怎一個“輕質(zhì)”了得

■河北省石家莊市河北正定中學(xué) 楊高軒

理想化模型是一種為了便于研究問題而建立的高度抽象的理想客體,其中把研究對象所處的外部條件理想化而建立的模型叫條件模型,比如輕質(zhì)圓環(huán)、輕質(zhì)繩、輕質(zhì)桿、輕質(zhì)絲綢、輕質(zhì)薄板、輕質(zhì)彈簧、輕質(zhì)滑輪等。“輕質(zhì)”的意思是研究對象的質(zhì)量可以忽略不計(jì),但在不同的環(huán)境中,“輕質(zhì)”又有著不同的含義,下面就“輕質(zhì)”在力的觀點(diǎn)、能量觀點(diǎn)、動量觀點(diǎn)三大力學(xué)體系中的含義進(jìn)行分析,供同學(xué)們參考。

一、“輕質(zhì)”在力的觀點(diǎn)中的含義

1.不計(jì)物體的重力。

物體的質(zhì)量忽略不計(jì),根據(jù)G=mg可知,物體的重力可以忽略不計(jì)。不計(jì)物體的重力多見于物體受力平衡的情景中。

例1如圖1所示,光滑細(xì)桿固定在豎直面內(nèi),細(xì)桿與水平面之間的夾角θ=60°,細(xì)桿上套有一輕質(zhì)小圓環(huán)。在一根輕質(zhì)彈性繩AB的中點(diǎn)處做一記號O,把彈性繩A端與小圓環(huán)相連,在B端掛上一質(zhì)量為m的小物塊,在O點(diǎn)系上一根剛性細(xì)線,細(xì)線另一端固定在豎直墻壁上,系統(tǒng)穩(wěn)定后,細(xì)線恰好水平,OB段長為l。彈性繩的彈力遵從胡克定律,其形變在彈性限度內(nèi),重力加速度為g。則( )。

圖1

A.AO段長為l

B.AO段長為2l

C.AO段的彈力等于OB段的彈力

D.AO段的彈力比OB段的彈力大mg

分析:小圓環(huán)是輕質(zhì)的,不計(jì)重力;細(xì)桿是光滑的,對小圓環(huán)沒有摩擦力。根據(jù)平衡條件可知,輕質(zhì)彈性繩AO段與細(xì)桿垂直,與水平面之間的夾角為30°。彈性繩和細(xì)線也是輕質(zhì)的,重力不計(jì),選O點(diǎn)為研究對象進(jìn)行受力分析時(shí)不需考慮它們的重力。

解:選O點(diǎn)為研究對象,設(shè)彈性繩AO段的彈力為F1,彈性繩OB段的彈力為F2,根據(jù)平衡條件得F2=mg,F1sin 30°=F2,解得F1=2F2=2mg,因此AO段的彈力比OB段的彈力大mg,選項(xiàng)C 錯誤,D 正確。設(shè)彈性繩的勁度系數(shù)為k,原長為2l0,AO段長為la,根據(jù)胡克定律得F1=k(la-l0),F2=k(l-l0),因此l＜la＜2l,選項(xiàng)A、B錯誤。

答案:D

2.物體受到的合外力為0。

物體的質(zhì)量忽略不計(jì),根據(jù)F=ma可知,無論物體的加速度為多大,它受到的合外力均為0。如圖2所示,輕質(zhì)彈簧放置在水平面上,左端拴接一小物塊,在彈簧右端施加大小為F的拉力使物塊在水平面上運(yùn)動,無論物塊在水平面上做勻速直線運(yùn)動還是加速運(yùn)動,無論物塊的加速度怎么變化,輕質(zhì)彈簧所受合外力均為0,物塊對彈簧的拉力都等于F;以任意一段彈簧為研究對象,其受到的合外力也為0,因此彈簧中彈力處處相等,均等于F。

