整數(shù)除法與編程融合的創(chuàng)新實踐

李海國

整數(shù)除法計算教學(xué)需要把學(xué)生從程序的操作引領(lǐng)到以理解除法運(yùn)算本質(zhì)為基礎(chǔ)的概念理解中，借助程序設(shè)計融合整數(shù)除法與連減，溝通知識的內(nèi)在聯(lián)系，這就需要對計算教學(xué)的教學(xué)流程進(jìn)行創(chuàng)新，從運(yùn)算的本質(zhì)上深入思考設(shè)計程序算法，從教學(xué)支架上構(gòu)思幫助學(xué)生實現(xiàn)水平提升。

計算教學(xué)到底能給學(xué)生帶來什么？考試中往往以計算題來考察學(xué)生是否掌握，如果僅僅以讓學(xué)生能正確計算為指標(biāo)來衡量計算教學(xué)的話，相當(dāng)于把學(xué)生看成了“計算器”，降低了計算教學(xué)的價值。在實際的教學(xué)中，大多數(shù)教師還是堅持讓學(xué)生多練，以能否正確計算為最主要目標(biāo)來進(jìn)行教學(xué)，如何能改變現(xiàn)狀，在計算教學(xué)中實現(xiàn)更高的價值追求呢？本文以人教版四年級上冊第六單元除法是兩位數(shù)的除法《例7》一課為例，開展教學(xué)的創(chuàng)新實踐，探索計算教學(xué)如何實現(xiàn)學(xué)生更高的發(fā)展。

一、教材的基本教學(xué)流程

教材的第一項主要內(nèi)容是教學(xué)例7，題目是940÷31=，教材圖片中的一位女學(xué)生說：“為什么商的個位商是0？”，另一位男學(xué)生說：“如果被除數(shù)是930，商的個位是幾？”小精靈說：“驗算一下，上面的計算對嗎？”;通過三個問題讓學(xué)生通過討論理解為什么要商0，一是不夠商1時要商0占位，二是0除以31商為0，進(jìn)而在驗算中，驗證商的正確性。

第二項內(nèi)容是歸納計算方法，讓學(xué)生比較除數(shù)是一位數(shù)和二位數(shù)的計算方法有什么不同，進(jìn)而歸納出除數(shù)是兩位數(shù)除法的一般方法，也就是計算的程序步驟。至于為什么是這樣的程序，缺少解釋說明。實際教學(xué)中多數(shù)教師也是按這樣的環(huán)節(jié)來教學(xué)，追求會算、算對。

二、教學(xué)過程的重新設(shè)計

在解決實際問題中，學(xué)生經(jīng)常會遇到除數(shù)是三位數(shù)、甚至四位數(shù)的除法，學(xué)生往往束手無策，表示教材沒有教過，這節(jié)課也確實是整數(shù)除法的最后一課，為什么會出現(xiàn)如此情況？就是因為教材在這里沒有適當(dāng)?shù)剡w移，沒有讓學(xué)生理解整數(shù)除法的可遷移的本質(zhì)，到底要從哪里商起？為解決此問題，進(jìn)行了創(chuàng)新設(shè)計。

教學(xué)目標(biāo)：

（一）利用交流、舉例、猜想理解商個位商0的本質(zhì)取決于什么。

（二）利用豎線和程序溝通除數(shù)是不同數(shù)位除法的聯(lián)系。體會從高位除是連續(xù)減一個除數(shù)的優(yōu)化策略。

教學(xué)過程：

（一）出示情境

玩具店老板用640元在網(wǎng)上買21元的汽車模型，可以買幾個？

（二）探索

1. 獨(dú)立解答，并要證明自己做的是正確的，同桌交流想法。

2. 交流：你是怎么想的？有什么質(zhì)疑？商的個位不寫可以嗎？商1行嗎？為什么要商0？

3. 用數(shù)線嘗試：

教師引入一個一個減的方法，讓學(xué)生逐步優(yōu)化，為什么不一個一個減？

用減法表示，并與除法豎式比較，有什么聯(lián)系？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生建立整數(shù)除法與連減的直觀內(nèi)在的聯(lián)系，優(yōu)化連減的策略，為后續(xù)的編程，遷移到除數(shù)是多位數(shù)的除法做好鋪墊。

