廣義四元數(shù)群上正規(guī)弧傳遞凱萊圖

甯鴻琳，潘江敏

(云南財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650221)

本文研究的圖都是有限連通的無(wú)向圖. 設(shè)Γ 為一個(gè)圖，我們用VΓ，EΓ，AΓ 和 Aut(Γ) 分別表示它的頂點(diǎn)集、邊集、弧集和全自同構(gòu)群，稱(chēng)Γ 的頂點(diǎn)個(gè)數(shù) |VΓ| 為 Γ 的階數(shù). 與頂點(diǎn) α 相鄰接的頂點(diǎn)組成的集合稱(chēng)為α的鄰域，記為 Γ (α)， 稱(chēng) |Γ(α)| 為 點(diǎn) α 的度數(shù)，記為 val(α). 如果每個(gè)點(diǎn)的度數(shù)都相同，則稱(chēng)Γ 為正則圖，此時(shí)圖Γ 的度數(shù) v al(Γ) 等于點(diǎn) α 的度數(shù). 設(shè)X≤Aut(Γ) 為圖Γ 的一個(gè)自同構(gòu)群，如果X在VΓ，EΓ 或AΓ 上傳遞，則分別稱(chēng)Γ 是X-點(diǎn)傳遞圖、X-邊傳遞圖或X-弧傳遞圖. 如果X分別地在VΓ，EΓ 上傳遞，但在AΓ 上不傳遞，則稱(chēng)Γ是X-半弧傳遞圖.

給定一個(gè)群G和非空集合S?G＼{1} 使得S=S-1:={s-1|s∈S}，定義群G關(guān)于S的凱萊圖Cay(G,S)如下：頂點(diǎn)集為群G中的所有元素，頂點(diǎn)g與h相鄰接當(dāng)且僅當(dāng)hg-1∈S. 易知群G的右正則表示G^ 是圖Cay(G,S) 的自同構(gòu). 容易驗(yàn)證每一個(gè)群自同構(gòu) α ∈Aut(G) 可以誘導(dǎo)圖 C ay(G,S) 到圖 C ay(G,Sα) 的同構(gòu)[1].

群與圖是組合數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要內(nèi)容是應(yīng)用群的理論來(lái)研究圖論問(wèn)題及應(yīng)用圖的理論來(lái)研究群論問(wèn)題[2-8]. 凱萊圖是代數(shù)圖論中最重要的圖類(lèi)之一，凱萊圖的研究是代數(shù)圖論的中心課題之一. 從研究來(lái)看，如果不賦予高對(duì)稱(chēng)的條件(比如2-弧傳遞性)，要分類(lèi)一般群上弧傳遞凱萊圖是極其困難的，學(xué)者們的研究主要是關(guān)于一些具體群類(lèi)上的凱萊圖[9-12]. 對(duì)于廣義四元數(shù)群上的凱萊圖，小度數(shù)的情形已經(jīng)得到了一些好的結(jié)果，比如：4 倍素?cái)?shù)冪階廣義四元數(shù)群上4 度凱萊圖已被完全分類(lèi)，4 倍素?cái)?shù)冪階廣義四元數(shù)群上5 度連通無(wú)向凱萊圖的CI 性、正規(guī)性和弧傳遞性已被很好地刻畫(huà)[13-15]，對(duì)于度數(shù)大于等于6 的情形結(jié)果很少. 本文將對(duì)廣義四元數(shù)群的正規(guī)弧傳遞凱萊圖進(jìn)行一般的研究.

本文所使用的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的. 對(duì)于一個(gè)正整數(shù)n，我們用 Z2n表示 2n階循環(huán)群，用 Z*2n表示模 2n的剩余類(lèi)關(guān)于剩余類(lèi)乘法構(gòu)成的群，用 Q4n表示 4n階廣義四元數(shù)群. 對(duì)于素?cái)?shù)p和正整數(shù)r，我們用Zpr表示pr階循環(huán)群. 對(duì)于群G，我們用 o(a) 表示G中元素a的階. 對(duì)于2 個(gè)群N和H，我們用N×H表示N與H的直積，用N.H表示N被H的擴(kuò)張，如果這個(gè)擴(kuò)張是可裂的，則表示為N:H. 對(duì)于群X及其子群G，我們用 c oreX(G) 表示包含在G中X的最大正規(guī)子群.

