“數(shù)學(xué)問題解決”研究20年：回顧與展望

張定強 馮敏

【摘 要】 數(shù)學(xué)問題解決研究具有重要的理論與實踐價值.梳理課改20年“數(shù)學(xué)問題解決”研究的脈絡(luò)發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)問題解決的研究路徑有緩慢起步、迅速發(fā)展、深化推進階段;在理論上，研究者探析了數(shù)學(xué)問題解決的本體、因素、過程、價值等問題，在實踐上，研究者剖析了數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)、學(xué)習(xí)、評價等問題，未來需要在更寬廣的視域上探索數(shù)學(xué)問題解決的新空間、新主題和新方向.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)問題解決;歷程回顧;未來展望

0 引言

問題解決是人類認識世界、改造世界的基本活動，也是學(xué)生獲取知識的重要途徑.自2001年拉開新課程改革的序幕，經(jīng)過20多年的課改理論與實踐探索，取得了豐碩的成果.數(shù)學(xué)問題解決隨數(shù)學(xué)課程改革的深化已經(jīng)成為重要的學(xué)術(shù)話語，圍繞著數(shù)學(xué)問題解決，數(shù)學(xué)教育研究者和工作者進行了不懈的努力和探索，成為數(shù)學(xué)課改和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地的主要著力點.為此，有必要系統(tǒng)梳理課改20年來人們在數(shù)學(xué)問題解決方面的探索成果，以探尋數(shù)學(xué)問題解決的歷史邏輯、理論邏輯和實踐邏輯，從而站在一個新的歷史方位認知數(shù)學(xué)問題解決的內(nèi)涵與外延、功能與價值、策略和方法，更進一步推動數(shù)學(xué)教育高質(zhì)量發(fā)展.

1 “數(shù)學(xué)問題解決”研究的歷程回顧

“數(shù)學(xué)問題解決”一直都是研究者們關(guān)注的重點話題，在知網(wǎng)高級檢索中輸入“數(shù)學(xué)問題解決”，檢索到不同學(xué)術(shù)期刊發(fā)表與此相關(guān)的論文達9300多篇，本文基于代表作的視角選定了277篇作為探究“數(shù)學(xué)問題解決”研究歷程的概況.發(fā)現(xiàn)這些論文主要來源于《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》《課程·教材·教法》《心理發(fā)展與教育》等期刊上，呈現(xiàn)多期刊表征的現(xiàn)狀.從研究方法審視，主要的研究方法有思辨法、實驗法、案例研究法、問卷調(diào)查法，其中訪談法、文獻法等方法涉及較少.課改20年間，我國學(xué)者緊跟時代脈絡(luò)，對數(shù)學(xué)問題解決的相關(guān)問題展開了系統(tǒng)研究，大致經(jīng)歷了三個階段.