4. 猜想：

猜想一：通過觀察被除數(shù)個位上是0，商的個位一定是0，對嗎？請尋找證據(jù)說明。

猜想二：被除數(shù)個位上不是0，商的個位上一定也不是0，對嗎？尋找證據(jù)說明。

5. 總結(jié)：商個位商0與被除數(shù)的個位上是幾，有必然的聯(lián)系嗎？思考與什么有關(guān)系？

設(shè)計意圖：學(xué)生在是否商0時易受被除數(shù)的數(shù)字影響，有的學(xué)生一看到被除數(shù)上有0，就在其上面商0，為克服學(xué)生的刻板錯誤，在尋求證據(jù)交流中，建立商0與余數(shù)的非人為的本質(zhì)的聯(lián)系。

6. 編程：想要用電腦程序來解決所有整數(shù)除法的問題，你有什么想法和思考？

① 引導(dǎo)舉例概括，不管除數(shù)是幾位數(shù)，都可以一個一個來減。

② 讓這生用程序來試一試。

③ 比較：200000000÷2，看人和電腦哪個快？為什么人算得快？有什么區(qū)別？

設(shè)計意圖：通過程序設(shè)計任務(wù)來整合多位數(shù)的除法，教師舉例除數(shù)是一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)，借助數(shù)線發(fā)現(xiàn)相同的地方，進(jìn)而解釋用這樣的想法編寫的程序。學(xué)生嘗試后發(fā)現(xiàn)無論除數(shù)是幾位數(shù)都能很快算出來，有的學(xué)生會感受到程序的優(yōu)越性與自己的無力?；诖嗽O(shè)計比較的環(huán)節(jié)，讓人與電腦比賽，學(xué)生已經(jīng)算出好長時間了但電腦遲遲沒有計算出來，學(xué)生滿心歡喜。這時讓學(xué)生比較有什么區(qū)別，優(yōu)化減的策略，從減一個除數(shù)到從減10n個除數(shù)，體會為什么除數(shù)是幾位數(shù)就要從被除數(shù)的前幾位商起的道理。

（三）總結(jié)

1. 你還想知道什么？

2. 程序中的彩蛋：電腦程序中有一個致命的漏洞，你能找出來嗎？

教學(xué)感受：課上得挺快的，學(xué)生笑聲不斷，思維不斷。學(xué)生眼中始終閃著智慧的火花，看著很是享受。在“找彩蛋”環(huán)節(jié)時，學(xué)生不斷嘗試，嘗試除0時，電腦直接死機(jī)了，就不由自主地歡呼了起來。教師接著問為什么會這樣，又勾起了學(xué)生探索的欲望，此時已經(jīng)下課了，但沒有一個學(xué)生著急下課，還在與同桌探討自己的想法。

三、從理解除法本質(zhì)上與編程融合

學(xué)生學(xué)習(xí)整數(shù)除法，從除數(shù)一位數(shù)到兩位數(shù)，分了很多的知識點(diǎn)，從整數(shù)到試商、調(diào)商、有0的除法，無非都是在學(xué)習(xí)豎式計算的一種程序性知識，既然是程序性知識，就是有一定的步驟。如果讓電腦用一個程序來解決所有的整數(shù)的除法，這個程序該如何，這就要從本質(zhì)上來理解。不管是平均分還是包含除，都是連續(xù)減一個相同的數(shù)（除數(shù)）。平均分里，每次每份分一個，一次分掉一個除數(shù)，相當(dāng)于一次從總數(shù)里減一個除數(shù);包含除里，一次減一個除數(shù)，減幾次，商就是幾。不管除數(shù)是幾位數(shù)，這個方法都是通用的，那就連續(xù)減除數(shù)，直到余數(shù)小于除數(shù)為止。

下面編的python程序，就是以除法本質(zhì)的思考來設(shè)計的。當(dāng)被除數(shù)大于或等于除數(shù)時，就從被除數(shù)a里減去除數(shù)b，同時c記為1。這時再循環(huán)到條件判斷“a>=b”，如果成立，繼續(xù)減，同時c再加1。一直這樣循環(huán)，直到條件不成立時，減了多少次商就是幾，這個數(shù)據(jù)就被c記錄了下來，c就是商的值。