1 預(yù)備知識(shí)

群G的全體自同構(gòu)構(gòu)成的群稱(chēng)為群G的全自同構(gòu)群，記作 A ut(G) . 設(shè)群G在非空集合 Ω 上有一個(gè)作用 ψ，如果群G作用在 Ω 上的核為單位元群，則稱(chēng)作用 ψ 是忠實(shí)的，此時(shí)G可視為 Ω 上的置換群.

定義 1 設(shè)群G是非空集合 Ω 上的傳遞置換群，稱(chēng)G是 Ω 上的本原置換群，如果G作用在 Ω 上不存在非平凡的塊；稱(chēng)G是 Ω 上的擬本原置換群，如果G的每一個(gè)非平凡正規(guī)子群作用在 Ω 上都傳遞.

易知本原置換群一定是擬本原置換群，反之則不成立. 根據(jù)O’Nan-Scott 定理，擬本原置換群可分為8 類(lèi). 特別地，如果擬本原置換群G可解，則稱(chēng)G為仿射型擬本原置換群. 仿射型擬本原置換群是本原置換群.

定義 2 稱(chēng)圖Γ 為X-局部本原圖，如果對(duì)任意 α ∈VΓ，點(diǎn)穩(wěn)定子群

作用在鄰域 Γ(α) 上都是本原的. 稱(chēng)圖Γ 為X-局部擬本原圖，如果對(duì)任意 α ∈VΓ， 點(diǎn)穩(wěn)定子群Xα作用在鄰域 Γ (α) 上都是擬本原的.

定義 3 設(shè) Γ=Cay(G,S) 為X-弧傳遞凱萊圖，X≤Aut(Γ)， 稱(chēng)Γ 為X-正規(guī)弧傳遞凱萊圖，如果G^ ?X. 特別地，稱(chēng)Γ 為群G上的正規(guī)凱萊圖，如果G^ ?Aut(Γ).

定義 4 設(shè)Γ 為X-點(diǎn)傳遞圖，且X有一個(gè)在VΓ 上不傳遞的正規(guī)子群N. 定義Γ 的由N導(dǎo)出的正規(guī)商圖(記為 ΓN)的頂點(diǎn)集為N在VΓ 上的所有軌道(記為VΓN)，且 ΓN的2 個(gè)頂點(diǎn)B,C∈VΓN鄰接當(dāng)且僅當(dāng)B中的某個(gè)頂點(diǎn)與C中的某個(gè)頂點(diǎn)在Γ 中鄰接. 特別地，稱(chēng)Γ 為 ΓN的正規(guī)覆蓋，如果Γ 和 ΓN的度數(shù)相同；稱(chēng)Γ 為 ΓN的正規(guī)多重覆蓋，如果B中的任意一點(diǎn)恰好與C中l(wèi)個(gè)點(diǎn)相鄰接(l與B，C的選擇無(wú)關(guān)).

點(diǎn)傳遞且邊傳遞圖是其正規(guī)商圖的正規(guī)多重覆蓋[16]. 下面的命題是關(guān)于正規(guī)邊傳遞凱萊圖的一個(gè)重要性質(zhì).

(2) Γ 是 ΓN的正規(guī)多重覆蓋， val(Γ)=k·val(ΓN) ，其中k=|S s∩N|，s∈S.

引理 2[18]設(shè) Γ =Cay(G,S) 是X-正規(guī)局部本原凱萊圖，其中G^

(1) 〈S〉=G，S中的每個(gè)元都是對(duì)合且在 A ut(G,S) 中共軛.

(2)X1≤Aut(G,S) 作用在S上忠實(shí)且本原.

2 主要結(jié)果

我們先證明以下4 個(gè)引理.

因?yàn)?-弧傳遞的凱萊圖一定是局部本原的，而局部本原的凱萊圖一定是局部擬本原的，故由定理3 可得以下推論.

推論 1 不存在廣義四元數(shù)群上的X-正規(guī)2-弧傳遞或X-正規(guī)局部本原凱萊圖.