基于交互多模型(IMM)的航空器沖突探測(cè)算法

黃 晉，李保強(qiáng)，王學(xué)軒，胡苗苗，李云飛

(中國(guó)民用航空飛行學(xué)院 空中交通管理學(xué)院，四川 廣漢 618307)

自動(dòng)相關(guān)監(jiān)視廣播(ADS-B)系統(tǒng)是國(guó)際民用航空組織(ICAO)推薦的下一代空中交通管制系統(tǒng)的CNS/ATM的關(guān)鍵組成部分。ADS-B向附近區(qū)域的其他飛機(jī)、地面車輛和地面站廣播一架飛機(jī)的識(shí)別、位置數(shù)據(jù)和運(yùn)行信息。ADS-B航跡是指飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡，由飛機(jī)的機(jī)載ADS-B設(shè)備報(bào)告的點(diǎn)連接而成。數(shù)據(jù)傳輸過程中存在不可避免的誤差或干擾，造成信息的不精確或者錯(cuò)誤，需要通過濾波方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)和修正，使航跡更加精確[1]。

隨著中國(guó)空中交通量增加，航空器之間發(fā)生碰撞的風(fēng)險(xiǎn)概率也隨之增大。因此，航空器碰撞預(yù)測(cè)在空中交通管制具有重要意義[2-3]。為了判斷兩架飛機(jī)是否有相撞風(fēng)險(xiǎn)，傳統(tǒng)的研究一般通過算法計(jì)算概率的方法來(lái)預(yù)測(cè)航空器可能發(fā)生的沖突[4]。Paielli和Erzberge提出了假設(shè)兩個(gè)航空器的速度保持不變，計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻量航空器瞬間碰撞概率的方法[5-6]。

近幾年關(guān)于航空器沖突風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)與評(píng)估的研究多基于模型的仿真計(jì)算。文獻(xiàn)[7]采用了Reich模型對(duì)具體的碰撞概率進(jìn)行了量化計(jì)算。其中，基于Reich模型的研究衍生出的基于Event的航空器沖突計(jì)算模型，以及隨后研究發(fā)展的改進(jìn)方法和模型[8-10]。以上方法碰撞概率主要基于計(jì)算關(guān)于航空器盒式模型之間的穿越概率。此外，還有另外一種基于航跡仿真和數(shù)據(jù)處理和可視化以及飛機(jī)性能和通信導(dǎo)航監(jiān)視系統(tǒng)性能的碰撞概率計(jì)算模型[7-13]。同時(shí)，基于航空器動(dòng)力學(xué)模型和概率模型建模和碰撞概率計(jì)算的研究進(jìn)一步發(fā)展[14-15]。本文提出了一種基于飛機(jī)狀態(tài)參數(shù)和飛行模型的線性的混合系統(tǒng)來(lái)表示飛機(jī)的航線模型。采用相互作用多模型(IMM)來(lái)判斷飛機(jī)機(jī)動(dòng)(飛行模型)[16]。以航空器飛行模型中的等速模型和盤旋模型作為多模型。從含有飛機(jī)位置、速度信息的ADS-B信號(hào)估計(jì)飛機(jī)的位置和速度，判斷航空器的飛行模型及所處狀態(tài)[17]。根據(jù)ADS-B信號(hào)顯示的飛機(jī)的位置，速度與航空器信息，在一定時(shí)間后由相互作用多模型來(lái)預(yù)測(cè)各飛行模型下的航空器的碰撞概率。

1 基于IMM的線性混合系統(tǒng)

1.1 飛機(jī)的兩種動(dòng)力學(xué)模型

研究采用勻速運(yùn)動(dòng)模型(CV)和盤旋轉(zhuǎn)彎模型(CT)兩種獨(dú)立的動(dòng)力學(xué)模型來(lái)描述飛機(jī)在二維平面上的航線[18]。其中CV模型表示勻速直線運(yùn)動(dòng)，CT模型中運(yùn)動(dòng)速度不變，機(jī)頭以一定的轉(zhuǎn)彎率變化的機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。飛機(jī)航線模型的狀態(tài)參數(shù)為

(1)

每個(gè)模型用離散線性系統(tǒng)狀態(tài)方程表示為

X(k+1)=FjX(k)+Gjwj(k)

(2)

Y(k)=HX(k)+v(k)

(3)

CV模型和CT模型的系統(tǒng)矩陣分別為

(4)

