一道高考題引發(fā)的思考

董雙雙

(常平中學(xué)，廣東 東莞 523000)

涉及構(gòu)造函數(shù)的題目在近幾年的數(shù)學(xué)高考中反復(fù)出現(xiàn)，是一個(gè)?？键c(diǎn).這種類(lèi)型的題目經(jīng)常和導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、比較大小、不等式問(wèn)題等結(jié)合起來(lái)，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高.要解決這類(lèi)問(wèn)題，首先要掌握常見(jiàn)的構(gòu)造函數(shù)的方法，學(xué)會(huì)舉一反三，靈活變通，然后借助常用的數(shù)學(xué)方法，對(duì)構(gòu)造出來(lái)的函數(shù)進(jìn)行研究討論，最后達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

1 試題引入

( )

A.a

C.b

(2021年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第12題)

1.1 試題分析

函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸是高中數(shù)學(xué)思想中重要的兩大思想方法，而構(gòu)造函數(shù)的解題思路恰好是這兩種思想方法的良好表現(xiàn).本題處于整卷的第12題，在選擇題的壓軸位置，難度較大.通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)：a和b是底數(shù)相同的對(duì)數(shù)式，易于比較大小，難點(diǎn)在于a與c、b與c的比較.如果能夠巧妙地構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，并通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題，那么本題就簡(jiǎn)單很多.在高考中，要想在短時(shí)間內(nèi)既快又準(zhǔn)地構(gòu)造出合適的函數(shù)，并且能通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，難度較大.

1.2 解題方法探究

解因?yàn)閍=2ln 1.01=ln 1.012=ln(1+0.01)2

=ln(1+2×0.01+0.012)>ln 1.02=b，

所以b

f(0)=0，

因?yàn)?+4x-(1+x)2=2x-x2=x(2-x),所以當(dāng)0

1+4x-(1+x)2>0，

即

從而

f′(x)>0，

于是f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，故

f(0.01)>f(0)=0，

即

亦即

a>c.

g(0)=0，

由于1+4x-(1+2x)2=-4x2，當(dāng)x>0時(shí)，

1+4x-(1+2x)2<0，

從而g′(x)<0，即函數(shù)g(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，因此

g(0.01)

即

亦即

b

綜上所述，b

評(píng)注利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對(duì)a，b的大小做出判定，對(duì)于同上的大小關(guān)系，可以將0.01換成x，分別構(gòu)造函數(shù)

利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0，g(0)=0即可得出a與c、b與c的大小關(guān)系.

以上是將不等式問(wèn)題通過(guò)構(gòu)造函數(shù)求解，解題思路較為簡(jiǎn)單.構(gòu)造函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常見(jiàn)的解題方法，那么常見(jiàn)的構(gòu)造函數(shù)方法有哪些呢？

2 探究常見(jiàn)的構(gòu)造函數(shù)的思路與技巧

構(gòu)造函數(shù)一直是高考的?？键c(diǎn)之一，要想在高考中既快又準(zhǔn)地解決問(wèn)題，必須將構(gòu)造函數(shù)的題型系統(tǒng)化.下面選取了幾類(lèi)高考中較為常見(jiàn)的構(gòu)造函數(shù)的題型，供大家思考和反思.

2.1 作差構(gòu)造函數(shù)

作差構(gòu)造法是處理函數(shù)問(wèn)題最基本、最常用的方法，此法一般通過(guò)構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為F(x)min≥0或F(x)max≤0，從而通過(guò)求函數(shù)的最值解決問(wèn)題.

證明先證ln(1+x)≤x.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x，定義域?yàn)?-1,+∞)，求導(dǎo)得

當(dāng)-10，即f(x)在(-1，0)上單調(diào)遞增；當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)<0，即f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減.因此，x=0是f(x)唯一的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).

當(dāng)x>-1時(shí)，

f(x)≤f(0)=0，

即

ln(1+x)-x≤0，

亦即

ln(1+x)≤x.

