一種分離噪聲盲源信號的FastICA 改進算法

方藝鵬，周海峰，張恩來，林開榮，鄭東強，林忠華

（1.集美大學輪機工程學院，福建 廈門361021；2.福建省船舶與海洋工程重點實驗室，福建 廈門361021；3.集美大學誠毅學院，福建 廈門361021；4.集美大學海洋裝備與機械工程學院，福建 廈門361021）

0 引言

隨著經(jīng)濟的發(fā)展，越來越多的大功率機械出現(xiàn)，使得噪聲污染變得日益嚴重。針對這些大功率機械及動力設備的噪聲控制，最有效的手段就是從噪聲源入手［2］。其中準確識別噪聲源以及確定噪聲源的主次最為關鍵。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，大功率機械及動力設備的噪聲源，由于其結構復雜，激勵源眾多且不可預測，屬于典型的盲源信號。所以，識別噪聲源的前提是將盲源信號進行分離。

獨立分量分析（independent component analysis，ICA）算法是近幾十年來在盲源分離方面運用最為廣泛且有效的方法。這個算法最早是由Jutten 等［3］在1986 年提出來的，被廣泛應用于語音信號處理、信號特征處理等領域。1997 年，Hyvarinen 等［4］在ICA 算法的基礎上，研究并提出一種新的ICA方法，即快速獨立分量分析（fast independent component analysis，F(xiàn)astICA）算法。相對于ICA 而言，該算法收斂速度更快。但是，該算法分離的信號在幅值、相位及排序等方面存在不確定性［5］。由于噪聲的貢獻度與能量大小有著密切的關系［6］，所以，對分離后的獨立分量進行不確定性校正，對噪聲源的識別以及確定噪聲源的主次有著重大的意義。針對上述問題，本文提出一種改進的FastICA 算法，用于校正原算法因白化產(chǎn)生的不確定性。

1 FastICA 算法基本原理與改進

1.1 FastICA 算法原理

FastICA 算法，也稱為基于固定點（fixed-point）的算法。該算法包含基于負熵最大、基于最大似然和基于峭度等三種不同的形式［10］。本文采用的是基于負熵最大的FastICA 算法作為基礎。其負熵近似值的函數(shù)表達式為：J（yi）≈｛E［G（yi）］-E［G（vi）］｝2。其中：ki為常量；E［·］為計算數(shù)學期望；yi和vi為兩個高斯隨機變量；G為非二次函數(shù)。

FastICA 的算法過程為：

1）對觀測信號X計算期望，并減去相應的期望值，也叫中心化處理；

2）對X做白化處理，做正交變換使得E［XTX］＝I；

3）選取待估計的數(shù)量m，并設定迭代次數(shù)i；

4）任取一個初始向量wi，該向量必須存在單位范數(shù)；

5）令w（i＋1）＝E［xg（wT（i）x）］-E［xg′（wT（i）x）］w（i），g（·）為G（·）的一階導數(shù)；

6）wi標準化；

7）迭代后判斷wi是否收斂，若不收斂則返回步驟5），若收斂則執(zhí)行下一步；

8）令i＝i＋1，當i≤m時，跳回步驟4），否則結束算法程序。

1.2 FastICA 算法改進

由于FastICA 算法所分離出的獨立分量yi存在幅值、相位和排序等方面的不確定性問題，特別是幅值和相位的問題，將會對噪聲源的識別產(chǎn)生直接的影響。所以，本文提出一種基于最大相似準則與優(yōu)化算法相結合的不確定性校正方法。該方法將與FastICA 進行銜接，達到在線校正的目的。該方法的流程圖如圖1 所示。