圖2

例2如圖3所示,底角為α的等腰三角形斜面體固定在水平面上,一足夠長的輕質(zhì)綢帶跨過斜面體的頂端鋪放在兩側(cè)斜面上,綢帶與斜面之間無摩擦。現(xiàn)將質(zhì)量分別為M、m(M＞m)的小物塊同時(shí)輕放在兩側(cè)斜面的綢帶上。兩物塊與綢帶之間的動摩擦因數(shù)相等,且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。在α角取不同值的情況下,下列說法中正確的是( )。

圖3

A.兩物塊所受摩擦力的大小總是相等

B.兩物塊不可能同時(shí)相對綢帶靜止

C.質(zhì)量為M的物塊不可能相對綢帶發(fā)生滑動

D.質(zhì)量為m的物塊不可能相對斜面向上滑動

分析:輕質(zhì)綢帶的質(zhì)量不計(jì),受到的合外力為0,輕質(zhì)綢帶與斜面之間無摩擦,受到兩個物塊對它的摩擦力總是等大反向的。

解:選輕質(zhì)綢帶為研究對象,設(shè)兩個物塊對綢帶的摩擦力分別為fM、fm,根據(jù)牛頓第二定律得fM-fm=m綢a=0,即fM=fm。質(zhì)量為M的物塊對綢帶的摩擦力和綢帶對質(zhì)量為M的物塊的摩擦力、質(zhì)量為m的物塊對綢帶的摩擦力和綢帶對質(zhì)量為m的物塊的摩擦力是兩對相互作用力,根據(jù)牛頓第三定律可知,兩物塊受到綢帶的摩擦力總是大小相等,選項(xiàng)A 正確。設(shè)兩物塊與綢帶之間的動摩擦因數(shù)為μ,當(dāng)α較小,Mgsinα＜μMgcosα,mgsinα＜μmgcosα?xí)r,質(zhì)量為M的物塊加速下滑,質(zhì)量為m的物塊加速上滑,均相對綢帶靜止,選項(xiàng)B、D 錯誤。因?yàn)镸＞m,所以質(zhì)量為M的物塊與綢帶之間的最大靜摩擦力較大,綢帶與質(zhì)量為M的物塊始終相對靜止,質(zhì)量為m的物塊可能相對綢帶滑動,選項(xiàng)C正確。

答案:AC

例3如圖4所示,一足夠長輕質(zhì)薄硬紙板置于光滑水平地面上,紙板上放有質(zhì)量mA=mB=1 kg的A、B兩物塊,A、B兩物塊與紙板之間的動摩擦因數(shù)分別為μ1=0.3,μ2=0.2。水平恒力F作用在物塊A上,假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,取重力加速度g=10 m/s2。則( )。