當(dāng)-10時(shí)，g′(x)>0，即g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.因此，x=0是g(x)唯一的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).當(dāng)x>-1時(shí)，

g(x)≥g(0)=0，

即

故

評(píng)注作差法是常用的證明不等式的函數(shù)構(gòu)造方法.這種方法經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)、不等式的性質(zhì)相結(jié)合，主要步驟有3個(gè)：一作差，二變形構(gòu)造，三判斷，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)并研究其性質(zhì).這種題型思路簡(jiǎn)單明了，易于掌握，是構(gòu)造函數(shù)的基礎(chǔ)題型.

2.2 利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則構(gòu)造函數(shù)

例3已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)<-f′(x)，則下列式子成立的是

( )

A.f(2 020)>ef(2 021)

B.f(2 020)

B.ef(2 020)>f(2 021)

D.ef(2 020)

解設(shè)g(x)=exf(x)，求導(dǎo)得

g′(x)=exf(x)+exf′(x)=ex[f(x)+f′(x)].

因?yàn)閒(x)<-f′(x)，即

f(x)+f′(x)<0，

所以

g′(x)<0，

從而g(x)在R上是減函數(shù).因此，

g(2 020)>g(2 021)，

即

e2 020f(2 020)>e2 021f(2 021)，

變形可得

f(2 020)>ef(2 021).

故選A.

評(píng)注這是一道典型的運(yùn)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則構(gòu)造函數(shù)的題目.由f(x)+f′(x)<0可以構(gòu)造函數(shù)g(x)=exf(x)，再通過(guò)求導(dǎo)研究新函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小.

導(dǎo)數(shù)構(gòu)造法是近幾年高考函數(shù)應(yīng)用中常見(jiàn)的解題方法，也是解決抽象不等式問(wèn)題的基本方法之一.我們可以通過(guò)對(duì)不等式的觀察研究和深入思考構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，再研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性和奇偶性等，從而解決問(wèn)題[1].雖然此類(lèi)題目變化多樣，但也是有一定的規(guī)律可循的.可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，將其歸納為構(gòu)造和差型、乘積型、作商型、指數(shù)型等函數(shù)，具體總結(jié)歸納如下：

1)若f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，則構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)g(x);

2)若f′(x)±g′(x)>0，則構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)±g(x)；

3)若f′(x)+f(x)>0，則構(gòu)造函數(shù)F(x)=exf(x)；

5)若xf′(x)+nf(x)>0，則構(gòu)造函數(shù)F(x)=xnf(x)；

變式1定義在R上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)>2f(x)，則下列不等式關(guān)系正確的是

( )

A.e2f(-2)4f(0)

因?yàn)閒′(x)>2f(x)，所以g′(x)>0，從而g(x)在R上單調(diào)遞增，于是

g(-2)g(0)，

即

亦即

e2f(-2)4f(0),

故選項(xiàng)A，B，C正確.

2.3 利用左右形式相當(dāng)同構(gòu)函數(shù)

例4若2a+log2a=4b+2log4b，則

( )

A.a>2bB．a(chǎn)<2bC．a(chǎn)>b2D．a(chǎn)

(2020年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷理科試題第12題)

解由2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b,可設(shè)f(x)=2x+log2x，則f(x)為增函數(shù)，且

f(a)-f(2b)=2a+log2a-(22b+log22b)

=22b+log2b-(22b+log22b)

即

f(a)

于是

a<2b.

故選B.

評(píng)注例4來(lái)自2020年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷理科試題第12題.這種題型的一般形式是一個(gè)式子中含有兩個(gè)變量，通過(guò)適當(dāng)變形后，兩邊的結(jié)構(gòu)相同，可以取左或取右構(gòu)造函數(shù)，我們把這種題型叫做同構(gòu)函數(shù)題型.同構(gòu)函數(shù)在近幾年的高考題中出現(xiàn)較多，要引起重視.

