非侵入式散射介質內多光譜重建

田冰心，韓軍，劉丙才，龔昌妹

（西安工業(yè)大學光電工程學院，西安710021）

0 引言

光譜作為化學物質的一個重要特征，通常可用于分析化學成分、結構等信息，因此在生物醫(yī)學［1-2］領域有廣泛應用。然而由于散射介質的擴散特性，探測器接收到的信號變成一組雜亂無章的散斑信息［3］，無法直接成像，因此對于隱藏在散射介質內部目標信號探測顯得尤為困難。近年來許多方法被提出以實現(xiàn)透過散射介質的目標成像［4］。波前整形［5-6］作為通過散射介質聚焦和成像的一個有效的解決方案，使用計算機控制空間光調制器優(yōu)化輸入光波前，使其以干涉方式反轉散射效應，將光束聚焦到目標上。然而最初，反饋信號是通過放置在散射介質后面的探測器來測量［7-8］，或者利用在“引導星”上重新覆蓋［9］的方式獲取，因此是侵入式的，這對生物醫(yī)學應用來說是不可行的。最近，非侵入式的波前整形技術被提出［10-11］，解決了物理方式侵入散射介質的問題，但由于輸入相位的隨機性導致成像精度不高，且成像過程耗時較長。2012年，BERTOLLOTI J 等［12］報道了一種光學方法，該方法可以對完全隱藏在薄散射層后的熒光目標成像，且無需進入散射介質后面的區(qū)域。該技術利用散斑相關，即散斑的自相關與目標的自相關具有很好的近似性這一特性，實現(xiàn)對散射介質后目標的非侵入式成像。另外，基于光學記憶效應的散射成像技術也具有非侵入式的特點，且對于光源、介質和系統(tǒng)的要求較低。隨著對散斑相關技術和光學記憶效應研究的深入，利用散射介質的相關特性，可實現(xiàn)透過散射的光譜成像［13-15］。利用強度光譜傳輸矩陣技術重建介質內目標光譜時［13］，通常可以通過一個光纖光譜儀從散斑信號中獲取光譜信息。然而多模光纖構成的光譜測量系統(tǒng)雖然具有高的光譜分辨率，但其抗擾動性差，對機械結構的穩(wěn)定性要求非常高，并且這些算法無法分辨散射介質內多目標光譜。2018年，研究者利用矩陣分解的方法實現(xiàn)對拉曼快速光譜成像［16］，這一技術需要通過掃描儀對成像面的像素掃描獲取光譜數(shù)據(jù)立方體，再對其壓縮重建，實驗系統(tǒng)結構復雜。2020年，BONIFACE A［17］利用矩陣傳輸技術結合非負矩陣分解（Nonnegative Matrix Factorization，NMF）算法，實現(xiàn)了散射介質內熒光目標的2D 成像，但卻無法對不同化學物質的光譜進行解析。理論上講，在多個散斑輸入的情況下，探測器接收到目標的多重信息，這恰好為光譜解析提供了足夠的數(shù)據(jù)支撐。實際上，早在2011年，非負矩陣分解（NMF）算法［18-19］被證實作為一種廣泛應用的盲譜分解方法，可以利用采集到的混合光譜數(shù)據(jù)解析出每種目標的光譜信息。盡管如此，在非入侵且無波前整形技術下，實現(xiàn)透過散射介質的目標光譜重建仍極具挑戰(zhàn)。

本文提出了一種新的非侵入式光譜重建方法。該方法通過非侵入式的探測手段，利用隨機散斑照明激發(fā)目標，并用成像光譜儀記錄目標信號，結合非負矩陣分解（NMF）的方法對所獲取信號進行解析，從而實現(xiàn)多個目標光譜的重建。此算法利用光譜解析的過程，不僅能夠實現(xiàn)散射介質內的多個目標的分辨，而且能從混疊譜中同時恢復多個光譜，適用于任何一種線性激發(fā)信號，為散射介質內多目標的分辨、聚焦和信號增強提供技術支撐。同時在應用方面，將重建后的光譜信號作為非侵入透過散射介質聚焦的先驗知識，實現(xiàn)了透過散射介質的非侵入式選擇性聚焦。該方法在生物醫(yī)學探測和檢測領域有著廣闊的應用前景。