圖4

A.若F=1 N,則兩物塊和紙板都靜止不動

B.若F=1.5 N,則物塊A所受摩擦力大小為1.5 N

C.若F=8 N,則物塊B的加速度為4 m/s2

D.無論力F多大,物塊A與紙板都不會發(fā)生相對滑動

分析:薄硬紙板是輕質(zhì)的,受到的合外力總是0,因此它受到A、B兩物塊的摩擦力總是等大反向的。

解:物塊A與紙板之間的最大靜摩擦力fAmax=μmAg=3 N,物塊B與紙板之間的最大靜摩擦力fBmax=μmBg=2 N。若F=1 N,即F＜fAmax,則兩物塊與紙板保持相對靜止,整體向左做勻加速運(yùn)動,選項(xiàng)A 錯誤。若F=1.5 N,即F＜fAmax,則兩物塊與紙板保持相對靜止,整體向左做勻加速運(yùn)動,根據(jù)牛頓第二定律得F-f=mAa,因此物塊A受到的摩擦力f＜F,即f＜1.5 N,選項(xiàng)B錯誤。當(dāng)物塊B剛要相對紙板滑動時(shí),物塊B受到的靜摩擦力達(dá)到最大值,根據(jù)牛頓第二定律得fBmax=mBa0,又有fBmax=2 N,解得a0=2 m/s2;對由兩物塊和紙板組成的整體應(yīng)用牛頓第二定律得F0=(mA+mB)a0,解得F0=4 N,即當(dāng)拉力F達(dá)到4 N 時(shí),物塊B恰好相對紙板運(yùn)動,此時(shí)物塊B受到的摩擦力f=2 N;紙板受到物塊A對它的最大靜摩擦力大于物塊B對它的最大靜摩擦力,因此物塊A和紙板之間不會發(fā)生相對運(yùn)動;繼續(xù)增大拉力F的值,不會改變物塊B的受力情況,物塊A受到的摩擦力總是等于2 N,不會相對紙板滑動,選項(xiàng)D 正確。若F=8 N,則物塊B與紙板之間的摩擦力為滑動摩擦力,加速度為2 m/s2,選項(xiàng)C錯誤。

答案:D

二、“輕質(zhì)”在能量觀點(diǎn)中的含義

1.不計(jì)物體的動能及其變化量。

例4如圖5所示,粗糙程度處處相同的水平桌面上有一長度為L的輕質(zhì)細(xì)桿,一端可繞豎直光滑軸O轉(zhuǎn)動,另一端與質(zhì)量為m的小木塊相連。木塊以水平初速度v0出發(fā),恰好能完成一個完整的圓周運(yùn)動。在運(yùn)動過程中,木塊所受摩擦力的大小為( )。

圖5

分析:輕質(zhì)細(xì)桿的質(zhì)量為0,繞豎直光滑軸O轉(zhuǎn)動,因此細(xì)桿對木塊的彈力沿細(xì)桿方向,對木塊不做功;細(xì)桿的動能及其動能變化量忽略不計(jì),因此木塊受到桌面的摩擦力對木塊做的功等于木塊的動能變化量。

解:木塊受到桌面的摩擦力總是與木塊的運(yùn)動方向相反,根據(jù)動能定理得-f·2πL=,解得

答案:B

2.不計(jì)物體的重力勢能及其變化量。

物體的質(zhì)量忽略不計(jì),根據(jù)Ep=mgh可知,物體的重力勢能及其變化量可以忽略不計(jì)。

例5如圖6所示,一根輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)k=100 N/m,其下端固定在傾角θ=37°的光滑斜面底端,上端連接物塊P。輕繩跨過定滑輪O,一端與物塊P相連,另一端與套在光滑水平直桿上的物塊Q相連,定滑輪到水平直桿的距離d=0.4 m。初始狀態(tài)下,在外力作用下,物塊Q靜止在A點(diǎn)不動,輕繩與水平直桿之間的夾角α=30°,輕繩的張力大小T=45 N。現(xiàn)將物塊Q由靜止釋放,物塊Q向左運(yùn)動經(jīng)過B點(diǎn)時(shí),輕繩與水平直桿之間的夾角β=53°。已知物塊Q的質(zhì)量m1=0.2 kg,物塊P的質(zhì)量m2=5 kg,不計(jì)滑輪大小及摩擦,取重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:

圖6

(1)物塊P靜止時(shí),彈簧的伸長量x0。

(2)物塊Q運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)的速率vB。

(3)在物塊Q由A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的過程中,輕繩拉力對它做的功W。

分析:定滑輪的質(zhì)量不計(jì),不考慮其轉(zhuǎn)動動能;彈簧的質(zhì)量不計(jì),在物塊P向下運(yùn)動的過程中,彈簧的重力勢能及其變化量不計(jì),由物塊P和Q組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。