1.1 緩慢起步階段

這一時期大概在2001年到2011年間.課改開始不久，人們對“數(shù)學(xué)問題解決”的認知還處于探索階段.在早先開展“問題解決教學(xué)”課題研究的基礎(chǔ)上，研究者結(jié)合數(shù)學(xué)課改新理念，對我國數(shù)學(xué)課改提出了許多建議.鞏汝訓(xùn)等人提出新課程理念下數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)設(shè)計及應(yīng)注意的問題[1];宋乃慶基于西師版數(shù)學(xué)教材中“問題解決”的教學(xué)內(nèi)容對如何更好的實施教學(xué)提出了建議[2].與此同時，研究者從心理學(xué)角度關(guān)注數(shù)學(xué)問題解決的過程，通過對解題過程的元認知、動機與行為、問題表征等分析，提出有關(guān)數(shù)學(xué)問題解決的相關(guān)策略，如黃光榮探討了數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)教學(xué)與問題解決之間的關(guān)系[3];何小亞分析了解決數(shù)學(xué)問題的心理過程[4];胥興春、劉電芝對問題表征方式進行了系列研究，肯定了元認知對問題解決的重要影響，并比較研究了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙兒童的表征情況[5];朱德全等以“通過問題解決，開發(fā)學(xué)生元認知，培養(yǎng)學(xué)生解題能力”為出發(fā)點，運用羅增儒的數(shù)學(xué)問題解決思維模式的四步再反饋程式，選取三年級的學(xué)生對其進行元認知開發(fā)試驗，在綜合分析基礎(chǔ)上給出了建議[6];俞國良對視覺—空間表征與問題解決的關(guān)系進行了實證和比較研究[7].概括而言，在此階段，研究者進行了初步研究.一是對數(shù)學(xué)問題解決過程的模型研究.喻平提出的數(shù)學(xué)解題認知模式、認知構(gòu)建模式以及數(shù)學(xué)問題解決中個體的CPFS結(jié)構(gòu)對遷移的影響研究最具代表性[8];二是對數(shù)學(xué)問題解決相關(guān)的學(xué)習(xí)、教學(xué)模型的具體化研究.張奠宙和戴再平研究中國數(shù)學(xué)教學(xué)中的“雙基”和開放題問題解決，并提出對開放題的教學(xué)是加快“雙基數(shù)學(xué)教學(xué)”進步的有效途徑[9];和美君、劉儒德分析了數(shù)學(xué)問題解決中情境模型和問題模型的關(guān)系[10];施光文等人對數(shù)學(xué)“情境—問題”教學(xué)與拋錨式教學(xué)進行比較研究[11];呂傳漢和汪秉彝提出的“情境—問題”教學(xué)模式在西南地區(qū)開展了實驗研究，并取得了明顯成效[12];三是對數(shù)學(xué)問題解決與創(chuàng)新意識的培養(yǎng)進行探析.尹玉枝等人對數(shù)學(xué)問題解決與創(chuàng)造力發(fā)展進行了實證研究[13];李艷坡等對數(shù)學(xué)“問題解決”教學(xué)與學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)進行了探析[14];豁祖順利用現(xiàn)代認知心理學(xué)的知識，對學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題和發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)造力進行了深入的分析，認為數(shù)學(xué)問題解決是學(xué)生具備“可持續(xù)發(fā)展”的能力[15]，周梅等人在數(shù)學(xué)問題的解決與創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)中提到數(shù)學(xué)的根本任務(wù)不僅在于向?qū)W生傳授知識，更重要的是優(yōu)化學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的多種能力[16].

1.2 迅速發(fā)展階段

這一階段大概在2011年到2017年間.隨著數(shù)學(xué)問題解決研究領(lǐng)域的進一步拓廣，研究的內(nèi)容更加全面，研究的方法更加多樣.一是研究者運用多種方法對數(shù)學(xué)問題解決過程、影響因素等展開深入的研究.宋廣文等人開展了問題表征、工作記憶對小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的影響研究[17];李清等人開展元認知策略、解題策略對不同層次學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決影響的實證研究[18];王麗娜等人對課堂網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下操作情境對兒童數(shù)學(xué)問題解決影響進行實證研究[19];張詠梅等人基于表現(xiàn)性評定對數(shù)學(xué)自我效能與問題解決能力關(guān)系進行實驗研究[20].二是研究者進行了深入的相關(guān)理論和實踐研究.魏雪峰等人結(jié)合小學(xué)兒童的心理特點，根據(jù)認知心理學(xué)、腦科學(xué)、認知神經(jīng)科學(xué)等領(lǐng)域的研究成果，構(gòu)建了小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的認知模型，為進一步分析問題解決認知過程奠定了基礎(chǔ)，并以小學(xué)數(shù)學(xué)中的“眾數(shù)”為例，研究小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的認知、模擬及其教學(xué)啟示[21];張永雪的新課改下小學(xué)生數(shù)學(xué)真實性問題解決能力的調(diào)查研究[22];李曉梅的關(guān)于提高小學(xué)生問題解決能力的教學(xué)和學(xué)習(xí)策略[23]等對數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)提供了重要的參考.三是研究者對合作問題解決進行了系列研究.孔凡哲等人提出合作問題解決（CPS）是起源于問題解決，指向合作性，聚焦問題解決與合作之間的動態(tài)交融，據(jù)此用定量分析方法，分析中美小學(xué)數(shù)學(xué)課程標準，提出CPS立足于個人問題解決素養(yǎng)，全程性地統(tǒng)籌團隊智慧，通過理解、共享、情感管理，實現(xiàn)社會交互，強化合作認知，對當(dāng)時修訂《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》具有重要啟示作用[24].