1 基本原理

非侵入式散射介質內多光譜重建技術原理如圖1。圖1（a）為原理結構圖。由散斑產(chǎn)生器（Speckle generator）生成的p個隨機散斑Ein經(jīng)過二色分光棱鏡（DM）后，被顯微物鏡（Obj）投射到散射介質中。Ein經(jīng)過樣本中散射介質（SM）的傳輸形成激發(fā)散斑Eexc，用于照明散射介質內的目標。目標是由具有不同光譜信號的熒光粒子組成。激發(fā)的熒光信號反向傳播，經(jīng)過散射介質的擴散作用后，通過顯微物鏡（Obj）和二色分光棱鏡（DM）被成像光譜儀（Imaging spectrometer）接收。其中，散斑產(chǎn)生器可以是毛玻璃、空間光調制器等光學器件，用來產(chǎn)生照明用隨機散斑。對每一個照明散斑Ein，通過散射介質后形成相應的激發(fā)散斑Eexc照明介質內目標，并在成像光譜儀中形成一個三維的空間-光譜信號。依次輸入p個照明散斑Ein，相應的生成p個激發(fā)散斑Eexc照明介質內目標，最終在成像光譜儀中成為一組完全混疊的空間-光譜信號。記錄這一信號，并對其解混疊，如圖1（b）所示。光譜解混過程首先需要將混疊的三維信號重新整合成一個二維的目標信息矩陣Ifluo，最后利用NMF 算法對矩陣進行分解，得到目標的特征光譜矩陣W和權重矩陣H，從而重建目標的原始光譜。

圖1 非侵入式散射介質內多光譜重建原理Fig.1 The schematic of non-invasive multi-spectral reconstruction in scattering medium

1.1 多隨機散斑輸入

散射介質內熒光粒子受到激發(fā)時，會在探測器上產(chǎn)生相應的熒光散斑。當N個熒光粒子同時激發(fā)，每一個熒光粒子發(fā)出的散斑相互疊加，最終在探測器中形成一個混疊散斑信號。由于熒光是非相干光，因此這個散斑信號可以看作是由每一個粒子的散斑通過不同的權重映射后非相干疊加的結果。因此當用一個激光散斑照射一組熒光粒子時，得到一個疊加的熒光信號If，可表示為

式中，a1，a2，…，aN，是N個熒光粒子在混疊散斑中所占的權重值。這在成像光譜儀中表現(xiàn)為一組混疊的光譜信息，即

式中，S為N個熒光粒子混疊后的光譜信息，S1，S2，…，SN為N個熒光粒子的特征光譜。對于給定的一組混疊的光譜數(shù)據(jù)，為了恢復其中每一種物質的光譜，需要識別數(shù)據(jù)中物質屬性，以及對探測器中像素進行分類，即確定每一個像素中包含的物質屬性及其權重。對成像光譜儀來說，每一個像素中所包涵的物質的特征光譜，通過各自所占權重值組成了一個線性組合，線性組合中的權重分別對應于該像素中這些物質所占比例（這正是NMF 模型）。因此，為了求解線性組合中的多個光譜特征，利用散斑產(chǎn)生器生成多個激光隨機散斑Ein照射熒光粒子。每一個隨機散斑照射熒光粒子后，會激發(fā)出相應的熒光信號，從而建立光譜數(shù)據(jù)的線性組合，即

式中，p為輸入隨機散斑的數(shù)量；S1，S2，…，Sp為p組混疊的光譜數(shù)據(jù)。a是N個熒光粒子在輸出信號中所占的權重值，p?N。

假設被照明的N個粒子屬于r個不同的特征光譜，盡管由于激發(fā)狀態(tài)的不同，同一種物質的光譜會存在強度上的線性關系，但其光譜特征是相同的，因此，在混疊散斑中實際上僅存在r個特征光譜，且相同物質的每個譜線存在線性關系。也就是說對于式（3）來講，系數(shù)矩陣是足夠稀疏的，方程組的秩為r，因此可將其化簡為

