目當(dāng)中我們構(gòu)造了一個(gè)新的等比數(shù)列{an+3}，它的首項(xiàng)為9，公比為2，在新的數(shù)列構(gòu)造完成之后我們?cè)龠M(jìn)行進(jìn)一步地求解。

在常見(jiàn)的數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，可以將這一類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程的形式，再結(jié)合函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想，輕松求解。這樣做往往能夠更加簡(jiǎn)單，比用直接代數(shù)的方法更加有效。

總體來(lái)說(shuō)，函數(shù)與方程的思想在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中需要經(jīng)常性地運(yùn)用。根據(jù)新課改的要求，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。函數(shù)與方程的思想對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維和數(shù)學(xué)的理性思維都有一定的幫助，所以說(shuō)，教師應(yīng)當(dāng)以課本為跳板，根據(jù)班級(jí)中學(xué)生的具體情況來(lái)合理地教學(xué)。教學(xué)的最終目的是為了能夠培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，不單單是學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)內(nèi)容的掌握程度。對(duì)于數(shù)學(xué)的教學(xué)來(lái)說(shuō)，不單單是教會(huì)給學(xué)生純粹的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，也要重視教給學(xué)生解決問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更加注重的是理性邏輯思維的學(xué)習(xí)，要想培養(yǎng)學(xué)生的這方面能力，在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中運(yùn)用函數(shù)與方程的思想是必不可少的。這也是培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)必不可少的基礎(chǔ)性工作。