建系有法可依 立幾有章可循
——向量建系法在立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

顧予恒, 盧成嫻

(杭州第二中學(xué)錢江學(xué)校，浙江 杭州 311215)

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，主要考查學(xué)生的直觀想象和邏輯推理的素養(yǎng)．空間向量法的引入，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，可以借助向量的運(yùn)算，程序化地“算出”幾何的結(jié)果，減少了復(fù)雜的思維和推理過(guò)程，為空間感較弱的學(xué)生提供了“救命稻草”，因此備受師生們的青睞，建系已經(jīng)成為解決立體幾何問(wèn)題的一種常用方法[1]．

但在日常教學(xué)中，很多教師往往更多關(guān)注于各種求證與求值公式的運(yùn)用，而忽略了問(wèn)題的第一步：建系、設(shè)點(diǎn)．事實(shí)上，在很多試卷中出現(xiàn)了不易建系的題目，讓學(xué)生措手不及．學(xué)生把各解題公式背得滾瓜爛熟，哪知第一步建系都建不對(duì)．答案中的第一步“如圖，建系設(shè)點(diǎn)……”真的是顯然嗎？可以說(shuō)，建系設(shè)點(diǎn)是向量法解決立體幾何問(wèn)題中蘊(yùn)涵幾何味的關(guān)鍵所在，也是學(xué)生運(yùn)用向量法的難點(diǎn)．

與平面坐標(biāo)系相比，空間坐標(biāo)系將二維平面推廣到三維空間，二者最大的差別是z軸，因此，z軸是關(guān)鍵．縱觀2021年各省市地區(qū)高考試題中的立體幾何問(wèn)題，圖形雖然紛繁多樣，但從空間向量法的角度來(lái)看，最主要的差別是如何建系．本文以2021年的數(shù)學(xué)高考真題為例，從“建z軸”的角度整理了幾種不同類型的建系方法，供大家參考．

1 常見(jiàn)立體幾何建系類型

類型1線面垂直“定”z軸.

這一類型最簡(jiǎn)單，其特點(diǎn)是題干給出“線面垂直”這一條件．在建系時(shí)，一般選擇垂直于底面的這條線(或這條線的平行線)作為z軸，然后建立合適的x,y軸．

圖1

例1如圖1，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M是BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM．

1)求BC；

2)求二面角A-PM-B的正弦值．

(2021年全國(guó)數(shù)學(xué)高考乙卷理科試題第18題)

分析由于本題題干中出現(xiàn)了“PD⊥面ABCD”這一條件，因此可以直接選擇PD作為z軸．又因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所以可以選擇以點(diǎn)D為原點(diǎn)、以DA,DC,DP為x,y,z軸建系．

類型2面面垂直“作”z軸.

這一類型的特點(diǎn)是題干給出“面面垂直”這一條件．在建系時(shí)，一般根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，在垂直于底面的側(cè)面上作一條直線垂直兩面的交線，則所作的直線與底面垂直，即這條直線可以作為z軸．

圖2

例2如圖2，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn)．

1)證明：OA⊥CD；

2)若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積．

(2021年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ試題第20題)

分析由題干可知AB=AD，又O為BD的中點(diǎn)，從而AO⊥BD．因?yàn)槊鍭BD⊥面BCD，面ABD∩面BCD=BD，所以AO⊥面BCD．因此，AO即為要作的z軸．另外根據(jù)第2)小題知，需在底面BCD內(nèi)另作一條與OD垂直的直線作為x軸．因此，以O(shè)為原點(diǎn)建系(如圖2)．

類型3底面垂直“造”z軸.

這一類型的特點(diǎn)是根據(jù)題干所給條件，找不到面或線垂直底面．在建系時(shí)，一般選擇底面上互相垂直的兩條直線作為x，y軸，另外“造”一條底面的垂線作為z軸．

1)證明：AB⊥PM；

2)求直線AN與平面PDM所成角的正弦值．

(2021年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第19題)

方法1由題干條件可知底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=60°，CD=AB=1，CM=2，從而CD⊥DM．

圖3

因?yàn)闆](méi)有現(xiàn)成的直線與底面ABCD垂直,所以以點(diǎn)D為原點(diǎn)、以DM,DC為x,y軸，過(guò)點(diǎn)D作z軸垂直底面ABCD建系(如圖3)．