變式2已知函數(shù)f(x)=x(x-lnx).

1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2021年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第22題)

評(píng)注很明顯這道全國(guó)卷壓軸題的第2)小題考查了同構(gòu)函數(shù).由blna-alnb=a-b，變形為

b(lna+1)=a(lnb+1)，

即

可以構(gòu)造函數(shù)f(x)=x(1-lnx)，得

再將此題轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移問(wèn)題求解，在此就不再贅述.

近兩年高考中同構(gòu)函數(shù)的題目反復(fù)出現(xiàn)，而且多在選擇題和解答題壓軸題的位置，一般難度較大，綜合性強(qiáng)，學(xué)生得分較難.為此，在備考過(guò)程中要緊扣教材，掌握函數(shù)中常見(jiàn)的解題方法，并學(xué)會(huì)將各種方法融會(huì)貫通，舉一反三，這樣才能在高考大戰(zhàn)中做到游刃有余，立于不敗之地！

2.4 將雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化成單變量問(wèn)題構(gòu)造函數(shù)

對(duì)于題目中涉及兩個(gè)變量的問(wèn)題，我們可以通過(guò)題目中的已知條件，將兩個(gè)變量的和、差、商作為一個(gè)新整體設(shè)為新變量，構(gòu)建一個(gè)關(guān)于新變量的函數(shù)，再研究新函數(shù)的性質(zhì)從而解決問(wèn)題，這樣可以把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

證明不妨設(shè)x1

f(x1)=0，f(x2)=0，

即

兩式相減,得

從而

要證

x1+x2+2>2ax1x2,

只需證

即

亦即

所以h(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，故

h(t)>h(1)=0，

得證.

評(píng)注本題中兩個(gè)變量x1,x2，再加上參數(shù)a，3個(gè)變量鼎立，令人心煩，但是三者又有兩個(gè)方程，雖不能解之，但通過(guò)兩個(gè)方程可以得到三者之間的關(guān)系.利用這個(gè)橋梁關(guān)系進(jìn)行合理消元進(jìn)而化為一元函數(shù)式，再構(gòu)造函數(shù)求解.消元和化元其實(shí)就是一個(gè)化繁為簡(jiǎn)的過(guò)程，印證了我們的教學(xué)理念“將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化”.除此之外，在其他二元問(wèn)題上，我們也可以嘗試通過(guò)消元構(gòu)造函數(shù)或者三角換元，化為一元[2].

變式3若x,y是實(shí)數(shù)，且x2-xy+y2=1，求x+2y的取值范圍.

分析由x2-xy+y2=1可聯(lián)想到sin2θ+cos2θ=1，然后用三角換元構(gòu)造一個(gè)新的三角函數(shù)，再進(jìn)行求解.

解題中的等式可以化為

3 小結(jié)

構(gòu)造函數(shù)是近幾年高考中的一個(gè)熱門(mén)考點(diǎn).本文以一道高考題為引例，思考并歸納了幾種常見(jiàn)的構(gòu)造函數(shù)的方法，如作差構(gòu)造函數(shù)、導(dǎo)數(shù)法則構(gòu)造函數(shù)、同構(gòu)函數(shù)、化雙變量為單變量構(gòu)造函數(shù)等，思考將不等式問(wèn)題、抽象函數(shù)問(wèn)題、雙變量問(wèn)題等轉(zhuǎn)化成常規(guī)的函數(shù)問(wèn)題，并利用函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.在高考備考過(guò)程中，我們應(yīng)該將重點(diǎn)放在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、推理能力以及化歸與轉(zhuǎn)化的能力上，從而使學(xué)生能舉一反三，并將這些數(shù)學(xué)思想融會(huì)貫通，以后遇到復(fù)雜的問(wèn)題更能懂得如何解決和處理，從而實(shí)現(xiàn)真正的素質(zhì)教育[3].