任意直四邊形復(fù)合材料層合板振動(dòng)特性研究

胡雙衛(wèi)， 鐘銳， 秦斌， 王青山

(1.中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410083； 2.中南大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083)

任意直四邊形復(fù)合材料層合板由具有不同力學(xué)性能的材料復(fù)合而成，它結(jié)合了這些組分材料的優(yōu)良性能，因而被大量用于航空航天、水下航行器、海洋平臺(tái)等工程領(lǐng)域。在它們實(shí)際應(yīng)用過程中，這類結(jié)構(gòu)往往受到復(fù)雜外在的邊界約束條件，導(dǎo)致其振動(dòng)特性異常復(fù)雜，研究其在不同邊界下任意直四邊形復(fù)合材料層合板的振動(dòng)特性對(duì)于其工程應(yīng)用具有一定的科學(xué)價(jià)值。

研究人員針對(duì)板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性研究提出了一系列數(shù)值計(jì)算方法，如改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法[1-3]、微分求積法[4-5]、有限元法[6-8]等。Nie等[1]采用傅里葉級(jí)數(shù)表示層合板的橫向振動(dòng)，分析了任意直邊四邊形層合板的自由振動(dòng)問題。Shi等[2-3]利用改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)法研究了任意直邊四邊形板的自由振動(dòng)特性。Malekzadeh等[4]利用了微分求積法作為一種高效、精確的數(shù)值工具對(duì)空間導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散，分析了任意直邊四邊形功能梯度板在熱環(huán)境下的自由振動(dòng)。Shu等[5]提出了一種將微分求積法應(yīng)用于任意四邊形板的自由振動(dòng)分析方法。黃志誠(chéng)等[6]運(yùn)用有限元法和試驗(yàn)驗(yàn)證研究了黏彈夾芯板的振動(dòng)特性。梁寧等[7]利用有限元仿真分析研究了蜂窩紙板的振動(dòng)傳遞特性。王迪等[8]利用能量有限元法研究了損傷板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。除了上述方法外，武蘭河[9]基于Reissner-Mindlin理論，引入五次樣條函數(shù)構(gòu)造試函數(shù)，分析了任意四邊形厚板的自由振動(dòng)問題。Semnani等[10]將二維微分變換法(2D-DTM)推廣到任意變厚度薄板自由振動(dòng)的研究中。Magnette等[11]提出了一種離散奇異卷積(discrete singular convolution,DSC)方法，用于任意直邊四邊形板的振動(dòng)、屈曲和靜力分析。綜合文獻(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，研究人員利用里茲法、改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法等數(shù)值方法分析任意四邊形板的振動(dòng)特性時(shí)，需先通過等參變換，將不規(guī)則求解域轉(zhuǎn)換為規(guī)則的矩形求解域，這種求解方式缺乏靈活性，且增大了建模程序的復(fù)雜性；有限元法雖然成為應(yīng)用廣泛的數(shù)值方法，但是該方法依托于網(wǎng)格單元，網(wǎng)格自適應(yīng)性能較差，在處理復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)的問題時(shí)，網(wǎng)格劃分顯得十分繁瑣。另外，現(xiàn)有的關(guān)于任意四邊形的振動(dòng)研究多集中于均質(zhì)各向同性結(jié)構(gòu)，很少涉及復(fù)合材料層合四邊形板方面的研究。

無(wú)網(wǎng)格法最初由Lucy等[12]在研究天體物理學(xué)非對(duì)稱現(xiàn)象時(shí)提出。這種數(shù)值方法基于節(jié)點(diǎn)近似，無(wú)需劃分網(wǎng)格，因而對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題具有很好的自適應(yīng)分析能力。彭林欣等[13-14]使用移動(dòng)最小二乘近似(moving least squares, MLS)各無(wú)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的位移場(chǎng)，求解了加肋板的自由振動(dòng)特性。陳富軍等[15]針對(duì)層合板，結(jié)合局部移動(dòng)Kriging插值法與一階剪切變形理論建立了分析其自由振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。陳莘莘等[16]結(jié)合自然鄰接點(diǎn)彼得諾夫-伽遼金法分析了復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)。Zhu等[17]對(duì)功能梯度板進(jìn)行自由振動(dòng)分析時(shí)，使用了Kriging無(wú)網(wǎng)格法構(gòu)造形函數(shù)，并與一階剪切變形理論結(jié)合，建立自由振動(dòng)特征方程。