圖1 不確定性校正流程圖Fig.1 Uncertainty correction flow chart

1.2.1 相位調(diào)整

對FastICA 算法迭代后所得到的解混矩陣W（A-1）再進行求逆，即為初始的估計矩陣A′。

首先，對分離后的矩陣做相位調(diào)整。由于分離后的獨立分量與源信號分量出現(xiàn)相位不確定性（一般為反相）［11］，故需要對分離出來的獨立分量yj做180° 的相位調(diào)整。令，其中：εM為第M次相位調(diào)整函數(shù)，是初始的估計分量，經(jīng)過εM次迭代后得到的估計分量。則有，其中aij為混合矩陣A中的元素。觀測信號調(diào)整前后間的總相關系數(shù)的計算公式為：。其中：AC（·）為總相關系數(shù)；Xcor（·）為自相關系數(shù)。

然后，根據(jù)最大相似準則，尋找總相似度最大的值所對應的估計矩陣和獨立分量arg max。由于M為正向或者反相，故M的取值為1，2，…，＋1。

當相位調(diào)整至正常時，此時的xi與的總相關系數(shù)將取得最大值，調(diào)整后出現(xiàn)反相的獨立分量y均能恢復正常。

1.2.2 幅值調(diào)整

FastICA 算法的白化過程，使得分離后的獨立分量在幅值上呈現(xiàn)的不確定性包含放大和縮小兩種可能。故需要對aij乘以一個權值調(diào)整函數(shù)λN進行調(diào)整。由于無法預測權值分離分量的幅值變化情況，故采用以下算法進行權值的尋優(yōu)。

首先，假設調(diào)整方向為正向，即權值加大。進行兩次試探調(diào)整，得到相應的混合矩陣與，代入，可以得到調(diào)整后的觀測信號，則總體相關系數(shù)相減式為：，判斷U的正負即可知道相應的假設是否為真。通過該假設可以將λN的尋優(yōu)區(qū)間縮減至原來的一半。

然后，將權值函數(shù)往該方向進行迭代尋優(yōu)，采用一維搜索法。先用試點法進行模糊區(qū)間查詢，得到大致的迭代區(qū)間。即當試點兩個調(diào)整后的觀測信號與xi之間的總相關系數(shù)出現(xiàn)先升后降的情況時，此時，二者的權值函數(shù)所對應的變量區(qū)間即為迭代區(qū)間。在該區(qū)間內(nèi)采用黃金分割算法進行區(qū)間尋優(yōu)，尋優(yōu)終止條件為：＜1×10-3。

此時的λN為最理想的權值函數(shù)，并認為其對應的yi（N）幅值也恢復至與源信號基本一致。

1.2.3 排序校正

將經(jīng)過幅值調(diào)整以及相位調(diào)整后的獨立分量yi以及觀測信號xi進行傅里葉變換得，可以得到相應的頻譜。由于相位及幅值經(jīng)過調(diào)整已經(jīng)恢復（與源信號一致），尋優(yōu)方式為：

每個獨立分量都進行相似度計算，最終得到相應的排列次序。

2 仿真實驗驗證

2.1 四種典型信號的仿真

在MATLAB 平臺進行本算法的仿真實驗。首先對四個較為典型的源信號Sn（t）（n＝1，2，3，4）應用改進后的FastICA 算法進行實驗驗證。四個典型信號分別是余弦信號S1、方波信號S2、正弦波信號S3和鋸齒波信號S4。每個信號波形均設置200 個樣本點。混合矩陣A采用的是4×4 的隨機方陣。將源信號Sn（t）與矩陣A進行混合，可以得出觀測信號Xn（t）。再通過FastICA 算法進行迭代計算，得到相應的分離信號Yn（t）。圖2 為四個典型的源信號波形。

圖2 源信號波形Fig.2 Source signal waveform

將源信號與矩陣A混合后，得到的觀測信號如圖3 所示，可以看出每一個源信號在經(jīng)過與隨機矩陣A的混合之后，波形明顯發(fā)生變化。

圖3 觀測信號波形Fig.3 Observation signal waveform

用FastICA 算法處理信號，分離后得到的信號如圖4 所示。由于用FastICA 算法處理信號時對信號做了白化處理，所以在分離之后出現(xiàn)幅值、相位以及排序發(fā)生了改變。