由于z軸是單獨(dú)“造”出來(lái)的，因此幾何體中部分點(diǎn)的坐標(biāo)不能直接“讀”出．如點(diǎn)P，我們可以先設(shè)坐標(biāo)，再通過(guò)運(yùn)算“求”出．

由此可見(jiàn)，對(duì)于坐標(biāo)不易直接“讀”出的點(diǎn)，我們可以先設(shè)其坐標(biāo)．坐標(biāo)中的這n個(gè)未知數(shù)，可以通過(guò)尋找與該點(diǎn)相關(guān)的n個(gè)條件，對(duì)應(yīng)建立n個(gè)方程，從而算出點(diǎn)的坐標(biāo)．

事實(shí)上，除了直接“造”z軸外，若對(duì)幾何體進(jìn)一步分析可知PM⊥面ABCD．第1)小題在善意地提醒考生有線面垂直，可將此題轉(zhuǎn)化為類型1：線面垂直定PM為z軸．因此，有時(shí)題干中不直接出現(xiàn)垂直，但要證明的結(jié)論里隱藏著垂直，對(duì)解題有很好的啟示作用．

圖4

對(duì)比上述兩種方法可知：方法1重在程序化的運(yùn)算；若能數(shù)形結(jié)合，通過(guò)幾何分析找到垂直和數(shù)量關(guān)系，則采用方法2可以大幅降低運(yùn)算量．這恰恰是本題的魅力所在，不偏不倚，無(wú)論建系法還是幾何法都沒(méi)有太占便宜．想得多一點(diǎn)就可以算得少一點(diǎn)，想得少一點(diǎn)就要算得多一點(diǎn)．

線面垂直定z軸、面面垂直作z軸、底面垂直造z軸，這3種建系類型為解決立體幾何問(wèn)題提供了有效法則．下面以近5年浙江省高考立體幾何大題為例，梳理以上3種建系法的應(yīng)用，如表1所示．

表1 2016—2020年高考浙江卷中3種建系方法的應(yīng)用情況

由表1可知，3種建系方法在前5年浙江省高考立體幾何解答題中均有所應(yīng)用，其中應(yīng)用較多的還是“面面垂直作z軸”．由此可見(jiàn)，利用面面垂直的性質(zhì)定理作垂線是浙江省數(shù)學(xué)高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題．

2 向量建系法在翻折問(wèn)題中的應(yīng)用

立體幾何問(wèn)題首先要依托于幾何體，幾何體的構(gòu)建方式主要有兩種：切割與翻折．上述的討論均是在切割體(主要是從長(zhǎng)方體中切割而來(lái)的多面體)中的應(yīng)用．那么，對(duì)于翻折問(wèn)題，這3種建系方法是否依然適用呢？答案是肯定的！

下面通過(guò)一道例題簡(jiǎn)單介紹空間向量法在翻折問(wèn)題中的應(yīng)用．

例4已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，M,N為AB,AC的中點(diǎn)，如圖5，沿MN將△AMN折起.當(dāng)直線AB與平面BCNM所成的角最大時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度為

( )

分析翻折是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，本題中點(diǎn)A是圖形真正變化的元素．由于沒(méi)有現(xiàn)成的垂直，因此在建系時(shí)，采用類型3，需要另外單獨(dú)“造”z軸．在設(shè)點(diǎn)時(shí)，可以選取翻折角度(設(shè)為θ)為變量．

圖5 圖6

解因?yàn)榈冗叀鰽BC是對(duì)稱圖形，所以取MN和BC的中點(diǎn)E,F，聯(lián)結(jié)EF，則MN⊥EF．以E為坐標(biāo)原點(diǎn)、分別以EM,EF所在直線為x,y軸，過(guò)點(diǎn)E作z軸⊥底面MBCN建系(如圖6)．

設(shè)直線AB與平面BCNM所成的角為α，則

例4是將等邊三角形沿著中位線進(jìn)行翻折，如果改為正方形沿著對(duì)角線翻折，就變成了2021年1月的浙江學(xué)考題．

圖7

變式1如圖7，在三棱錐D-ABC中，AB=BC=CD=DA，∠ABC=90°,E,F,O分別是棱BC，DA，AC的中點(diǎn).記直線EF與平面BOD所成角為θ，則θ的取值范圍是

( )

