基于本征正交分解的子結(jié)構(gòu)化模型降階方法

張凌鋒，林謝昭

(福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福建 福州 350108)

由多個(gè)組件經(jīng)連接形成機(jī)械結(jié)構(gòu)件是一種常見的制造手段。為獲得高性能的結(jié)構(gòu)件，需要應(yīng)用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法來確定組件間的最優(yōu)連接位置。有限元模型往往因自由度數(shù)目龐大而難以用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化的多次重分析，基于響應(yīng)面等“黑箱模型”方法有時(shí)也無法正確評(píng)估原系統(tǒng)的目標(biāo)特性，因此構(gòu)建具有一定精度、低計(jì)算成本的降階模型，對系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行快速估值，可以滿足優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中計(jì)算的需要。子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法(component mode synthesis，CMS)是構(gòu)造降階模型的有效方法之一[1-3]，它將結(jié)構(gòu)分割成幾個(gè)由界面連接的力學(xué)上彼此獨(dú)立的子結(jié)構(gòu)，分別對子結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析獲得降階基，然后通過子結(jié)構(gòu)邊界上的力和位移等協(xié)調(diào)條件，拼裝組成系統(tǒng)級(jí)的降價(jià)模型(reduced order model，ROM)。一般來講，保留其低階模態(tài)即可滿足工程求解精度的要求。目前，雖然已經(jīng)開發(fā)了許多CMS技術(shù)，但它們本質(zhì)上并不是為了復(fù)雜結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)而構(gòu)造的，因?yàn)楫?dāng)整體結(jié)構(gòu)中某些組件參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，ROM無法輕易地被重新構(gòu)造。

在動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域，還可通過對系統(tǒng)的響應(yīng)(樣本數(shù)據(jù))進(jìn)行本征正交分解(proper orthogonal decomposition，POD)[4]，獲得本征正交模態(tài)(proper orthogonal models，POMs)來構(gòu)造縮減基集合。POD能將大量相互依賴的變量縮減成少數(shù)幾個(gè)不相關(guān)的變量，即POMs，同時(shí)盡可能多地保持在原變量中所具有的變化，這樣就能用較少的基數(shù)目來精確地表示結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性。POD法提供了一種研究線性和非線性力學(xué)系統(tǒng)的替代方法。Steindal等[5]認(rèn)為，在Galerkin方法中，POMs是構(gòu)造降階基的最好選擇。在系統(tǒng)質(zhì)量矩陣與單位矩陣成比例的情況下，POMs嚴(yán)格地收斂于模態(tài)振型[6]。尉飛等[7]利用POMs代替線性特征模態(tài)，得到一種能解決具有局部非線性問題的降階模型；Confalonieri和Liang等[8-10]利用POD對耦合系統(tǒng)中的各物理域進(jìn)行降階處理，以適應(yīng)多場耦合的系統(tǒng)仿真分析；Wang等[11]將POD方法與子結(jié)構(gòu)綜合法結(jié)合用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)件的模態(tài)分析，以此來精確預(yù)測結(jié)構(gòu)中某一組件的動(dòng)力響應(yīng)，從而避免了對結(jié)構(gòu)的整體分析；王小娟等[12]提出了一種POD結(jié)合平衡截?cái)喾椒ǖ哪Ｐ徒惦A技術(shù)。因此，可以嘗試將POD用于構(gòu)造能適應(yīng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)變化的降階模型，當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)在一定范圍內(nèi)發(fā)生改變時(shí)，POMs就不需要重新構(gòu)造而具有足夠的計(jì)算精度[13]。

本文將Craig-Bampton(CB)方法與POD結(jié)合，由POD確定需要修改的子結(jié)構(gòu)本征特性，通過組件的POMs獲得子結(jié)構(gòu)的降階變換矩陣，結(jié)合動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)裝配技術(shù)，從而獲得系統(tǒng)級(jí)的降階模型(ROM)，當(dāng)子結(jié)構(gòu)組件參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，無需使用完整的修改后的動(dòng)力學(xué)方程組進(jìn)行昂貴的重分析。通過算例驗(yàn)證了該ROM在不同載荷、不同板厚時(shí)的快速重分析能力。

1 PCB-ROM的構(gòu)造

POD結(jié)合CB方法構(gòu)造降階模型，是圍繞著子結(jié)構(gòu)組件進(jìn)行的。對于參數(shù)發(fā)生變化的子結(jié)構(gòu)，采用POD模態(tài)(POMs)作為縮減基；對于參數(shù)未改變的子結(jié)構(gòu)組件，則仍采用CB主模態(tài)構(gòu)造其低階模態(tài)基。獲得各個(gè)子結(jié)構(gòu)組件動(dòng)態(tài)特性的降階表達(dá)之后，根據(jù)各子結(jié)構(gòu)間的邊界協(xié)調(diào)條件，進(jìn)行模態(tài)綜合，獲得整體結(jié)構(gòu)的降階模型(PCB-ROM)。