1.3 深化推進階段

這一階段大概在2017年到至今.此期間隨著普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）的頒布，提出了培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力，研究話題也主要是數(shù)學(xué)問題解決下學(xué)生能力、素養(yǎng)提升與評價研究.一是數(shù)學(xué)問題解決能力的培養(yǎng).曹一鳴等人基于數(shù)學(xué)問題探討合作問題解決能力的培養(yǎng)[25];唐斌等人分析了影響小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力發(fā)展的原因并提出對策[26];高翔等人對五至八年級學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力進行實證研究[27];張僑平基于數(shù)學(xué)活動題探析了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力的策略等[28].二是數(shù)學(xué)問題解決與核心素養(yǎng)的培養(yǎng).楊勇提出了在問題解決教學(xué)中應(yīng)該注重問題情境、重視問題提出、關(guān)注問題表征、加強問題交流、重視問題拓展等以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[29];王彩云基于核心素養(yǎng)視角研究了如何運用數(shù)學(xué)思維以提高學(xué)生解決問題的能力[30];杜宵豐等以義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準和大綱為切入點，以問題解決為例，通過內(nèi)容分析法研究核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)課程中的發(fā)展沿革與趨勢[31];張敏以《以常見向量的問題解決》研討課為例，探求其生成與培育的內(nèi)在機理與邏輯[32].三是數(shù)學(xué)問題解決評價研究.鮑建生等人用PISA、TIMSS等測試項目研究了數(shù)學(xué)問題解決評價框架[33];曹一鳴等人用PISA2021測試法探尋數(shù)學(xué)推理問題解決間的關(guān)系[34];王潔基于PISA2015數(shù)據(jù)庫對北京、上海、江蘇、廣東四省市15歲學(xué)生的合作問題解決能力進行了分析并提出了培養(yǎng)建議[35].

2 “數(shù)學(xué)問題解決”研究的理論成果

數(shù)學(xué)問題解決研究的理論視角主要以“問題”為出發(fā)點、“解決”為過程和手段、“價值”為目的，從問題中理解數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，以問題解決發(fā)展數(shù)學(xué)思維，進而研究問題解決過程、影響因素等.

2.1 數(shù)學(xué)問題解決的本體探析

數(shù)學(xué)問題解決的本體探析就是探索數(shù)學(xué)問題解決的內(nèi)涵、本質(zhì)及其要素、關(guān)系.不同的學(xué)者對“數(shù)學(xué)問題解決”的內(nèi)涵有不同的見解.喻平提出數(shù)學(xué)問題解決是指綜合地、創(chuàng)造性地運用各種數(shù)學(xué)知識去解決非單純練習(xí)題式問題，包括實際問題和源于數(shù)學(xué)內(nèi)容的問題[36];張春莉認為數(shù)學(xué)問題解決是一種創(chuàng)造性活動，解決問題的最高形式就是創(chuàng)造性的解決問題，創(chuàng)造力是問題解決的最高表現(xiàn)[37];李勝平認為數(shù)學(xué)問題解決是一種心理活動過程，它是利用解題者原數(shù)學(xué)信息庫中的信息，將問題中的條件信息進行處理、編碼、加工，采取一定的思維對策，運用數(shù)學(xué)來改變系統(tǒng)的初始狀態(tài)，將之變?yōu)槟繕藸顟B(tài)，使系統(tǒng)從不穩(wěn)定狀態(tài)向穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)化的思維過程[38].義務(wù)教育課標（實驗稿）以及課標（2011年版）中將解決問題視為課程目標及基本能力，普通高中課標（2017年版）將其視為四能之一，在更高層面界定數(shù)學(xué)問題解決是數(shù)學(xué)課程的核心要素，是通過數(shù)學(xué)問題解決使學(xué)生觸摸數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，感悟數(shù)學(xué)價值.總之?dāng)?shù)學(xué)問題解決是一項系統(tǒng)工程，與數(shù)學(xué)知識、能力、思想、方法、創(chuàng)造與應(yīng)用融合在一起，通過一系列數(shù)學(xué)活動及教學(xué)活動，成為學(xué)習(xí)者與數(shù)學(xué)的鏈接橋梁，成為數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教育系統(tǒng)中的一種關(guān)系性、生成性、創(chuàng)造性存在.