(5)

ADS-B信號(hào)包含了飛機(jī)的位置高度、航向和速度信息，根據(jù)ADS-B數(shù)據(jù)格式規(guī)定，模型中表示飛機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)數(shù)據(jù)的矩陣為[19-20]

H=I4×4

(6)

當(dāng)m(k)代表時(shí)間k時(shí)的飛行狀態(tài)時(shí)，可以將躍遷矩陣轉(zhuǎn)換為馬爾科夫鏈，即

πij?Prob{m(k+1)=i∣m(k)=j}

(7)

(8)

這種動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型也稱為線性混合系統(tǒng)。

1.2 交互多模型(IMM)

為了通過線性混合系統(tǒng)表示的飛機(jī)動(dòng)力學(xué)模型來(lái)估計(jì)飛機(jī)的位置和速度，本文采用了交互多模型(IMM)?；诮换ザ嗄Ｐ蜆?gòu)造了符合線性混合系統(tǒng)模型的卡爾曼濾波器，以濾波器估計(jì)的模型概率為權(quán)重，計(jì)算飛機(jī)狀態(tài)變量的估計(jì)值。通過IMM估計(jì)可得狀態(tài)變量和協(xié)方差為

(9)

(10)

(11)

(12)

式中，μi|j(k|k)表示從模型i到模型j的轉(zhuǎn)移概率，可以從模型轉(zhuǎn)移矩陣和模型概率μj(k)中得到。計(jì)算過程為

(13)

(14)

模型概率μj(k)在每個(gè)模型的卡爾曼濾波中以計(jì)算出的殘差rj和殘差的協(xié)方差Sj所得似然函數(shù)j為權(quán)重值，計(jì)算公式為

(15)

(16)

式中，模型概率的初值μj(0)與系統(tǒng)的初始情況有關(guān)。

2 飛機(jī)碰撞概率預(yù)測(cè)

2.1 飛機(jī)的兩種動(dòng)力學(xué)模型

假定兩架飛機(jī)A和B在時(shí)間k上分別在位置χA(k)、χB(k)上的概率為二維正態(tài)分布，即

(17)

(18)

如果兩架飛機(jī)之間的相對(duì)距離為XAB，則相對(duì)距離的概率為

(19)

χAB(k)=χA(k)-χB(k)

(20)

PAB(k)=PA(k)+PB(k)

(21)

兩個(gè)航空器的碰撞定義為兩個(gè)航空器之間的相對(duì)距離小于用戶定義的圓(安全區(qū))半徑，模型體現(xiàn)為

D={|χAB|

(22)

式中，rsafe為安全區(qū)的半徑，取決于飛機(jī)適用的法規(guī)規(guī)定。兩架飛機(jī)在時(shí)間k上的碰撞概率為

(23)

PAB=LLT

(24)

T=L-1

(25)

通過上述坐標(biāo)變換，以REF航空器為中心的安全區(qū)由圓變形為橢圓，如圖1所示。在兩航空器速度向量恒定的情況下，使用一維正態(tài)分布進(jìn)行積分計(jì)算碰撞概率，可得出基于速度向量擴(kuò)展的矩形安全區(qū)域[21-23]。

圖1 傳統(tǒng)擴(kuò)展沖突保護(hù)區(qū)模型

在此基礎(chǔ)上，將上述REF的外接橢圓改進(jìn)為矩形區(qū)域。在矩形安全區(qū)內(nèi)使用正態(tài)分布求積分，最終計(jì)算得出兩航空器的碰撞概率。通過這種改進(jìn)后的方法可計(jì)算航空器之間的碰撞概率，原理如圖2所示。

圖2 改進(jìn)的矩形沖突保護(hù)區(qū)模型

(26)

(27)

式中，Z1(δ;·)代表一維正態(tài)分布的累積分布包含數(shù)，其值通過式(28)進(jìn)行計(jì)算，公式中的erf為誤差函數(shù)。

(28)

2.2 碰撞概率預(yù)測(cè)

Xj(k+1)=FjX(k)

(29)

(30)

本文分別從傳播的狀態(tài)變量和協(xié)方差計(jì)算碰撞概率p[C(k+nT)]j。時(shí)間k+nT中，沖突概率由時(shí)間k的模型概率μj(k)為權(quán)重的各模型的沖突概率(時(shí)間k+nT)之和確定。