(2021年1月浙江省數(shù)學(xué)學(xué)考試題第18題)

分析雖然題干條件中并未出現(xiàn)“翻折”二字，但事實(shí)上，此題中點(diǎn)D的位置是不確定的．若以動(dòng)態(tài)視角來(lái)看，這個(gè)幾何體可以看做是一個(gè)正方形沿著對(duì)角線AC翻折得到．隨著翻折角度的變化，θ也跟著變化．由此可見(jiàn)，這是一道經(jīng)過(guò)“包裝”的翻折問(wèn)題．

圖8

A(0,-1,0),D(cosα,0,sinα),

3 向量建系法在幾何命題中的應(yīng)用

由此，我們發(fā)現(xiàn)用建系法解決翻折問(wèn)題，一般都可以通過(guò)“造”z軸建立坐標(biāo)系，以翻折因素(如角度、長(zhǎng)度)為變量設(shè)點(diǎn)，實(shí)質(zhì)就是通過(guò)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)．抓住了這個(gè)核心方法，我們還可以利用建系法來(lái)構(gòu)造幾何體[2]．

例如，我們對(duì)變式1進(jìn)一步改編，可構(gòu)造新的幾何體．為了讓幾何體更加新穎，可以將變式1中的底面Rt△ABC改為直角梯形ABCD．設(shè)△PAD為等腰直角三角形，AP⊥PD，CD⊥AD，AD=2DC=2BC=2(如圖9)．為了加大難度，可以選擇△PAD沿著AD翻折60°時(shí)的情況，一旦翻折到位，這個(gè)幾何體就是一個(gè)確定的幾何體，此時(shí)可以通過(guò)建系法確定點(diǎn)P的位置．我們還可以通過(guò)“包裝”，隱去“翻折60°”的條件．通過(guò)計(jì)算可知當(dāng)翻折60°時(shí)，棱長(zhǎng)PC恰好為2，故可以用PC=2作為條件來(lái)代替．這樣，一道立體幾何題的幾何體就構(gòu)造完成了．

圖9 圖10

變式2如圖9，在四棱錐P-ABCD中，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2BC=2．

命題角度1建系設(shè)點(diǎn)定圖形.

命題1請(qǐng)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，并寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo).

分析由題干可知，此題需要單獨(dú)“造”z軸．注意到底面ABCD中有CD⊥AD，因此可取點(diǎn)D為原點(diǎn)、以DA，DC為x，y軸，再確定z軸建系．

解得

故

為了使幾何體元素更加豐富，我們可以增加點(diǎn)和直線，如取PD的中點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CE．基于這一圖形，我們可以從證明平行垂直、求空間角、計(jì)算距離等角度編制問(wèn)題．

命題角度2平行垂直“算”證明.

命題2證明：CE∥平面PAB．

命題角度3公式得出線線角.

命題3求異面直線AB與PD所成角的余弦值.

命題角度4公式求解線面角.

命題4求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

命題角度5公式計(jì)算二面角.

命題5求二面角P-AD-B.

命題6求二面角A-PB-C的余弦值.

命題角度6各有妙招求距離.

命題7求點(diǎn)E到直線AB的距離.

命題8求點(diǎn)E到平面PBC的距離.

命題9求直線CE與平面PAB間的距離.

命題10定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值．請(qǐng)用這一定義，求直線AB與PD之間的距離．

命題角度7空間向量的問(wèn)題.

事實(shí)上，這些命題與條件“PC=2”是等價(jià)的，只要將其中任何一個(gè)命題作為條件，這個(gè)四棱錐就唯一確定，也就可以推導(dǎo)出其他10個(gè)命題．2017年浙江省數(shù)學(xué)高考立體幾何解答題就是以本題題干為背景，上述命題2與命題4即為高考原題．

4 結(jié)束語(yǔ)

由上述分析可知，無(wú)論是切割模型還是翻折模型，空間向量法可以說(shuō)是一種“萬(wàn)能”的解法．它的本質(zhì)是方程思想，通過(guò)坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題．日常教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注本質(zhì)，不僅要會(huì)算，更要知其然而知其所以然[3]．本文總結(jié)的3種類型就是讓建系設(shè)點(diǎn)“有法可依”，讓立體幾何難題“有章可循”，能有效彌補(bǔ)部分學(xué)生空間想象能力的不足，對(duì)廣大學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)“福音”．