式中，A表示不同物質的權重，表示r種不同物質的特征光譜。

1.2 非負矩陣分解

非負矩陣分解（NMF）是多變量分析和線性代數(shù)中的一組算法，通?？捎糜跀?shù)據(jù)降維。給定一個具有非負元素的M維隨機向量X，X中包含N個觀測值xi，i=1，2，…，N，寫成矩陣形式則為X=，NMF 算法意在將X分解成兩個低秩非負矩陣U和V，即X≈U×V。其中U是一個非負M×L矩陣，V是L×N矩陣，顯然，V是U中觀測列的系數(shù)，即X的特征向量上的權重系數(shù)。因此NMF 將每個數(shù)據(jù)分解為基本向量的線性組合。由于初始條件L?min（M，N），獲得的基向量在原始向量空間上不完整，即這種方法試圖用更少的基數(shù)來表示高維隨機模式。因此利用NMF 對混合數(shù)據(jù)做低秩分解是光譜解混的一種直觀且有效的方法。

結合1.1 節(jié)中分析，對于單次隨機散斑照明而言，成像光譜儀所獲取的信號是一個光譜數(shù)據(jù)立方體，如圖1（b）。將數(shù)據(jù)立方體重新整合之后成為一個二維的光譜信號，由式（2）表示。當進行p個隨機散斑照明目標后，會形成一個三維的混疊光譜信號，對應的數(shù)據(jù)矩陣由式（3）表示。對這個三維矩陣進行像素維度的壓縮處理，最終到得到一個二維矩陣I，矩陣大小為λ×p，其中p為散斑數(shù)量，λ為光譜通道。由于像素的光譜特征是入射光在不同波長下被該像素反射的比例，是非負的，因此I是一個非負矩陣，矩陣的列為成像場景中目標對應每一次照明的特征光譜。壓縮矩陣I經(jīng)過NMF 低秩分解成大小分別為λ×r和r×p的兩個非負矩陣W和H，則有I≈W×H，其中，r是物質的種類。在形成的低秩矩陣中，W是特征光譜矩陣，矩陣中的每一列對應不同物質的特征譜。因此對矩陣W中的數(shù)據(jù)進行重新整合，便是各個物質的光譜數(shù)據(jù)。H為系數(shù)矩陣，H中的每一列表示每個像素中不同物質所占比例即權重值。值得強調的是在非負矩陣分解方法中，W×H是I的低階近似。在整個分解過程中，選擇W和H以最小化I和W×H之間的均方根殘差D，其中：為Frobenius 矩陣范數(shù)［20］。

2 仿真實驗結果

基于非侵入式散射介質內多光譜重建原理，建立的實驗裝置如圖2。激光光源通過空間光調制器（SLM）產(chǎn)生多個隨機照明散斑Ein，被顯微物鏡（Obj）投射到樣本中。照明散斑經(jīng)散射介質散射后產(chǎn)生激發(fā)散斑Eexc，并照射熒光粒子。熒光信號反向路徑傳播，經(jīng)過分光鏡（DM）的過濾和折返作用后被成像光譜儀接收。圖中L 表示棱鏡，L1 和L2 組成4f光學系統(tǒng)，用于調節(jié)光束的大小。實驗中利用MATLAB 建立仿真模型，模擬兩種具有不同光譜特征的粒子作為測試樣本中的目標，并通過散射層構建樣本中的散射介質。仿真過程中的基本參數(shù)如表1。