2.2 數(shù)學(xué)問題解決的因素分析

數(shù)學(xué)問題解決是一種復(fù)雜的活動，涉及眾多因素，包含知識、能力、素養(yǎng)等，其中研究者從問題表征、問題情境、元認知等展開了分析.問題表征是問題解決者建構(gòu)問題的自組織過程，調(diào)用自己內(nèi)在的知識、識別問題的呈現(xiàn)方式與問題情境，進而探尋問題解決方法.問題表征即是對問題理解和內(nèi)化的一種過程，也是問題解決的一種結(jié)果，問題表征質(zhì)量的高低直接影響問題的解決[39]，因此表征及情境是影響問題解決的重要因素，是問題解決的中心環(huán)節(jié).正確的語言表征是理解問題的第一步;數(shù)式表征是問題解決的信息儲存和加工過程，適當(dāng)?shù)膱D式表征有助于“問題”的形象、直觀地思考，合理地模式表征有助于簡約問題解決的思維長度，問題表征的靈活調(diào)節(jié)有助于培養(yǎng)解題思維的深刻性[40].元認知也是數(shù)學(xué)問題解決的影響因素，朱德全發(fā)現(xiàn)，基于數(shù)學(xué)問題解決認知模型，元認知是數(shù)學(xué)問題解決認知的主要組成部分，對數(shù)學(xué)問題解決的各個階段起著目標修正、策略激活、進程監(jiān)控等作用[41];章建躍和林崇德通過實證研究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控水平較高者對學(xué)習(xí)情景中的線索及變化情況比較敏感，對問題中各條件及其相互關(guān)系、結(jié)論及其變形等都能較好地知覺和分析，并據(jù)此而調(diào)動起數(shù)學(xué)思維策略，達成對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及時有效的調(diào)控[42].

2.3 數(shù)學(xué)問題解決的過程研究

數(shù)學(xué)問題解決的過程相當(dāng)復(fù)雜，許多數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家、心理學(xué)家對數(shù)學(xué)問題解決過程做過深入的研究，提出了各種解決問題的過程模式，其中影響較大的有算子理論、模式識別、信息加工模式等.我國心理學(xué)家王甦、汪安圣根據(jù)問題解決模型與算子理論，將問題解決概括為四個步驟：問題表征、選擇算子、運用算子、評價當(dāng)前狀態(tài);喻平在此基礎(chǔ)上建立了數(shù)學(xué)解題認知模式的“循環(huán)系統(tǒng)”，其過程分別為：問題表征、模式識別、解題遷移、解題監(jiān)控，并進一步指出，學(xué)生是否識別應(yīng)用問題的類型即模式識別是能否成功解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的關(guān)鍵;施良方把數(shù)學(xué)問題解決分為五個階段：感覺到問題的存在，明確問題的各個方面、形成各種備擇的問題解決方法、根據(jù)結(jié)果和相對收效來評價已形成的各種備擇的問題解決方法、實施某種行為方針;何小亞提出解決數(shù)學(xué)問題的心理過程包括意識到問題的存在是問題解決的先決條件，表征問題是問題解決的中心環(huán)節(jié)，確定解決問題的策略并嘗試決定著問題解決的方向與成敗，評價與反思;張春莉根據(jù)信息加工理論提出了數(shù)學(xué)問題解決的信息加工模式以及問題解決的階段理論;鮑建生等把解題策略分為四個層次：一般的思維方法，如分類與抽象、觀察與實驗、比較與概括、分析與綜合、一般與特殊;一般的探索策略，如波利亞的“怎樣解題表”以及匈菲爾德的研究;數(shù)學(xué)的思想方法，如中國的方法論研究;數(shù)學(xué)的解題技巧，如戴再平提出的枚舉法、模式識別、問題轉(zhuǎn)化等8個解題技巧等，都在不斷促進數(shù)學(xué)問題解決過程的優(yōu)化.

2.4 數(shù)學(xué)問題解決的價值研究

數(shù)學(xué)問題解決意識及能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要成分，也是數(shù)學(xué)教育目標從“知識量”到“實踐力”轉(zhuǎn)型的關(guān)鍵舉措.數(shù)學(xué)問題解決不僅有利于強化“四基”，更有利于發(fā)展“四能”.具體而言，數(shù)學(xué)問題解決的價值之一是掌握數(shù)學(xué)方法、培養(yǎng)數(shù)學(xué)技能.數(shù)學(xué)問題解決幫助學(xué)生促進知識間的整合，學(xué)生在解決問題時能觸發(fā)聯(lián)想，綜合運用知識，從而找到解題的途徑.為了促進數(shù)學(xué)知識間的整合，在學(xué)習(xí)中利用概念圖、結(jié)構(gòu)圖、類型題等串聯(lián)在一起進行分析，通過對知識精加工、分析與把握概念間的聯(lián)系，建立問題模型、探尋到解決問題的方法技巧，既深化了知識的理解，又形成了穩(wěn)定的方法體系.價值之二是領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想、訓(xùn)練思維品質(zhì).數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，正是數(shù)學(xué)問題的紐帶將數(shù)學(xué)的知識、思想、方法、精神融為一體，特別是將數(shù)學(xué)的抽象、推理、建模思想滲透到數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決的全程，通過對數(shù)學(xué)問題的表征、轉(zhuǎn)化，將數(shù)學(xué)中的計算、推理和想象、綜合、實踐、應(yīng)用納入到數(shù)學(xué)問題解決系統(tǒng)，成為訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的主渠道，以養(yǎng)成精確、批判、反思的數(shù)學(xué)思維方式.價值之三是發(fā)展個性心理，形成創(chuàng)新精神.數(shù)學(xué)問題解決是一種個性化的思維過程，需要在一定的情境下進行創(chuàng)新性思維才能解決問題，更需要調(diào)動一切認知資源，去觀察、探究、想象、分析、綜合、再創(chuàng)造，這中間隨著問題的難易程度會遇到種種挑戰(zhàn)，惟有在挑戰(zhàn)中才能促發(fā)思維品質(zhì)的提升與創(chuàng)新精神、創(chuàng)新意識的形成.曹一鳴等人認為，數(shù)學(xué)問題解決既可以提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識的掌握水平、學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，又可以培養(yǎng)學(xué)生探索精神和創(chuàng)新能力、促進學(xué)生形成正確的價值觀[43]，馬云鵬等人將數(shù)學(xué)問題解決的價值概括為數(shù)學(xué)問題解決能力是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要標志，解決問題意識的提高使學(xué)生更能體會數(shù)學(xué)的價值，促進數(shù)學(xué)各領(lǐng)域內(nèi)容的理解和掌握[44].