本文將無(wú)網(wǎng)格法應(yīng)用到任意直四邊形復(fù)合材料層合板的振動(dòng)特性分析，運(yùn)用MLS近似離散節(jié)點(diǎn)的位移場(chǎng)及其導(dǎo)數(shù)，并通過節(jié)點(diǎn)位移近似函數(shù)離散結(jié)構(gòu)微分方程，同時(shí)結(jié)合邊界離散方程建立結(jié)構(gòu)的振動(dòng)求解模型。通過計(jì)算結(jié)果的對(duì)比分析，驗(yàn)證本方法的正確性，進(jìn)而研究邊界約束、材料的楊氏模量比和結(jié)構(gòu)特性參數(shù)對(duì)任意直四邊形復(fù)合材料層合板振動(dòng)特性的影響。

1 任意直四邊形板振動(dòng)模型建立

1.1 模型描述

如圖1所示，幾何坐標(biāo)系(X，Y，Z)建立在直四邊形板的幾何中面上，直四邊形板的四條邊分別為a，b，c，d，AB與AD的夾角為α，CD與AD的夾角為β，層合板的厚度為h，其具體的幾何平面圖如圖2所示。圖1中U、V、W分別代表參考面上任意一點(diǎn)在X、Y、Z方向上的位移。此外本模型在4條邊上引入3組線性約束彈簧ku、kv、kw和2組轉(zhuǎn)角約束彈簧kx、ky，改變彈簧的剛度可模擬不同的邊界約束條件。

圖1 任意直四邊形復(fù)合材料層合板的幾何模型Fig.1 The geometric model of arbitrary straight quadrilateral plate

1.2 移動(dòng)最小二乘法

本文使用MLS近似來(lái)構(gòu)造形函數(shù)，函數(shù)u(x)在問題域Ω內(nèi)的近似函數(shù)uh(x)的一般形式可以寫為[18]：

(1)

式中：p(x)是二次完備多項(xiàng)式基函數(shù)，p(x)=[1xyx2xyy2]T；m是基函數(shù)的個(gè)數(shù)；a(x)是近似函數(shù)的系數(shù)向量，可以根據(jù)加權(quán)最小二乘法來(lái)確定：

(2)

令?γ/?a=0，可得：

A(x)·a(x)=C(x)·us

(3)

其中：

(4)

(5)

us=[u1u2…un]T

(6)

將式(3)代入式(1)中即可得到u(x)的近似函數(shù)：

uh(x)=p(x)T·A-1(x)·C(x)·us=Φ(x)T·us

(7)

1.3 控制方程

根據(jù)一階剪切變形理論(first order shear deformation theory, FSDT)，任意層合四邊形板的3個(gè)位移分量可表示為：

(8)

式中：u0、v0、w0分別為板結(jié)構(gòu)中面上沿X、Y、Z方向上的位移分量；φx、φy為轉(zhuǎn)角位移。

板結(jié)構(gòu)的應(yīng)變-位移關(guān)系為：

(9)

任意直四邊形復(fù)合材料層合板本構(gòu)方程為：

N=Dijklε

(10)

其中：

(11)

(12)

(13)

式中：A3×3為拉伸剛度矩陣；B3×3為耦合剛度矩陣；D3×3為彎曲剛度矩陣；As2×2為剪切剛度矩陣。以上矩陣中的各元素分別為：

(14)

任意直四邊形復(fù)合材料層合板的平衡方程[20]：

(15)

將式(9)、(10)代入式(15)得：

(16)

式中：k為5×5的剛度矩陣；m為5×5的質(zhì)量矩陣。

(k-ω2m)u=0

(17)

1.4 控制方程離散化

將任意直四邊形復(fù)合材料層合板在幾何中面上，用M個(gè)節(jié)點(diǎn)離散，對(duì)于層合板內(nèi)任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)xi，其近似位移為：

u(xi)≈uh(x)=φ(xi)T·us

(18)

式中：us=[u1u2…ui…un]T表示xi支撐域內(nèi)所有節(jié)點(diǎn)的廣義位移向量；n表示節(jié)點(diǎn)xi的支持域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù)，其中ui=[uiviwiφxiφyi]T表示節(jié)點(diǎn)xi處的位移向量，此時(shí)us為5n×1的矩陣，φ(xi)為5n×5的形函數(shù)矩陣，可表示為：

(19)

式中：I為5階單位矩陣；φi為節(jié)點(diǎn)xi處的形函數(shù)。

將式(18)代入自由振動(dòng)控制方程(17)，得：

(kI-ω2mI)us=0

(20)

式中：kI=kφT;mI=mφT。

類似地，建立問題域內(nèi)所有的節(jié)點(diǎn)離散方程，然后將它們組合在一起，得到整個(gè)系統(tǒng)的離散方程：

(K-ω2M)Us=0

(21)

