基于復移Morlet小波的光柵條紋圖像相位提取*

劉忠艷， 喬 付， 蘇澤青， 陳子韻

(嶺南師范學院 計算機與智能教育學院，廣東 湛江 524048)

0 引 言

面結(jié)構光三維測量技術廣泛應用于航空航天、汽車、模具制造、人體測量、工業(yè)產(chǎn)品檢測、3D打印等多種領域[1,2]。面結(jié)構光三維測量中，變形條紋的相位信息映射為物體表面的高度，因此相位信息的快速、精確獲取決定物體的三維測量速度及精度。目前，國內(nèi)外研究學者對結(jié)構光三維測量技術中相位提取方法進行深入研究，已有研究表明[3,4]，相位提取方法主要有基于單幀光柵條紋圖像的變換法和基于多幀光柵條紋圖像的相移法。相移法由于需要多幅光柵圖像，盡管精度較高，但速度較慢，不適合實時三維測量。單幀方法包括傅立葉變換法及連續(xù)小波變換法。

傅立葉變換法[5]丟失輸入信號的空間信息，盡管具有很好的頻域局部特性，也很難區(qū)分對于輸入信號中的頻率成分變化，適合處理平穩(wěn)的信號，測量精度低。連續(xù)小波變換法[6]由于同時提供輸入信號的時域頻域信息，而且具有良好的局部分析能力和多分辨率的特性，所以，連續(xù)小波變換法成為處理光柵條紋圖像的主流方法，也稱為小波變換輪廓術。

本文用復移Morlet小波作為連續(xù)小波變換母小波，給出復移Morlet小波參數(shù)帶寬fb和中心頻率fc的取值方法，驗證兩個參數(shù)對相位提取結(jié)果的影響，并與傳統(tǒng)的Morlet1-1.5作為母小波及傅立葉變換法提取相位進行比較。模擬和實驗結(jié)果表明，用本文的復移Morlet小波作為母小波的連續(xù)小波變換法提取相位效果更好。

1 相位提取原理

1.1 小波變換輪廓術

小波變換輪廓術測量系統(tǒng)原理圖如圖1所示，整個系統(tǒng)由1臺投影儀、1臺攝像機和1臺計算機組成，利用光學三角法原理，根據(jù)調(diào)制相位—物體表面高度的轉(zhuǎn)換關系，求得待測物體輪廓[1]。

圖1 小波變換輪廓術測量原理

根據(jù)參考文獻[1]，由三角形PCH和MNH相似，物體表面上的任意一點H的高度h為

(1)

式中 Δφ(x,y)=φ1(x,y)-φ0(x,y)為因待測物體表面高度調(diào)制而產(chǎn)生的相位差，因此，根據(jù)連續(xù)小波變換理論，要獲得物體表面的3D輪廓，只需計算變形光柵每一像素的相位，求得對應的相位差即可。

在小波變換輪廓術中，母小波的選擇是很重要的一步。假設小波ψ(x)∈L2(R)，即ψ(x)為平方可積函數(shù)，ψ(x)作為母小波要滿足下面的允許條件

(2)

小波ψ(x)經(jīng)過平移和伸縮變換得一系列子小波[7]

(3)

式中s為尺度參數(shù)，t為變換參數(shù)。

假設用小波ψ(x)對給定的信號f(x)進行連續(xù)小波變換獲得小波變換系數(shù)為

(4)

連續(xù)小波變換對光柵圖像相位的提取是通過確定小波變換的“脊”來實現(xiàn)的?！凹埂碧幍南辔患礊榇崛〉南辔弧！凹埂睘?/p>

ridge(t)=max|Wf(s,t)|

(5)

相位φ(t)為

(6)

式中 Real(Wf(s,t))為小波變換的實部，Imag(Wf(s,t))為小波變換的虛部。

1.2 基于復移Morlet小波相位提取

傳統(tǒng)的方法直接利用Morlet1-1.5作為母小波，代入式(4)，利用式(5)和式(6)計算出光柵圖像的相位，但沒有討論Morlet1-1.5之參數(shù)中心頻率fc和帶寬fb的取值，直接設fc=1.5,fb=1。實際上，這兩個參數(shù)的取值情況對條紋圖像的相位提取精度是有影響的。本文對這兩個參數(shù)給出了取值方法。

在時間域，復Morlet小波被定義為一個具有頻率fc的諧波乘以一個高斯時域窗

Ψ(x)=ce-σ2x2e-j2πfcx

(7)

其中,參數(shù)c>0，典型取值為[8]c=2σ/π。

根據(jù)參數(shù)c的值，Morlet小波的傅立葉變換[9]為

(8)

母小波Ψ(x)的伸縮，窗口的位置隨之移動，窗口的高度也變化，同時窗口的帶寬被修改。所以，不是伸縮，只是移動產(chǎn)生復移Morlet小波，復移Morlet小波的傅立葉變換如式(9)

(9)

中心頻率fc和帶寬fb可以同時變化，對于特定值fc和fb，時域里信號f(x)的小波系數(shù)通過式(10)可得

(10)

復移Morlet小波的參數(shù)之帶寬fb，根據(jù)最小香農(nóng)熵準則優(yōu)化帶寬fb,最小香農(nóng)熵準則：

假設{wi}i=1,…,M是一組小波系數(shù)，香農(nóng)熵計算如下

(11)

