水錘效應(yīng)
——2021年亞洲物理競(jìng)賽理論第一題

陳倉(cāng)佚 吳 波 宋 峰

(1.成都天府第七中學(xué) 610218；2.南開(kāi)大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院 300071)

本題研究管道中的流體因?yàn)閴毫Σㄒ鸬膲簭?qiáng)變化，主要處理由于快速和慢速關(guān)閉管道中閥門(mén)導(dǎo)致的水錘效應(yīng)。

為簡(jiǎn)化計(jì)算，要求只考慮非黏性流體的一維流動(dòng)。所有管道及閥門(mén)都看成是剛性的，但流體是可壓縮的。體積為V0的流體單元在壓強(qiáng)P0作用下處于平衡狀態(tài)，如果壓強(qiáng)改變量為ΔP,則體積改變量ΔV與ΔP成正比，表示為

比例系數(shù)B表示液體的體積模量。對(duì)于水，密度為ρ0=1.0×103kg/m3，體積模量為B=2.2 GPa。

A部分：壓強(qiáng)變化和壓強(qiáng)波傳播

在長(zhǎng)度為L(zhǎng)均勻圓柱形管道中，水沿著x軸正方向穩(wěn)定流動(dòng)，水平方向速度為v0，密度為ρ0，壓強(qiáng)為P0。如圖1所示，管道與儲(chǔ)液器相連，離水面深度為h，儲(chǔ)液器與大氣相通，大氣壓強(qiáng)記為Pa。

圖1 均勻管內(nèi)的穩(wěn)定液體流動(dòng)

假設(shè)位于管道末端的流量控制閥T瞬間關(guān)閉，閥門(mén)附近將要流出管道的液體會(huì)承受壓強(qiáng)的變化ΔPs≡P1-P0和速度的變化Δv=v1-v0(v1≤0)。這會(huì)引起壓強(qiáng)變化ΔPs通過(guò)縱波的形式以傳播速度c沿x軸負(fù)方向傳播。

問(wèn)題A.1壓強(qiáng)變化ΔPs與速度的改變量Δv的關(guān)系可表示為ΔPs=αρ0cΔv。壓強(qiáng)波的傳播速度為。試求出α，β和γ。(1.6分)

問(wèn)題A.2 在水流速度v0=4.0 m/s，v1=0 條件下，計(jì)算壓強(qiáng)波的速度c和ΔPs的大小。(0.6分)

B部分：流量控制閥模型

圖2 為液體流經(jīng)流量控制閥T 時(shí)的物理模型?？刂崎y門(mén)靠近管道的A 端，長(zhǎng)度為ΔL，內(nèi)半徑為R。閥門(mén)錐形出口的半徑為r，與大氣相通，大氣壓強(qiáng)為Pa。重力對(duì)射流的影響可以忽略。

液體被認(rèn)為是不可壓縮的，閥門(mén)入口處的穩(wěn)定流動(dòng)的液體速度為vin，壓強(qiáng)為Pin，密度為ρ0。圖2中，畫(huà)出的流線(xiàn)及其法線(xiàn)，只是為了幫助看清流動(dòng)圖樣。

圖2 閥門(mén)尺寸和噴射口的收縮示意圖

流體離開(kāi)閥門(mén)進(jìn)入大氣后，流體的橫截面將收縮直到達(dá)到最小值，此時(shí)流線(xiàn)將再次平行。在這個(gè)最小值處，流體速度為vC，流體橫截面半徑為。CC被稱(chēng)為收縮系數(shù)，由閥門(mén)的內(nèi)半徑與錐形孔洞半徑的比值r/R以及錐角大小β決定，見(jiàn)表1。

表1 噴射口孔洞的收縮系數(shù)

問(wèn)題B.1 求出當(dāng)閥門(mén)入口處流線(xiàn)平行時(shí)的ΔPin=Pin-Pa，用ρ0，vin,r，R,和CC表示。(1.0分)

本題目C和D部分，對(duì)于圖1所示的儲(chǔ)液器-管道系統(tǒng)，有如下假設(shè)條件：

(1)傳播速度c和液體密度ρ0是與流速無(wú)關(guān)的常數(shù)。環(huán)境大氣壓Pa和重力加速度g為常數(shù)。

(2)最初閥門(mén)完全打開(kāi)，管道中的流體穩(wěn)定，其壓強(qiáng)為P0，流速為v0。

(3)圖1 和圖2 所示的管道長(zhǎng)度為L(zhǎng)，半徑為R。閥門(mén)T 是一個(gè)半徑r可變的圓形開(kāi)口，錐角β=90°。閥門(mén)的長(zhǎng)度ΔL可忽略不計(jì)，閥門(mén)入口緊挨管道的A端。重力對(duì)射流的影響可以忽略。

(4)儲(chǔ)液器中的液體是準(zhǔn)靜態(tài)的，因此其靠近管道入口B的壓力Ph保持恒定。管道中的流體壓力變化可以忽略，因此整個(gè)管道中的液體流動(dòng)是一維的。

C 部分：流量控制閥快速關(guān)閉引起的水錘效應(yīng)

