怎樣運(yùn)用正、余弦定理解答有關(guān)三角形的問(wèn)題

李小奎

正弦定理：= = =2R ;余弦定理：a2=b2+c2-2bc cosA，b2=c2+a2-2ca cosB，c2=a2+b2-2ab cos C（其中三角形ABC 的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c）.正、余弦定理在解答有關(guān)三角形問(wèn)題中應(yīng)用廣泛.下面結(jié)合實(shí)例來(lái)談一談如何運(yùn)用正、余弦定理解三角形、判斷三角形的形狀、求三角形的面積.

一、利用正、余弦定理解三角形

在解三角形問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要用到正、余弦定理.正弦定理一般可用于求解兩類解三角形問(wèn)題：（1）已知三角形的任意兩個(gè)角與一條邊，求其他兩條邊與另一個(gè)角;（2）已知三角形的任意兩邊與其中一條邊的對(duì)角，求其他的角與邊.余弦定理可用于求解兩類解三角形問(wèn)題：（1）已知三角形的三條邊，求三個(gè)角;（2）已知兩條邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個(gè)角.在運(yùn)用正余弦定理解題時(shí)，只需將已知的邊角或邊角關(guān)系代入兩個(gè)定理中，建立等量關(guān)系式，根據(jù)三角函數(shù)就能求得相應(yīng)的邊、角.

例1.在△ABC中，a，b，c 分別為內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊，若2 sinB = sinA + sin C，cosB = ，且 S△ABC =6，則 b =_____.

解：在△ABC 中，由正弦定理可得，2b =a +c，①由余弦定理可得，b2=a2+c2-2ac × =（a +c）2- ac，由 cosB =，得sinB =，故S△ABC = ac × =6，③由①②③得，b =4.

解答本題主要運(yùn)用了正余弦定理.已知的關(guān)系式2 sinB = sinA + sin C 中含有三個(gè)角的正弦函數(shù)，于是運(yùn)用正弦定理將角化為邊，建立與三條邊相關(guān)的關(guān)系式，然后根據(jù)余弦定理和三角形的面積公式建立另外兩個(gè)有關(guān)三條邊的關(guān)系式，通過(guò)解方程組求得b的長(zhǎng)度.

二、利用正、余弦定理判斷三角形的形狀

利用正、余弦定理判斷三角形的形狀有兩種思路：①利用正余弦定理將角化為邊，建立三角形的三條邊之間的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.若兩條邊相等，則該三角形為等腰三角形;若三條邊相等，則該三角形為等邊三角形，若 b2=c2+a2，則該三角形為直角三角形.②利用正余弦定理將邊化為角，通過(guò)三角恒等變換，建立關(guān)于三角形三個(gè)角之間的關(guān)系.若兩個(gè)角相等，則該三角形為等腰三角形;若三個(gè)角相等，則該三角形為等邊三角形，若其中一個(gè)角為90°，則該三角形為直角三角形.

例2.在△ABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，

若 = ，（b + c +a）（b +c -a）=3bc，則△ABC 的形狀

為（ ）.

A.直角三角形?? ??B.等腰非等邊三角形

C.等邊三角形?? ??D.鈍角三角形

解：∵ = ，∴ = ，∴ b =c.

又（b +c +a）（b +c -a）=3bc，

∴b2+c2-a2=bc，∴ cosA = = = .∵ A∈（0， π），∴ A =，∴△ABC 是等邊三角形.

我們先根據(jù)正弦定理將角的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式，明確了b、c 之間的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求得角A 的大小，從而證明該三角形為等邊三角形.在判斷三角形的過(guò)程中，同學(xué)們要注意挖掘“三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180°”以及“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”的隱含信息.

三、利用正、余弦定理求三角形的面積

我們知道三角形的面積公式為 S = ab sin C ，該公式不僅涉及了三角形的內(nèi)角，還涉及了三角形的兩條邊.因此在求三角形的面積時(shí)，我們可靈活運(yùn)用正弦定理求得三角形內(nèi)角的正弦值，根據(jù)余弦定理求得三角形兩條邊及其關(guān)系式，這樣便可快速求得三角形的面積.

例3.已知?ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別

為 a，b，c，若 b =6，a =2c，B = ，求?ABC 的面積.

解：由余弦定理得：b2=c2+a2-2ac cosB ，

∵ b =6， a =2c，B = ，

∴36=4c2+c2-2×2c2× ，∴ c =2 ， a =4 ，

∴S?ABC = ac sinB = ×4 ×2 ×=6 .

解答本題，需先根據(jù)余弦定理和已知條件求得邊 a、c 的值，然后根據(jù)三角形的面積公式求得三角形的面積.

正、余弦定理是解答與三角形相關(guān)問(wèn)題的重要“工具”，因此同學(xué)們要熟練掌握正余弦定理及其本質(zhì)，根據(jù)解題的需求，合理地進(jìn)行邊角互化.一般地，若已知的角較多，可選用正弦定理來(lái)解題;若已知的邊較多，則需用余弦定理求解.

（作者單位：甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣第二中學(xué)）