3 “數(shù)學(xué)問題解決”研究的實踐成果

數(shù)學(xué)問題解決能力形成的主陣地是數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)與評價，在數(shù)學(xué)教學(xué)中需要創(chuàng)新教學(xué)模式，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要變革學(xué)習(xí)模式，在數(shù)學(xué)評價中需要注重過程評價.

3.1 數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)探索

數(shù)學(xué)問題已經(jīng)深深地嵌入到數(shù)學(xué)教學(xué)的設(shè)計、實施、評價、反思當(dāng)中.周映平提出開展數(shù)學(xué)“問題解決”教學(xué)可以按照以下策略實施：動機激發(fā)策略、層次設(shè)計策略、主體發(fā)展策略、探究創(chuàng)新策略[45].這些教學(xué)策略適切運用，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力的提高，也有利于教師盤活各種資源，助于數(shù)學(xué)問題解決價值的實現(xiàn).數(shù)學(xué)問題解決需要開放型的教學(xué)模式，如研究者以“平行四邊形面積”為例，在教學(xué)中探究思路開放，猜想與實驗無縫對接;探究過程開放，特例與歸納內(nèi)在關(guān)聯(lián);練習(xí)視角開放，傳統(tǒng)與創(chuàng)生有機結(jié)合，通過這樣的開放性活動促使學(xué)生鞏固陳述性知識、發(fā)展策略性知識，形成事實性與概念性、反思性知識.數(shù)學(xué)問題解決一個重要方面是開展數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究教學(xué)，通過一些典型問題的案例分析，將現(xiàn)實問題、數(shù)學(xué)問題置于一種寬闊的素養(yǎng)視野，基于建模與探究去分析和解決問題，才能促使學(xué)生深入地認識數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和真理.

3.2 數(shù)學(xué)問題解決的學(xué)習(xí)探索

數(shù)學(xué)問題解決的真正受益者是學(xué)生，在數(shù)學(xué)問題解決過程中，一是可以加強數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換訓(xùn)練，提高閱讀審題能力.如有研究者認為關(guān)鍵信息的提取是提高解題能力的關(guān)鍵，而這些信息要在讀中明確已知與未知的關(guān)系，在找中找到關(guān)鍵詞句，在想中想到是否隱含其他信息，在理中理清與解題無關(guān)的因素，進而在反思中準確完成解題步驟.二是可以通過知識的重組與比較，提高模式識別能力.只有清晰問題中所蘊藏的模式才能有效地解決問題，在識別模式中能夠?qū)⒃搯栴}歸類，使得與自己認知結(jié)構(gòu)中的某種數(shù)學(xué)模式相匹配，進而形成問題解決的思路并解決問題.三是可以加強數(shù)學(xué)靈活性培養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和推理能力.思維的靈活性要求學(xué)生在解決問題時，思路清晰，能夠根據(jù)具體問題具體分析，能夠根據(jù)題目條件，靈活地進行計算和推理，多角度地分析問題，找出解決問題的最佳方案.四是可以注重解題思維的監(jiān)控，進行歸因分析.解題的成功與否，關(guān)鍵是思路的開通.這其中思維監(jiān)控起著“導(dǎo)航”“調(diào)節(jié)”作用，需要及時信息反饋，克服思維定勢，及時調(diào)整策略，提高解題行為的有效性與正確性，及時反思與監(jiān)控，全方位診斷分析解決過程，以使問題解決更加科學(xué)、合理和簡捷.