解:(1)物塊P靜止時(shí),根據(jù)平衡條件得T=m2gsinθ+kx0,解得x0=0.15 m。

(2)將物塊Q由靜止釋放,物塊P沿斜面下滑的距離,彈簧的壓縮量Δx=x-x0=0.15 m。因?yàn)棣=x0,所以物塊Q運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí),彈簧的彈性勢能與物塊Q在A點(diǎn)時(shí)的相等,即在物塊Q由A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的過程中,彈簧的彈力對物塊P做的功為0。在物塊P下滑的過程中,由物塊P和Q組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,則又有vP=vBcosβ,解得vB=3 m/s。

(3)在物塊Q由A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的過程中,對物塊Q應(yīng)用動能定理得解得W=0.9 J。

三、“輕質(zhì)”在動量觀點(diǎn)中的含義

物體的質(zhì)量忽略不計(jì),根據(jù)p=mv可知,物體的動量及其變化量可以忽略不計(jì)。

例6如圖7所示,光滑水平橫桿AB上固定有一個阻擋釘C,橫桿上套一輕質(zhì)圓環(huán),圓環(huán)上系一長度為L、足夠牢固、不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩,細(xì)繩的另一端拴一質(zhì)量為m的小球?，F(xiàn)將圓環(huán)拉至阻擋釘C左側(cè)處并將細(xì)繩拉直,讓細(xì)繩與橫桿平行,由靜止同時(shí)釋放圓環(huán)和小球。已知重力加速度為g,則關(guān)于之后的運(yùn)動情況,下列描述正確的是( )。

圖7

A.小球不可以回到橫桿所在的高度

B.小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)的速度小于 2gL

C.小球到達(dá)最低點(diǎn)之前一直做曲線運(yùn)動

D.小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)對細(xì)繩的拉力小于3mg

分析:圓環(huán)運(yùn)動到阻擋釘C所在位置的過程中,由圓環(huán)和小球組成的系統(tǒng)在水平方向上的動量守恒;圓環(huán)的質(zhì)量不計(jì),則小球的水平分動量為0,水平分速度為0,只有豎直方向的分速度,做自由落體運(yùn)動。

解:圓環(huán)運(yùn)動到阻擋釘C所在位置的過程中,小球做自由落體運(yùn)動,當(dāng)圓環(huán)與阻擋釘C碰撞后,小球繞阻擋釘C做圓周運(yùn)動,選項(xiàng)C錯誤。設(shè)圓環(huán)與阻擋釘C碰撞時(shí),細(xì)繩與水平方向之間的夾角為θ,碰撞前瞬間小球的速度為v,根據(jù)幾何關(guān)系得,根據(jù)機(jī)械能守恒定律得,解得(即θ=37°),v=圓環(huán)與阻擋釘C碰撞后瞬間,小球的速度v＇=vcosθ,即細(xì)繩繃直瞬間,小球沿細(xì)繩方向的分速度突變?yōu)?,有能量損失,因此小球不能回到橫桿所在的高度,選項(xiàng)A 正確。在小球由靜止釋放至運(yùn)動到最低點(diǎn)的過程中,若沒有能量損失,設(shè)小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)的速度為v0,根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mgL=,解得因?yàn)榧?xì)繩繃直瞬間有能量損失,所以小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)的速度小于,選項(xiàng)B 正確。設(shè)小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)受到的細(xì)繩拉力為T,若小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)的速度等于,則根據(jù)牛頓第二定律得T-mg=,解得T=3mg。因?yàn)樾∏蜻\(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)的速度小于,所以小球受到的細(xì)繩拉力小于3mg。根據(jù)牛頓第三定律可知,小球?qū)?xì)繩的拉力小于3mg,選項(xiàng)D 正確。

答案:ABD

綜上所述,“輕質(zhì)”可以引申為不計(jì)物體的重力、物體受到的合外力為0、不計(jì)物體的動能及其變化量、不計(jì)物體的重力勢能及其變化量、不計(jì)物體的動量及其變化量等,我們對“輕質(zhì)”的理解要根據(jù)具體的情境加以揣摩,做到舉“輕”若“重”。