(31)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

根據(jù)前面提出的碰撞概率預(yù)測(cè)算法，通過MATLAB進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證碰撞概率預(yù)測(cè)算法。圖3顯示了兩架可能相撞的飛機(jī)的相對(duì)軌跡。

圖3 兩個(gè)航空器的運(yùn)動(dòng)幾何模型

當(dāng)STO航空器發(fā)現(xiàn)REF航空器后，以一定的轉(zhuǎn)彎率[1.5(°)/s]進(jìn)行轉(zhuǎn)彎回避。STO航空器從40 s開始盤旋，10 s后返回到巡航直線運(yùn)動(dòng)。安全區(qū)半徑設(shè)定為2 km；安全區(qū)圓心位于REF航空器的中心，STO航空器安全區(qū)由周圍的橢圓表示。可以由式(21)計(jì)算兩航空器相對(duì)距離的誤差協(xié)方差。實(shí)際應(yīng)用中，算法的安全區(qū)半徑可根據(jù)空域具體情況規(guī)劃大小，根據(jù)航空器型號(hào)對(duì)應(yīng)的法規(guī)或管制員的指令使用來(lái)確定。本實(shí)驗(yàn)對(duì)10 s后兩架飛機(jī)之間的碰撞概率進(jìn)行預(yù)測(cè)。

圖4給出了基于交互多模型(IMM)算法預(yù)測(cè)得到的STO航空器各飛行模型的碰撞概率。假設(shè)CV模型初始碰撞概率為0.8，CT模型初始碰撞概率為0.2。計(jì)算可知：從開始盤旋的50 s開始，進(jìn)入CT模型的碰撞概率逐漸增大；從開始盤旋的110 s開始，進(jìn)入CV模型的碰撞概率明顯增加。

圖4 預(yù)測(cè)兩航空器碰撞沖突概率

實(shí)驗(yàn)提出算法仿真預(yù)測(cè)的碰撞概率結(jié)果如圖5所示。實(shí)線表示時(shí)間T上的瞬時(shí)碰撞概率。點(diǎn)線是航空器在CV模型下，15 s后預(yù)測(cè)的碰撞概率。點(diǎn)線表示CT模型下預(yù)測(cè)所得，15 s后的碰撞概率。算法預(yù)測(cè)的碰撞概率隨時(shí)間變化，同時(shí)與實(shí)際的瞬時(shí)碰撞概率進(jìn)行比較。

圖5 預(yù)測(cè)所得兩機(jī)的沖突概率對(duì)比

由圖5可知，在轉(zhuǎn)彎前航空器處于勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，CT模型預(yù)測(cè)所得碰撞概率小于實(shí)際碰撞概率?？梢钥吹剑瑥霓D(zhuǎn)彎的15 s以后，利用CV模型和CT模型預(yù)測(cè)的碰撞概率大于實(shí)際碰撞概率。盤旋15 s后，隨著飛機(jī)的機(jī)動(dòng)飛行，多模型(IMM)算法的預(yù)測(cè)值與實(shí)際瞬間碰撞概率值在數(shù)值上大小較為接近，但多模型(IMM)算法預(yù)測(cè)存在10 s左右時(shí)延。從波形的擬合度來(lái)看，多模型(IMM)算法優(yōu)于CT模型，CT模型與CV模型預(yù)測(cè)效果相差不大。側(cè)面證明了本文提出的相互作用多模型(IMM)算法的有效性。

由表1可知,多模式交互算法與其他傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的均方誤差相比明顯降低。對(duì)比體現(xiàn)了多模型(IMM)算法性能優(yōu)于其他傳統(tǒng)模型。

表1 算法性能對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

基于多模型(IMM)算法，提出一種考慮航空器運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的兩航空器碰撞概率預(yù)測(cè)方法。碰撞概率計(jì)算創(chuàng)新采用了近似正態(tài)分布積分的方法。預(yù)測(cè)模型仿真中使用ADS-B數(shù)據(jù)格式對(duì)3種運(yùn)動(dòng)模型下的碰撞概率預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，證明了基于多模型可以明顯減少傳統(tǒng)基于單模型碰撞概率預(yù)測(cè)中的誤差。本文研究結(jié)果對(duì)ADS-B航跡下一定時(shí)延內(nèi)兩航空器沖突概率預(yù)測(cè)研究具有一定借鑒意義。