以圖1所示的簡單平板結(jié)構(gòu)件為例，將其分割為a、b兩個(gè)子結(jié)構(gòu)，子結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)分割為界面坐標(biāo)xj和非界面坐標(biāo)xi，則子結(jié)構(gòu)的無阻尼運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

(1)

對應(yīng)的組件邊界界面條件：

xaj=xbj

(2)

faj+fbj=0

(3)

式中：m，k分別為子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；f為子結(jié)構(gòu)界面力；g為作用于子結(jié)構(gòu)的外力。

假設(shè)子結(jié)構(gòu)a的參數(shù)發(fā)生變化，則POMs坐標(biāo)變換矩陣為：

(4)

求解POMs的具體計(jì)算過程如下：首先通過靜力有限元分析獲得整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移矩陣，然后分解得到子結(jié)構(gòu)的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移，并存儲(chǔ)到位移快照矩陣X中：

(5)

式中：n為子結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)自由度；k為取樣次數(shù)。

將快照矩陣去均值處理后，獲得系統(tǒng)的相關(guān)矩陣R：

R=VVT

(6)

(7)

子結(jié)構(gòu)的POMs坐標(biāo)變換矩陣為：

(8)

將a、b兩個(gè)子結(jié)構(gòu)經(jīng)過坐標(biāo)變換后的方程“堆積”起來，可得：

(9)

由位移、界面力協(xié)調(diào)條件可得到第二次坐標(biāo)變換為：

(10)

式中：B為布爾矩陣；q為廣義坐標(biāo)。

將式(10)代入式(9)，可得到降階后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

(11)

式(11)即為PCB-ROM模型的表達(dá)式。對于多個(gè)組件連接成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)而言，可以采用上述POD結(jié)合CB的方式構(gòu)建降階模型。

2 算例驗(yàn)證

以U型板件為例，邊界條件以及載荷情況如圖2所示。彈性模量E=2.1×1011N/m3，密度ρ=7.9×103kg/m3，泊松比μ=0.3，板厚為t=50 mm(薄板結(jié)構(gòu))。在ABAQUS中采用殼單元建立有限元模型(FEM)，單元數(shù)為1 400，節(jié)點(diǎn)數(shù)為1 491個(gè)，總自由度數(shù)為8 946。其中，子結(jié)構(gòu)S1和S4所劃分網(wǎng)格均為15×20，節(jié)點(diǎn)數(shù)為336(內(nèi)部節(jié)點(diǎn)數(shù)315，界面節(jié)點(diǎn)數(shù)21)，自由度數(shù)為2 016；子結(jié)構(gòu)S2和S3所劃分網(wǎng)格均為20×20，節(jié)點(diǎn)數(shù)為441(內(nèi)部節(jié)點(diǎn)數(shù)399，界面節(jié)點(diǎn)數(shù)2×21)，自由度數(shù)為2 646。

圖2 U型連接板

假設(shè)U型板件中子結(jié)構(gòu)S1、S3發(fā)生變化，而子結(jié)構(gòu)S2、S4沒有發(fā)生改變。利用1節(jié)中所描述的POD結(jié)合CB的方法構(gòu)造U型板的ROM(記為PCB-ROM)時(shí)，通過求解子結(jié)構(gòu)S1、S3的POMs構(gòu)造S1、S3的低階模態(tài)，利用CB方法構(gòu)造S2、S4的低階模態(tài)。對不同大小的面載荷fc，分別提取子結(jié)構(gòu)S1和S3的位移，共得到6組位移快照矩陣。由POD能量比原則可知，選取m=1階POMs即可滿足所選的基向量所含“能量”占總基模態(tài)“能量”99.99%的要求。對于子結(jié)構(gòu)S2和S4，采用保留主模態(tài)作為縮減基函數(shù)構(gòu)造子結(jié)構(gòu)降階模型，考慮結(jié)構(gòu)20 Hz內(nèi)的固有頻率，由主模態(tài)截?cái)鄻?biāo)準(zhǔn)得到的保留主模態(tài)數(shù)也為1。因此，PCB-ROM的自由度數(shù)為382，其中子結(jié)構(gòu)內(nèi)部的自由度數(shù)為4，界面的自由度數(shù)為378。

利用傳統(tǒng)的CB方法構(gòu)造該U型板件的ROM(記為CB-ROM)，同樣如果考慮結(jié)構(gòu)20 Hz內(nèi)的固有頻率，4個(gè)子結(jié)構(gòu)要保留的主模態(tài)數(shù)均為1，則CB-ROM的自由度為382，其中子結(jié)構(gòu)內(nèi)部自由度數(shù)為4，界面自由度數(shù)為378。

2.1 PCB-ROM與CB-ROM的比較

表1給出了上述3種模型的自由度數(shù)和結(jié)構(gòu)頻率重分析的計(jì)算時(shí)間。由表1可知， PCB-ROM的重分析效率比CB-ROM提高了約10倍，大幅度降低了重分析的計(jì)算成本。