圖4 分離信號波形Fig.4 Separate signal waveform

經(jīng)過改進算法的計算，將源信號的不確定性加以消除，包括幅值、相位以及排序等。圖5 是經(jīng)過校正后得到的信號波形。校正后波形基本上恢復至與源信號相同。

圖5 不確定性校正后的波形Fig.5 Waveform after uncertainty corrected

對源信號、分離信號及校正后的信號進行FFT 分析，可得對應的頻率幅值信息。由表1 可以看出，混合信號經(jīng)新FastICA 算法校正后，得到的波形頻率與源信號保持一致。相位及排序方面的信息由圖2～5 對比能夠很明顯的看出，通過改進算法，已經(jīng)得到了校正。

表1 4 種典型源信號與校正后信號的FFT 參數(shù)比較Tab.1 Comparison of FFT parameters of four typical signals between source signal and corrected signal

采用改進的FastICA 算法，分離校正前后的信號幅值與源信號幅值存在的偏差百分比如圖6 所示。由圖6 可以明顯地看出，校正前后幅值的偏差差異巨大。校正后的波形幅值與源信號幅值基本保持一致，最大的偏差值不超過15%。由此可以看出，本改進算法能夠有效地將FastICA 算法的不確定性進行消除。

圖6 典型信號校正前后與源信號幅值的偏差百分比Fig.6 Percentage of amplitude deviation with typical source signal between before and after corrected

2.2 三段語音信號的仿真

為進一步驗證，本研究還采用了三段語音信號進行混合、分離。其中語音信號的采樣頻率為44.1 kHz，采樣點數(shù)為441 000。三段語音信號與三維隨機矩陣A進行混合，得出相應的觀測信號。圖7 為語音信號的源信號波形，圖8 為語音信號的觀測信號波形。

圖7 語音源信號波形Fig.7 Speech source signal waveform

圖8 語音混合信號波形Fig.8 Speech mixed signal waveform

圖9 為語音信號的分離信號波形。由波形可以看出經(jīng)過FastICA 的白化處理，分離出的源信號在幅值、相位及排序方面均發(fā)生了變化。

圖9 語音分離信號波形Fig.9 Waveform of speech separation signal

圖10 為語音信號經(jīng)過不確定性校正后的信號波形。由波形可以看出，該源信號波形的幅值、相位及排序問題基本得到了校正。

圖10 不確定性校正后的語音信號波形Fig.10 Speech signal waveform after uncertainty corrected

對三段音頻源信號和分離信號進行FFT 分析，可得分離前后信號的頻率幅值信息。由表2 可以看出，混合信號用改進的FastICA 算法進行分離校正之后，得到的波形頻率與源信號保持一致。

表2 三段音頻信號與其校正后信號的FFT 參數(shù)比較Tab.2 Comparison of FFT parameters of 3 segment speech signals between source signal and corrected signal

由圖11 可以明顯看出，校正前的音頻信號與源信號最大差距達到了2210%，幅值偏差巨大。而經(jīng)過改進的FastICA 算法校正后的波形幅值，與源信號幅值基本保持一致，最大的偏差值不超過15%。通過音頻信號的仿真，可更加明顯地看出，本改進算法對分離信號的校正效果理想。

圖11 音頻信號校正前后與源信號幅值的偏差百分比Fig.11 Percentage of amplitude deviation with speech source signal between before and after corrected

3 結論

由于噪聲的貢獻度與能量之間有著直接的聯(lián)系，所以噪聲源信號分離的準確性對于后期的噪聲識別有著至關重要的作用。本文所提出的改進FastICA 算法可以實現(xiàn)從混合的波形信號中分離出源信號波形，同時將波形的不確定性進行消除，達到較為完美的分離結果。盲源信號經(jīng)過本算法的分離和校正之后，在幅值、相位等方面能最大程度地保真。這一結論為噪聲源識別研究提供更加可靠的技術支持。