既然一個一個減通用，為什么還要學(xué)習(xí)豎式呢？因為一個一個減除數(shù)確實通用，但不實用，如果24000000除以2，一個一個減，要減一億多次，所以在實踐中人們進(jìn)行了優(yōu)化，即從10n個減數(shù)開始，直接一次先減108個2，有余的，再依次往下想，再減107個2，這個速度很快。這也就能解決為什么除數(shù)是兩位數(shù)就要看被除數(shù)的前兩位的意義，本質(zhì)上就是從10n個減數(shù)開始，n就是被除數(shù)的位數(shù)，如被除數(shù)是四位數(shù)，先從一千個減數(shù)開始減，不夠減時，再從一百個減數(shù)開減，依次從高向低。這樣優(yōu)化后減得就快了，與減法建立必要的聯(lián)系，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)就融會貫通了。

四、從教學(xué)支架上支撐與編程的融合

要實現(xiàn)上面的融合創(chuàng)新，已經(jīng)超越了學(xué)生的現(xiàn)有水平，就需要為學(xué)生搭建一個支架。一個是猜想，讓學(xué)生通過兩個猜想的驗證過程中，尋求商個位是0的本質(zhì)是什么，就是余下的數(shù)小于除數(shù)了。另一個是“數(shù)線”，研討過程中，有的教師就提出了質(zhì)疑，已經(jīng)學(xué)了豎式，還要用數(shù)線，豈不多此一舉嗎？這是因為：

1. 它是直觀支架，避免“空對空”，符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)。

2. 利于探索除法的算理，在直觀感受中，優(yōu)化減除數(shù)的策略。

3. 基于理解的模型。

因為學(xué)生在某個水平上的問題不能解決的情況下，學(xué)習(xí)者會折回到低一級的水平上，重新去拓展目前仍不夠充分的理解。也正是因為數(shù)線的支撐，學(xué)生通過電腦程序的對比，對除法的本質(zhì)、計算方法的融合才能更進(jìn)一步。

五、融合創(chuàng)新實踐的思考

從這一案例中可以看出，學(xué)生是否有創(chuàng)新思維，關(guān)鍵是教師在教學(xué)上是否有創(chuàng)新思維。

1. 教師要嘗試發(fā)散性思維。以原有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，嘗試從不同角度思考問題，不能同樣的內(nèi)容每次都是重復(fù)，要敢于做出不同嘗試，哪怕失敗了又何妨？正好從失敗中吸取教訓(xùn)，改進(jìn)后再實踐。

2. 教師要嘗試擴(kuò)展式思維。將研究對象擴(kuò)展，將除數(shù)位數(shù)、圖象表征、程序表達(dá)等聯(lián)系起來思考。不能見樹只是樹，要站到更高的高度，整體、全局、深入地看待問題，將教材呈現(xiàn)的內(nèi)容進(jìn)行擴(kuò)展、補(bǔ)充，讓學(xué)生的思維擴(kuò)展，不僅能算除法是兩位數(shù)的除法，也能擴(kuò)展到除數(shù)是多位數(shù)的除法，理解運(yùn)算的本質(zhì)是相同的。

3. 教師要嘗試與新技術(shù)進(jìn)行融合。新的技術(shù)往往帶來新的思考，結(jié)合學(xué)生課外常用的“海龜編輯器”，就可以將數(shù)學(xué)的程序性知識，通過編程來解決，兩者互為促進(jìn)，提升了學(xué)生的思維水平。

創(chuàng)新不易，哪怕是一丁點(diǎn)的改進(jìn)，也是進(jìn)步。敢于嘗試不同的策略、不同的技術(shù)，不斷思考，將之在數(shù)學(xué)的本質(zhì)上進(jìn)行融合，學(xué)生的思考也就會在活動中更加深入，教師的創(chuàng)新也就帶動學(xué)生的創(chuàng)新，學(xué)生不僅知道為什么這樣算，還能進(jìn)行程序設(shè)計的創(chuàng)新，豈不比只能正確計算更好、更有價值！