3.3 數(shù)學(xué)問題解決的評價探索

數(shù)學(xué)問題解決不能缺失評價的因子，需要探析數(shù)學(xué)問題解決中的評價工具、建構(gòu)評價框架、科學(xué)進行評價.顧泠沅等人在2002年借鑒國外的評價模型建立了問題解決的綜合難度模型，區(qū)分了5個難度因素，并將每個因素劃分為若干個水平[46];段孝宇在此模型基礎(chǔ)上編制了五年級問題解決能力測試題并進行實測，根據(jù)測試結(jié)果提出相應(yīng)的教學(xué)建議[47].隨后不同的學(xué)者結(jié)合PISA關(guān)于問題解決評價框架和美國學(xué)科能力表現(xiàn)標準中問題解決評價框架及問題內(nèi)容的綜合程度和難度，對學(xué)業(yè)考試、數(shù)學(xué)問題解決能力分級分類進行了研究，通過質(zhì)性與量化的方法，構(gòu)建了Q-C-Q數(shù)據(jù)整合分析模型，基于數(shù)學(xué)能力、思維水平、問題解決能力之間的內(nèi)在關(guān)系，系統(tǒng)的對學(xué)生的問題解決能力進行評價.

4 “數(shù)學(xué)問題解決”研究的未來展望

4.1 系統(tǒng)規(guī)劃，聚焦數(shù)學(xué)問題解決的理論與實踐研究

數(shù)學(xué)問題解決在數(shù)學(xué)教育中的重要地位決定著新時代將更加聚焦于理論與實踐研究.一是以數(shù)學(xué)問題為導(dǎo)向，以創(chuàng)新為契機，推進問題解決關(guān)鍵環(huán)節(jié)的理論探析.諸如數(shù)學(xué)問題發(fā)現(xiàn)的源與流及其形成機制，數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)中的源問題與靶問題間的關(guān)系，問題與解之間的鏈接通道及辯證關(guān)系，數(shù)學(xué)問題解決的過程及創(chuàng)新機制探究等.二是以診斷評價為重心，以反思為抓手，推進問題解決實踐路徑探討.數(shù)學(xué)問題解決要與學(xué)情、世情、人情相結(jié)合，與信息技術(shù)、情境創(chuàng)設(shè)、大腦機制相融合才能找到其價值功能發(fā)揮的實踐邏輯，諸如數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中如何精巧的設(shè)計問題鏈、教學(xué)過程中如何破解和生發(fā)問題鏈、教學(xué)評價中如何利用問題鏈，教學(xué)反思中如何重構(gòu)問題鏈，其實質(zhì)就是透過問題解決這扇窗口，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的“創(chuàng)新精神與實踐能力”.

4.2 探索方向，明確數(shù)學(xué)問題解決的主題與方向趨勢

數(shù)學(xué)問題解決需要探索新的主題和方向以回應(yīng)立德樹人根本任務(wù)的訴求.一是在關(guān)注學(xué)生成長上探索數(shù)學(xué)問題解決新主題，數(shù)學(xué)問題解決伴隨著人的整全，助推著學(xué)生綜合素養(yǎng)，因此要分階段、分層次、分時空探析數(shù)學(xué)問題解決的類別、責(zé)任、權(quán)利與策略，緊跟時代脈胳，緊扣學(xué)習(xí)內(nèi)容，有目標、有計劃選擇適宜于學(xué)生成長的問題域并讓學(xué)生在問題解決中成長.二是在尊重學(xué)生主體上探索數(shù)學(xué)問題解決新方向，只有數(shù)學(xué)問題解決與學(xué)生主體相吻合，才能打開學(xué)生學(xué)習(xí)的視域，調(diào)動學(xué)習(xí)的動機，才能讓學(xué)生具身探究，并立足于主體的發(fā)展去與數(shù)學(xué)問題接觸，啟動思維，探尋問題解決的路徑與方式，進而在一些非常規(guī)的、復(fù)雜的、具有不同解決方法的、基于眾多知識和技能的、要求使用不同表征方式的、具有多重情境的問題解決過程中提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.3 拓展空間，精確數(shù)學(xué)問題解決的綜合與滲透視域