表1 FEM與PCB-ROM以及CB-ROM的比較

計(jì)算精度方面，這里先給出PCB-ROM、CB-ROM與FEM(作為標(biāo)桿)分別計(jì)算得到的低階頻率結(jié)果對比，如圖3所示。結(jié)果表明， 雖然PCB-ROM的計(jì)算誤差大于CB-ROM，但PCB-ROM計(jì)算的前兩階固有頻率的誤差均小于1%，仍具有足夠的計(jì)算精度。

圖3 PCB-ROM和CB-ROM的低階固有頻率及相對于FEM結(jié)果的誤差

計(jì)算結(jié)構(gòu)的靜態(tài)變形時(shí)，假設(shè)U型板子結(jié)構(gòu)S2、S3上所施加的面載荷fc=3 kN，3種模型計(jì)算得到的靜變形結(jié)果如圖4和圖5所示?？紤]到模型的對稱性，這里只給出子結(jié)構(gòu)S3和S4的靜變形結(jié)果。由3種模型計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)件CD邊上節(jié)點(diǎn)的位移比較結(jié)果如圖6所示。由圖可知，由PCB-ROM和CB-ROM計(jì)算的靜變形位移響應(yīng)曲線與FEM曲線吻合度良好，說明PCB-ROM與CB-ROM都具有很好的復(fù)現(xiàn)全自由度模型結(jié)果的能力。

圖4 子結(jié)構(gòu)3的靜態(tài)變形結(jié)果比較

圖5 子結(jié)構(gòu)4的靜態(tài)變形結(jié)果比較

圖6 PCB-ROM、CB-ROM和FEM計(jì)算得到的CD邊處位移響應(yīng)結(jié)果對比

圖7 簡諧載荷激勵(lì)下，PCB-ROM、CB-ROM與FEM計(jì)算得到的E、F點(diǎn)的位移響應(yīng)曲線

綜上所述，本文所提出的PCB-ROM能夠以較高的計(jì)算精度和較低的計(jì)算成本，很好地表達(dá)原始模型的特性，能夠代替原FEM模型，滿足工程上的重分析需求。相較于傳統(tǒng)的CB-ROM， PCB-ROM有著高得多的計(jì)算效率。

2.2 PCB-ROM對子結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的適應(yīng)性研究

為驗(yàn)證PCB-ROM能夠應(yīng)用于多組件連接結(jié)構(gòu)件的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，需要考查當(dāng)子結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，PCB-ROM的快速重分析能力。以對稱結(jié)構(gòu)U型板為例，取3種不同的S1、S3板厚t1和t3組合：1)t1=40 mm,t3=50 mm；2)t1=40 mm,t3=60 mm；3)t1=50 mm,t3=60 mm。利用PCB-ROM求解這3種不同板厚組合結(jié)構(gòu)的第一、二階頻率，并與FEM的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果見表2。由表2可知，PCB-ROM與FEM模型計(jì)算的第一、二階頻率相吻合，滿足工程精度要求。

表2 PCB-ROM與FEM計(jì)算的第一、二階頻率結(jié)果的比較

求解上述相同簡諧載荷激勵(lì)下U型板的響應(yīng)。利用PCB-ROM和FEM分別計(jì)算0～20 Hz頻段內(nèi)不同板厚組合下U型板結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)，頻率步長為0.01 Hz，受限于篇幅，這里僅僅給出結(jié)構(gòu)上撓度值較大的F點(diǎn)(子結(jié)構(gòu)2內(nèi)節(jié)點(diǎn)編號(hào)為178)的位移響應(yīng)曲線，如圖8所示。結(jié)果表明，二者的計(jì)算結(jié)果相吻合，即當(dāng)板厚在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，原來構(gòu)造的PCB-ROM能夠很好地近似表述板厚變化后結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)態(tài)特性，無需重構(gòu)板厚變化后結(jié)構(gòu)的ROM。說明PCB-ROM對不同的板厚變化具有良好的適用性，可以將其用于優(yōu)化設(shè)計(jì)。

圖8 簡諧激勵(lì)下，不同板厚組合下PCB-ROM與FEM的F點(diǎn)處的響應(yīng)結(jié)果對比

3 結(jié)束語

本文提出用POD來構(gòu)造需要修改的子結(jié)構(gòu)的縮減基，結(jié)合動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)裝配技術(shù)獲得系統(tǒng)級(jí)的降階模型。對結(jié)構(gòu)的固有頻率、靜變形以及諧振載荷激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)等的計(jì)算結(jié)果表明，PCB-ROM能替代原結(jié)構(gòu)的FEM模型，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的快速重分析。與傳統(tǒng)的CB-ROM相比，PCB-ROM能夠利用POVs清楚地指示POMs的貢獻(xiàn)程度，且建模及分析計(jì)算的效率得到很大程度的提高。在不同載荷、不同子結(jié)構(gòu)板厚組合的情況下，PCB-ROM都具有良好的計(jì)算精度和適用性，能夠正確地反映結(jié)構(gòu)組件由于參數(shù)變化而導(dǎo)致的特性改變。因此，POD-CB降階方法可替代復(fù)雜的FEM，用于組合機(jī)床、液壓機(jī)底座等多組件復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的優(yōu)化設(shè)計(jì)中。