圖2 實驗裝置示意Fig.2 Schematic of experimental setup

表1 主要仿真參數(shù)Table 1 Primary simulation parameters

仿真中，利用波長為532 nm 的單色激光作為輸入光源，經(jīng)過SLM 的相位調制作用，在激光光斑上疊加隨機相位形成隨機散斑照明。攜帶有隨機相位信息的照明散斑被顯微物鏡（20×，NA 為1.0）收集，經(jīng)過夫瑯禾費傳輸后產(chǎn)生激發(fā)散斑照明樣本，激發(fā)熒光目標。被激發(fā)的熒光信號反向傳輸經(jīng)過散射介質后被成像光譜儀接收并記錄。重復上述過程，更改SLM 上的隨機相位模式，產(chǎn)生新的隨機散斑照明，并記錄新的熒光信號。重復p次，相當于用p個隨機散斑照明樣本中的目標。從而獲得相應的光譜數(shù)據(jù)。仿真過程中，樣本由散射介質和目標粒子組成。散射介質是由6 個散射層疊加而成，散射層之間的距離為20 nm，各向異性因子為0.69。散射粒子尺寸為1 個像素。

對成像光譜儀中獲取的目標信號重新整合后，利用NMF 算法提取目標的不同光譜特征，并進行光譜重建。對具有兩種光譜成分的樣本進行實驗，光譜重建結果如圖3（實線表示原始譜，虛線表示重建譜），圖3（a）和（b）分別為兩種光譜成分的重建光譜。利用原始光譜與重建光譜的相關性（Correlation，以下簡寫為“CORR”）以及均方根誤差（Root Mean Square Error，以下簡寫為“RMSE”）兩個指標評估光譜重建效果。光譜相關性越高，均方根誤差越小，則光譜重建效果越好。光譜相關性和均方根誤差分別表示為

式中，?為重建的光譜，S為輸入原始光譜。是重建光譜與原始譜的光譜協(xié)方差，Var(S)和表示原始譜和重建譜各自的方差。

圖3 中可以看出，在輸入隨機散斑數(shù)量p=1 000 時，兩種物質的重建光譜與原始光譜相關性分別為：CORR1＝0.998 9；CORR2=0.998 5。其均方根誤差分別為RMSE1＝0.019 1，RMSE2＝0.014 8。

圖3 光譜重建結果（p=1 000）Fig.3 Results of spectral reconstruction（p=1 000）

3 分析與討論

3.1 多個光譜重建

當樣本中具有兩種以上光譜成分時，對其進行光譜重建的實驗。由于在NMF 算法中，原始數(shù)據(jù)的可靠性一部分取決于輸入散斑，因此為了研究不同數(shù)量的輸入散斑對NMF 算法的影響，在仿真過程中，依次令輸入散斑數(shù)量p為200、400、600、800 和1 000，仿真結果如圖4。圖4 表示對四種光譜成分的樣本進行光譜重建仿真的結果，圖（a）、（b）、（c）和（d）分別為四種光譜成分的重建光譜。這一結果表明本方法能夠同時有效地重建散射介質內多個光譜。

圖4 不同輸入散斑數(shù)量的光譜重建結果Fig.4 Results of spectral reconstruction with different input modes

3.2 輸入散斑數(shù)量

根據(jù)3.1 節(jié)中四種光譜成分的實驗結果，對不同輸入散斑數(shù)量，計算每種譜線重建光譜與原始譜的相關系數(shù)和均方根誤差，并求其平均值，結果如表2。

表2 不同輸入散斑數(shù)量的光譜重建結果Table 2 Results of spectral reconstruction with different input modes

由表2 可見，當散斑數(shù)量小于400 時，原始光譜與恢復光譜之間的相關性小于0.99，并且均方根誤差較大，此時，表明光譜重建精度不高。這是因為當輸入散斑數(shù)量較少時，由于數(shù)據(jù)組不能將所有光譜信息覆蓋，導致光譜恢復質量不高。當散斑數(shù)量為600 時，盡管光譜恢復效果有所提高，但其均方根誤差仍然沒有達到理想誤差范圍。隨著散斑數(shù)量增加，原始光譜與重建光譜的均方根誤差逐漸變小，光譜相關性逐漸增大。當散斑數(shù)量為1 000 時，原始光譜與重建光譜的相關性達到最大，均方根誤差達最小。實際上，當隨機散斑的數(shù)量再次增加時，均方根誤差不會變小，這是因為當散斑的數(shù)量非常大時，其數(shù)據(jù)冗余量達到很大的值，因此在數(shù)據(jù)計算時，有很大可能用到無效散斑，使光譜恢復質量不高。同時由于散斑數(shù)量越多，數(shù)據(jù)庫越大，處理數(shù)據(jù)所需的繁瑣程度也會隨之增大。因此為了保證光譜重建質量的同時減小運算量，本次仿真選取1 000 個隨機散斑作為輸入。在圖4 中也可以看出，當有1 000 個隨機散斑時，重建的目標光譜更接近原始譜，且均方根誤差以及光譜相關性達到一個最優(yōu)解。