隨著數(shù)學(xué)問題解決研究的不斷深入，數(shù)學(xué)問題解決的領(lǐng)域已不僅僅囿于數(shù)學(xué)世界，更關(guān)涉自然科學(xué)、社會科學(xué).一是數(shù)學(xué)問題解決要基于數(shù)學(xué)世界及學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展而啟動，不斷開創(chuàng)數(shù)學(xué)問題探究的新空間.二是數(shù)學(xué)問題解決大多與自然科學(xué)和社會科學(xué)息息相關(guān)，涉及航空航天、國防安全、生物醫(yī)藥、信息、能源、海洋、人工智能、先進制造、文化發(fā)展等領(lǐng)域，因此需要跨學(xué)科、跨領(lǐng)域去拓展數(shù)學(xué)問題空間，在與不同學(xué)科融合與滲透中培養(yǎng)學(xué)生的類比、分析、歸納、抽象、聯(lián)想、演繹推理、準確計算、學(xué)習(xí)新知識、運用新軟件等能力.因此要基于大單元、深度學(xué)習(xí)促進學(xué)生對遇到的問題以“數(shù)學(xué)方式”進行理性思維，從而對現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象和過程進行合理的簡化和量化，建立數(shù)學(xué)模型，有效提高綜合素養(yǎng).

參考文獻

[1]鞏汝訓(xùn)，鞠錫田.新課程理念下數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)摭談[J].教育理論與實踐（學(xué)科版），2004，24（05）：57-58.

[2]楊豫暉，宋乃慶.小學(xué)數(shù)學(xué)“解決問題”編寫設(shè)計探究[J].當(dāng)代教育科學(xué)，2004，19（01）：59-60.

[3]黃光榮.數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)教學(xué)與問題解決[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2004，20（02）：17-20.

[4]何小亞.解決數(shù)學(xué)問題的心理過程分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2004，13（03）：34-36.

[5]胥興春，劉電芝.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙兒童解決不同性質(zhì)問題的表征研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2005，14（01）：68-70.

[6]朱德全，劉靜.基于問題解決學(xué)習(xí)的元認知開發(fā)實驗研究[J].西南師范大學(xué)學(xué)報（人文社會科學(xué)版），2003，29（04）：30-37.

[7]俞國良，曾盼盼.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不良兒童視覺—空間表征與數(shù)學(xué)問題解決[J].心理學(xué)報，2003，35（05）：643-648.

[8]喻平.數(shù)學(xué)問題解決認知模式及教學(xué)理論研究[D].南京：南京師范大學(xué)，2002.

[9]張奠宙，戴再平.中國數(shù)學(xué)教學(xué)中的“雙基”和開放題問題解決[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2005，14（04）：5-12.

[10]和美君，劉儒德.論數(shù)學(xué)問題解決中情境模型與問題模型的關(guān)系[J].心理科學(xué)，2012，35（03）：642-646.

[11]施文光，朱維宗，呂傳漢.數(shù)學(xué)“情境——問題”教學(xué)與拋錨式教學(xué)之比較研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2007，16（01）：82-84.

[12]呂傳漢，汪秉彝.論中小學(xué)“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006，15（02）：74-79.

[13]尹玉枝，夏子厚.數(shù)學(xué)問題解決與創(chuàng)造力發(fā)展的實證研究[J].教學(xué)與管理，2007，14（18）：58-59.

[14]李艷坡，鄭國萍，何尚琴，高明晶，岳曉云.數(shù)學(xué)“問題解決”教學(xué)與學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)[J].中國成人教育，2010，9（06）：135-136.

[15]豁祖順.數(shù)學(xué)問題解決與學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造力發(fā)展的實證研究[J].教育與職業(yè)，2006，90（18）：106-108.

[16]周梅，陳潔.數(shù)學(xué)問題的解決與創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)[J].教育與職業(yè)，2007，91（05）：108-109.

[17]宋廣文，何文廣，孔偉.問題表征、工作記憶對小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的影響[J].心理學(xué)報，2011，43（11）：1283-1292.

[18]李清，王菡.元認知策略、解題策略對不同層次學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決影響的實證研究[J].教育理論與實踐，2017，35（35）：41-43.

[19]王麗娜，陳玲.課堂網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下操作情境對兒童數(shù)學(xué)問題解決影響的實證研究[J].電化教育研究，2014，35（09）：58-63.

[20]張詠梅，劉紅云.表現(xiàn)性評定對數(shù)學(xué)自我效能與問題解決能力關(guān)系影響的實驗研究[J].教育學(xué)報，2013，09（02）：51-60.