其中

(12)

香農(nóng)熵E由小波系數(shù)幅值矩陣中所有元素的集合計算，帶寬fb的值為一個區(qū)間。帶寬fb的最優(yōu)值為使得小波系數(shù)幅值矩陣中香農(nóng)熵E取得最小的值。

用復移Morlet小波作為母小波對光柵圖像I(x,y)進行連續(xù)小波變換

(13)

最大值法確定小波變換的“脊”，提取“脊”處相位。即可得到條紋圖像的包裹相位。

2 計算機模擬

為了驗證復移Morlet小波的相位提取效果，用MATLAB中的peaks()函數(shù)模擬一個大小512像素×512像素的相位分布為

I(x,y)=1+cos(2πf0x+φ(x,y))

φ(x,y)=peaks()

如圖2所示，相應的條紋圖像為

如圖3所示,取f0=1/16,a(x,y)=b(x,y)=1。

圖2 Peaks()函數(shù)相位分布

圖3 變形光柵條紋圖像

采用傳統(tǒng)的fc=1.5，fb=1，尺度及步長為1︰1︰64，的復移Morlet小波作為母小波，對條紋圖像3進行連續(xù)小波變換，利用最大值法提取“脊”，如圖4中的線所示。提取“脊”處的相位，條紋圖像的包裹相位如圖5所示，對包裹相位展開獲得連續(xù)相位、相位分布及相位誤差分布如圖6(a)和(b)所示。

圖4 小波變換的“脊”

圖5 fc=1.5,fb=1包裹相位圖

圖6 fc=1.5,fb=1連續(xù)小波變換

對上述條紋圖像的連續(xù)小波變換系數(shù)，根據(jù)最小香農(nóng)熵準則優(yōu)化帶寬fb，計算的fb≈0.7,fc≈1。利用fc=1，fb=0.7，尺度及步長為1︰1︰64的復移Morlet小波作為母小波，對圖3條紋圖像進行連續(xù)小波變換，獲得條紋圖像的包裹相位，展開獲得連續(xù)相位，相位分布及相位誤差分布如圖7(a),(b)所示。

圖7 fc=1,fb=0.7連續(xù)小波變換

對圖3進行傅立葉變換，獲得連續(xù)相位，相位分布及相位誤差分布如圖8(a)和(b)所示。

圖8 傅立葉變換

從圖6～圖8中的(b)誤差圖可見，由于復移Morlet小波具有良好的時頻局部特性和多分辨率特性，條紋圖像除了邊緣部分誤差較大，其余部分誤差都較小。連續(xù)小波變換展開的相位誤差明顯小于傅立葉變換展開的相位誤差。圖6(b)、圖7(b)顯示當fc=1,fb=0.7時誤差明顯小于fc=1.5,fb=1時的誤差。

3 實驗結(jié)果

實驗采用的面結(jié)構光三維測量設備如圖9所示。

圖9 面結(jié)構光測量設備

實驗的物體是用圖畫紙自己動手做了一個錐形物體，如圖10(a)所示。向錐形物體表面投射光柵，攝像機捕捉的光柵圖像如圖10(b)所示。為定量比較相位展開的效果，定義均方根誤差如式(14)

(14)

式中pi為相位展開后第i點的相位，p0i為原物體第i點的相位，M×N為圖像大小。

圖10 實際物體

首先采用fc=1.5，fb=1，尺度及步長為1︰1︰64的復移Morlet小波作為母小波，對采集的錐形物體的光柵圖像進行連續(xù)小波變換，提取的包裹相位如圖10(c)所示，對包裹相位展開得連續(xù)相位如圖10(d)所示。對上述連續(xù)小波變換系數(shù)，根據(jù)最小香農(nóng)熵準則優(yōu)化帶寬fb，計算得fb≈0.82，fc≈1.2。利用fc=1.2，fb=0.82，尺度及步長為1︰1︰64的復移Morlet小波作為母小波，對圖10(b)連續(xù)小波變換，提取條紋圖像的包裹相位，展開得到連續(xù)相位分布如圖10(e)所示。對圖10(b)實物條紋圖像進行傅立葉變換得到連續(xù)相位分布如圖10(f)所示。圖10(d)～(f)的均方根誤差分別為：0.713 5，0.497 3，1.543 2。從圖10(d)～(f)以及均方根誤差可見，連續(xù)小波變換展開相位效果明顯優(yōu)于傅里葉變換展開相位的效果，復移Morlet小波兩個參數(shù)fb≈0.72,fc≈1提取相位效果優(yōu)于fb≈1,fc≈1.5的效果。

4 結(jié) 論

采用復移Morlet小波作為母小波，對待測物體采集的變形光柵條紋圖像進行連續(xù)小波變換，提取光柵條紋圖像的包裹相位。給出了復移Morlet小波的fc和fb兩個參數(shù)的確定方法，并驗證了利用本文方法給出復移Morlet小波的fc和fb兩個參數(shù)的取值，對待測物體光柵條紋圖像的相位提取的影響。同時完成了本文方法確定的復移Morlet小波與傳統(tǒng)的Morlet1-1.5小波的連續(xù)變換及傅立葉變換等相位提取效果的對比。通過計算機模擬和實驗驗證，表明采用本文的復移Morlet小波作為母小波的連續(xù)小波變換提取條紋圖像的相位方法是適合的，魯棒性較好。