對(duì)于圖1中所示的儲(chǔ)液器-管道系統(tǒng)，當(dāng)管道中的液體流動(dòng)被完全或部分關(guān)閉的閥門(mén)阻塞時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生向上游傳播的壓強(qiáng)波。壓強(qiáng)波在管道末端碰到儲(chǔ)液器后將向閥門(mén)反射，并在閥門(mén)端再次反射形成另一個(gè)壓強(qiáng)波。以上過(guò)程不斷重復(fù)，從而導(dǎo)致閥門(mén)附近的液體產(chǎn)生一系列的壓強(qiáng)大小的突變，這個(gè)現(xiàn)象稱(chēng)為水錘。

問(wèn)題C.1參考圖1和圖2，當(dāng)閥門(mén)T完全打開(kāi)(r=R)時(shí)，求出管道內(nèi)穩(wěn)定流體的壓強(qiáng)P0和速度v0。用ρ0，g，h和Pa表示。(0.6分)

問(wèn)題C.2 考慮與問(wèn)題C.1 中具有相同壓強(qiáng)P0和速度v0的穩(wěn)定流體。在t=0 時(shí)，閥門(mén)立即關(guān)閉(r=0)。壓強(qiáng)波以傳播速度c朝著儲(chǔ)液器移動(dòng)。管道B端的壓強(qiáng)為Ph=P0+ρ0gh，令τ=2L/c。當(dāng)時(shí)間t非常接近τ/2和τ時(shí)，管道內(nèi)流體壓強(qiáng)P(t)和流速v(t)是多少？(1.2分)

D 部分：流量控制閥緩慢關(guān)閉引起的水擊效應(yīng)

再次考慮與問(wèn)題C.1中具有相同壓強(qiáng)P0和速度v0的穩(wěn)定流體。緩慢關(guān)閉閥門(mén)，并采用有限步方法模擬關(guān)閉過(guò)程。

從時(shí)間t=0 開(kāi)始，閥門(mén)半徑r的瞬時(shí)縮減量按時(shí)間間隔τ=2L/c依次給出(表2)。每次半徑減小后，閥門(mén)區(qū)域內(nèi)的流動(dòng)可被近似為立即穩(wěn)定，與B部分所示情況相同。此時(shí)閥門(mén)處的壓強(qiáng)和速度與管道中其他流體的不同。

表2給出閥門(mén)每個(gè)關(guān)閉步驟n的持續(xù)時(shí)間和閥門(mén)開(kāi)口的半徑rn，并且給出閥門(mén)處相應(yīng)時(shí)刻的流體壓強(qiáng)Pn和流動(dòng)速度vn。

表2 閥門(mén)關(guān)閉步驟

液體密度ρ0和壓強(qiáng)波傳播速度c均看作常數(shù)。步驟n=0、1、2、3、4，壓強(qiáng)改變量為ΔPn=Pn-P0，速度改變量為Δvn=vn-v0，Ph與P0近似相等(Ph=P0)。

問(wèn)題D.1 求出ΔPn/(ρ0c)的表達(dá)式，用ΔPn-1/(ρ0c),vn-1和vn，該表達(dá)式應(yīng)適用于表2 中所有n>0 的關(guān)閉步驟。對(duì)于n=1、2、3，在vn-1和ΔPn-1/(ρ0c)都已知的情況下，求出能夠計(jì)算vn的表達(dá)式。(3分)

問(wèn)題D.2 根據(jù)問(wèn)題D.1 的結(jié)果，取水流的速度v0=4.0 m/s，繪制出所有的ΔP-ρ0cv圖。對(duì)于所有的關(guān)閉步驟n=1、2、3、4，給出所畫(huà)直線(xiàn)和曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)給出ρ0cvn和ΔPn的值，同時(shí)在圖中標(biāo)出每個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)(ρ0cvn,ΔPn)所對(duì)應(yīng)的n的值。從圖中估算n=1、2、3、4時(shí)ρ0cvn和ΔPn的值(均以MPa為單位)。

賽題背景

流體沿壓力管道(如輸油、輸水等管道)流動(dòng)時(shí)，若突然關(guān)閉或開(kāi)啟閥門(mén)、或者水泵突然停機(jī)或啟動(dòng)，流體流動(dòng)速度將發(fā)生突然變化；同時(shí)由于流體慣性和可壓縮性，流體壓強(qiáng)將產(chǎn)生劇烈的周期性變化，此現(xiàn)象被稱(chēng)為水擊或水錘(Water-Hammer Effect)。發(fā)生水擊現(xiàn)象時(shí)，管道內(nèi)壓強(qiáng)波動(dòng)可能達(dá)到額定工作壓強(qiáng)的幾十倍甚至幾百倍，管壁及管道上的設(shè)備及附件將承受很大的高頻交變壓力，產(chǎn)生劇烈振動(dòng)并發(fā)出猶如錘擊的聲音。該交變壓力可能造成閥門(mén)破壞、管件接頭破裂、斷開(kāi)，甚至管道炸裂等重大事故。因此壓力管道中水擊現(xiàn)象的危害及防治研究是一項(xiàng)重要的工業(yè)工程問(wèn)題①-②。

本題即以水擊效應(yīng)為背景，討論壓力管道閥門(mén)關(guān)閉時(shí)流體壓強(qiáng)和流速的變化。