[21]魏雪峰，崔光佐，段元美.問題解決認知模擬及其教學(xué)啟示——以小學(xué)數(shù)學(xué)“眾數(shù)”教學(xué)為例[J].中國電化教育，2012，33（11）：135-139.

[22]張永雪.新課改下小學(xué)生數(shù)學(xué)真實性問題解決能力的調(diào)查研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（02）：45-48.

[23]李曉梅.關(guān)于提高小學(xué)生問題解決能力的思考[J].課程·教材·教法，2011，31（12）：45-50.

[24]孔凡哲，趙娜.合作問題解決視角下的數(shù)學(xué)課程標準的定量研究——基于PISA2015CPS測評框架[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2017，26（03）：30-38.

[25]李欣蓮，曹一鳴.合作問題解決能力的培養(yǎng)——基于美國高質(zhì)量數(shù)學(xué)教學(xué)的研究與啟示[J].教育科學(xué)研究，2019，30（04）：79-84.

[26]唐斌，聶湘玉.影響小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力發(fā)展的原因及對策研究[J].基礎(chǔ)教育課程，2020，28（02）：47-53.

[27]高翔，徐斌艷.五至八年級學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力的實證研究——以“探索規(guī)律問題”為例[J].教育學(xué)術(shù)月刊，2020，37（01）：106-111.

[28]張僑平.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力：數(shù)學(xué)活動題的啟示[J].課程·教材·教法，2018，38（01）：97-102.

[29]楊勇.核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)問題解決策略[J].教學(xué)與管理，2019，27（31）：60-63.

[30]王彩云.基于核心素養(yǎng)提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)思維解決問題的能力[J].中國教育學(xué)刊，2018，39（S1）：197-198.

[31]杜宵豐，周達，劉堅.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程沿革：核心素養(yǎng)的視角——以問題解決為例[J].教育理論與實踐，2018，38（17）：10-13.

[32]張敏.積累活動經(jīng)驗探尋數(shù)學(xué)本真培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)——以一堂《常見向量問題的解決》研討課為例[J].數(shù)學(xué)通報，2019，58（06）：39-43.

[33]朱晨菲，孫浩，鮑建生.數(shù)學(xué)問題解決評價方案的構(gòu)建與實施[J].數(shù)學(xué)通報，2019，58（10）：13-19.

[34]李娜，趙京波，曹一鳴.基于PISA2021數(shù)學(xué)素養(yǎng)的數(shù)學(xué)推理與問題解決[J].課程·教材·教法，2020，40（04）：131-137.

[35]王潔.中國四省市15歲在校學(xué)生合作問題解決能力表現(xiàn)及影響因素——基于PISA2015數(shù)據(jù)分析[J].教育發(fā)展研究，2018，38（10）：60-68.

[36]喻平.中國數(shù)學(xué)教育心理研究30年[M].北京：科學(xué)出版社，2011.

[37]張春莉，綦春霞.解決問題與創(chuàng)新意識的培養(yǎng)[J].學(xué)科教育，2002，15（04）：29-33.

[38]李勝平.論數(shù)學(xué)問題解決的系統(tǒng)思維方法策略[J].云南師范大學(xué)學(xué)報，2007，27（01）：74-78.

[39]胥興春，劉電芝.問題表征方式與數(shù)學(xué)問題解決的研究[J].心理科學(xué)進展，2002，10（03）：264-269.

[40]辛濤，姜宇，劉霞.我國義務(wù)教育階段學(xué)生核心素養(yǎng)模型的構(gòu)建[J].北京師范大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版），2013，48（01）：5-11.

[41]朱德全.數(shù)學(xué)問題解決的表征及元認知開發(fā)[J].教育研究，1997，19（03）：50-54.

[42]章建躍，林崇德.中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力的發(fā)展[J].中國教育學(xué)刊，2000，31（04）：46-49.

[43]曹一鳴，黃秦安，馬波.數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].北京：高等教育出版社，2011.

[44]馬云鵬.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論（第四版）[M].北京：人民教育出版社，2013.

[45]周映平.淺析“問題解決”數(shù)學(xué)教學(xué)策略[J].中國教育學(xué)刊，2010，31（07）：85-86.

[46]顧泠沅，鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009：126-145.

[47]段孝宇.小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力評價研究[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2019，32（08）：11-13.

作者簡介 張定強（1963—），男，教授，博士生導(dǎo)師;主要研究數(shù)學(xué)教育.

馮敏（1993—），女，博士研究生;主要研究數(shù)學(xué)教學(xué)論.