式中：K為整體剛度矩陣；M為整體質(zhì)量矩陣；Us為整體的位移矩陣。

1.5 邊界條件離散化

由于邊界上要引入人工虛擬彈簧技術(shù)模擬邊界條件，因此邊界條件需要另行離散。系統(tǒng)的邊界條件可參考文獻(xiàn)[21]，這里以x=0邊界為例，進(jìn)行邊界離散說明：

cx0N-kx0u=0

(22)

式中：cx0為系數(shù)矩陣；kx0為邊界剛度矩陣。

將式(9)、(10)、(20)代入式(22),可得x=0邊界的離散方程：

(cx0DijklL2-kx0)Us=0

(23)

同理可得其余3個(gè)邊界條件的離散方程。

對(duì)式(21)、(23)使用子空間迭代法，可以求出任意直四邊形復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)頻率ω和層合板內(nèi)部與邊界的位移向量Us。

2 數(shù)值結(jié)果與分析

為驗(yàn)證方法的準(zhǔn)確性，下面將給出一些任意直四邊形層合板的數(shù)值算例研究。如無(wú)特別陳述，層合板結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)和材料屬性設(shè)定如下：a=1 m，b=0.8 m，c=0.7 m，α=70°，β=75°，h=0.1 m；E2=10 GPa，E1=40E2，G12=G13=0.6E2，G23=0.5E2，μ=0.25，ρ=1 450 kg/m3，鋪層設(shè)置為[0/45°/0]。特別地，本文使用無(wú)網(wǎng)格法建立的自由振動(dòng)模型，同樣適用于各向同性任意直四邊形板的自由振動(dòng)特性研究。實(shí)質(zhì)上各向同性板可作為層合板的特殊案例，即當(dāng)μ12=μ21=μ，E1=E2=E，G12=G13=G23=E/(2+2μ)，鋪設(shè)角θ= 0°時(shí)，復(fù)合材料層合板將退化為各向同性板，此時(shí)層合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析模型將轉(zhuǎn)變?yōu)榫|(zhì)的任意直四邊形板的振動(dòng)模型。另外，在本節(jié)中采用的無(wú)量綱頻率定義為：

(24)

2.1 有效性與收斂性驗(yàn)證

從上節(jié)中理論推導(dǎo)可知，邊界剛度對(duì)于計(jì)算結(jié)果具有較大影響。圖2給出了無(wú)量綱頻率參數(shù)隨邊界剛度變化的曲線?？梢钥闯觯?dāng)邊界彈簧剛度小于107N/m時(shí)，層合板的無(wú)量綱固有頻率基本不變；當(dāng)邊界彈簧剛度在107～1011N/m變化時(shí)，頻率參數(shù)近似線性變化，可將其定義為彈性支撐邊界；當(dāng)邊界彈簧剛度大于1011N/m時(shí)，板的無(wú)量綱固有頻率達(dá)到收斂狀態(tài)，可作為剛性邊界條件。從圖中還可以看出kx、ky對(duì)板的無(wú)量綱固有頻率影響較小。根據(jù)上述分析，本文所涉及各種邊界約束如表1所示。

圖2 層合板邊界彈簧剛度收斂曲線Fig.2 Convergence curves of boundary spring stiffness of laminated plate

表1 不同邊界條件下對(duì)應(yīng)的彈簧剛度

下面將給出所建模型的有效性分析。本算例的幾何尺寸設(shè)置為a=b=c=d=1 m，α=β=90°，鋪層角度為[45°/-45°]。表2給出了任意四邊形層合板的前4階無(wú)量綱頻率參數(shù)對(duì)比。對(duì)比結(jié)果表明，無(wú)網(wǎng)格法所得計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[20]參考解具有較好的一致性，兩者之間的最大誤差為3.71%，這說明無(wú)網(wǎng)格法適用于復(fù)合材料層合四邊形板的振動(dòng)特性預(yù)測(cè)。

表2 任意直四邊形復(fù)合材料層合板在不同邊界條件下前4階無(wú)量綱固有頻率Ω對(duì)比

2.2 自由振動(dòng)算例分析

圖3研究了楊氏模量比E1/E2對(duì)任意直四邊形復(fù)合材料層合板的無(wú)量綱頻率的影響，楊氏模量比是表征層合板各向異性程度的量。在該算例中，層合板的楊氏模量比在1～25變化，計(jì)算步長(zhǎng)設(shè)為1。從圖中可以看出不論是C-C-C-C邊界，還是S-S-S-S邊界條件，層合板的無(wú)量綱固有頻率隨楊氏模量比的增大而增大，雖然在這2個(gè)邊界條件下，層合板的無(wú)量綱頻率參數(shù)隨彈性模量比的增長(zhǎng)趨勢(shì)相同，但在S-S-S-S邊界條件下，無(wú)量綱頻率參數(shù)的增長(zhǎng)速度要比C-C-C-C邊界條件下的要較快，這表明層合板的頻率參數(shù)對(duì)楊氏模量的變化更為敏感。