3.3 光譜相似度

從實驗結果可知，本方法可以同時重建多個光譜，然而，原理上來講不同光譜之間的相似程度也是影響重建質量的因素之一。為了分析不同光譜之間的相互作用，在仿真過程中，使用兩個隨機光譜作為原始譜進行重建。用兩個原始譜之間的點乘值（Dot.pro=S·S?）表示光譜相似度，Dot.pro 值越大，說明譜線相似度越高，反之，相似度越低。分別運行當相似度小于0.2、0.4、0.6、0.8 和1.0 時的兩個原始譜的仿真實驗，并求其平均值。結果如表3所示。從表中可以看出，隨著相似度的減小，當兩個原始光譜相似度小于0.6 時，原始光譜與重建光譜的相關性高于0.99，均方根誤差小于0.02，說明光譜可以得到準確重建。并且在相似度越小的情況下，其重建效果越好。

表3 不同相似度光譜重建結果Table 3 Results of spectral reconstruction with different similarity

4 應用舉例

非侵入式散射介質內多光譜重建的一個重要應用是散射介質內的聚焦。當散射介質內有多個光譜成分的目標存在時，分辨目標并選擇性地聚焦在指定目標上仍具挑戰(zhàn)。利用本文提出的技術可以通過重建隱藏在散射介質內的目標光譜，并利用重建光譜作為先驗知識，實現(xiàn)對散射介質內或透過散射介質目標的選擇性聚焦。基于此原理，將兩種具有不同光譜特征的粒子作為目標，利用本文所提出的方法對目標光譜進行重建，并結合光譜解析方差優(yōu)化算法［22］進行選擇性聚焦仿真實驗，實驗結果如圖5。S1和S2分別是兩種粒子（虛線標注和實線標注）的光譜特征，優(yōu)化前，激發(fā)散斑隨機分布在目標粒子上（左圖）。在進行多次優(yōu)化實驗后，優(yōu)化后的激發(fā)散斑（右圖）均聚焦在對應的目標粒子上（S1對應虛線標注的粒子和S2對應實線標注的粒子）。由此可見，利用本文所提出方法能夠有效地實現(xiàn)透過散射介質的選擇性聚焦。

圖5 散射介質內目標選擇性聚焦Fig.5 Selective focusing on the targets in the scattering medium

5 結論

本文提出一種新的散射介質內多光譜重建的光學方法。該方法通過散斑發(fā)生器產(chǎn)生多個隨機散斑照明，并通過顯微物鏡投射到樣本中，用于激發(fā)目標。被激發(fā)的熒光沿著反向路徑傳播，經(jīng)過散射介質的擴散作用后被成像光譜儀接收。熒光信號經(jīng)過重新整合后，形成一個二維的光譜數(shù)據(jù)矩陣，利用NMF 算法對矩陣進行解析，提取特征光譜，從而重建不同物質的光譜。首先通過仿真實驗驗證方法的可行性。其次通過對比不同參數(shù)情況下的實驗結果，分析該方法的適用條件。實驗結果表明，這種光譜重建方法利用多散斑輸入的模式，結合光譜解析的過程，可以實現(xiàn)散射介質內部的多個目標的分辨并且進行多個光譜的可靠重建。最后，通過應用實例，即對散射介質內目標選性聚焦的仿真實驗，結合非侵入式光譜解析聚焦算法，驗證本方法能夠實現(xiàn)散射介質內不同目標的選擇性聚焦。本文方法不僅為隱藏在散射介質內部或后面的目標成像以及信號增強提供了技術支撐，且為生物組織內目標分辨提供一種新的思路。