圖3 層合板無(wú)量綱頻率參數(shù)隨楊氏模量比E1/E2的變化Fig.3 Change of non-dimensional frequencies of laminated plate according 1 to the increase of Yong′s modulus ratio E1/E2

圖4研究了3種纖維鋪設(shè)方式對(duì)任意直四邊形層合板的振動(dòng)特性的影響，這3種鋪設(shè)方式分別為[0,θ, 0]、[θ, -θ]和[θ, 0,θ]。在該圖中θ的變化范圍為[5°, 175°]，變化步長(zhǎng)為5°。觀察圖4可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于[0,θ, 0]，在C-C-C-C邊界條件下，直四邊形板的頻率參數(shù)在θ=90°達(dá)到峰值，振動(dòng)特性近似關(guān)于90°對(duì)稱，而對(duì)于SSSS邊界條件，頻率參數(shù)的峰值在θ=95°時(shí)獲得，且無(wú)量綱固有頻率關(guān)于θ=95°對(duì)稱。對(duì)于[θ, 0,θ]鋪設(shè)方式，無(wú)論哪種被討論的邊界，頻率參數(shù)均在θ=90°時(shí)達(dá)到峰值，但圖像并不關(guān)于θ=90°對(duì)稱。出現(xiàn)上述現(xiàn)象的原因是本算例討論的任意直四邊形板在幾何上不對(duì)稱。但對(duì)于[θ, -θ]的鋪設(shè)方式，在四邊形板的厚度方向呈現(xiàn)對(duì)稱性，因此圖像關(guān)于θ=90°對(duì)稱。同時(shí)還可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于2種邊界條件，結(jié)構(gòu)的無(wú)量綱固有頻率表現(xiàn)出來(lái)的變化趨勢(shì)是一致的，但峰值出現(xiàn)的位置存在差異，對(duì)于C-C-C-C邊界，無(wú)量綱固有頻率在θ=90°達(dá)到峰值，而S-S-S-S邊界，θ=45°和θ=135°時(shí)，頻率參數(shù)達(dá)到峰值，這說明邊界彈簧剛度，會(huì)改變結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。

圖4 任意直四邊形層合板的纖維鋪設(shè)角對(duì)其振動(dòng)特性的影響Fig.4 Influence of fiber laying angle on vibration characteristics of any straight quadrilateral laminates

圖5研究了鋪設(shè)層數(shù)λ對(duì)層合板前三階無(wú)量綱固有頻率的影響規(guī)律?？紤]的邊界條件為四邊固支和對(duì)邊固支，對(duì)邊固支是指將圖1(b)中的AD邊與CB邊固定，其余2條邊處于自由狀態(tài)。本案例纖維鋪設(shè)方法是[0, 90°]λ，保持層合板的厚度不變，層數(shù)λ由1到10逐步增加。由圖5可知，隨著鋪設(shè)層數(shù)的增加，層合板的無(wú)量綱固有頻率呈鋸齒狀上升。說明層合板的自由振動(dòng)特性與層合板纖維層數(shù)的奇偶有關(guān)。

圖5 任意直四邊形層合板的纖維鋪設(shè)層數(shù)對(duì)其振動(dòng)特性的影響Fig.5 The influence of fiber laying number on vibration characteristics of arbitrary straight quadrilateral laminates

3 結(jié)論

1) 通過與文獻(xiàn)數(shù)據(jù)對(duì)比研究，表明該方法具有較好的收斂性和較高的準(zhǔn)確性；

2) 任意直四邊形復(fù)合材料層合板的無(wú)量綱固有頻率隨楊氏模量比E1/E2的增加而增加。

3) 當(dāng)纖維鋪設(shè)方式為[θ，-θ]時(shí)，鋪設(shè)角從0°到180°變化，任意直四邊形復(fù)合材料層合板的頻率參數(shù)變化規(guī)律關(guān)于θ=90°對(duì)稱。鋪設(shè)方式為[0,θ, 0]和[θ, 0,θ]時(shí)，變化趨勢(shì)不具對(duì)稱性。

4) 任意直四邊形層合板的頻率參數(shù)隨著鋪設(shè)層數(shù)的增加呈鋸齒狀上升的趨勢(shì)。