基于侵入混沌多項(xiàng)式法的隨機(jī)多孔介質(zhì)內(nèi)順磁性流體熱磁對(duì)流不確定度量化1)

姜昌偉 謝云峰 石 爾 劉代飛 李 杰 胡章茂

(長(zhǎng)沙理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410114)

引言

重力與磁場(chǎng)力相互作用引起的熱磁對(duì)流現(xiàn)象廣泛應(yīng)用于提高晶體生產(chǎn)質(zhì)量、驅(qū)動(dòng)無(wú)機(jī)械元件及研究氧濃度傳感器等[1-2].數(shù)值計(jì)算是研究熱磁對(duì)流驅(qū)動(dòng)作用機(jī)理的重要手段之一,研究人員已開(kāi)展了許多磁致順磁性流體熱磁對(duì)流方面的數(shù)值計(jì)算研究[3].He 等[4]提出了一種精確的分離譜元方法系統(tǒng)研究了不同磁感應(yīng)強(qiáng)度與加熱部件位置下矩形方腔內(nèi)空氣熱磁對(duì)流的變化規(guī)律.Kaneda 等[5]采用數(shù)值研究方法揭示了磁場(chǎng)力影響方腔內(nèi)順磁性流體熱磁對(duì)流的作用機(jī)理.Zeng 等[6]和姜昌偉等[7]數(shù)值研究了梯度磁場(chǎng)作用下多孔介質(zhì)方腔內(nèi)順磁性或逆磁性流體的傳熱特性.Zhang 等[8]應(yīng)用Lattice-Boltzmann 方法研究了四極磁場(chǎng)作用下多孔介質(zhì)方腔內(nèi)順磁性流體的熱磁對(duì)流與熵產(chǎn).

目前,梯度磁場(chǎng)下多孔介質(zhì)內(nèi)流體熱磁對(duì)流的數(shù)值計(jì)算普通采用確定性數(shù)學(xué)與幾何結(jié)構(gòu)、邊界條件與物性參數(shù)等.然而現(xiàn)實(shí)中的熱磁對(duì)流問(wèn)題中數(shù)理模型、物性參數(shù)與邊界條件等存在著大量的不確定性,如果忽略這些不確定性因素將不能準(zhǔn)確反映真實(shí)的熱磁對(duì)流過(guò)程,因此理論上講必須考慮這些不確定性因素對(duì)熱磁對(duì)流控制方程及其數(shù)值模擬結(jié)果的影響.梯度磁場(chǎng)下多孔介質(zhì)內(nèi)流體熱磁對(duì)流過(guò)程中,由于多孔介質(zhì)具有空間變異性,造成多孔介質(zhì)孔隙空間分布呈現(xiàn)出一定的隨機(jī)性,確定性熱磁對(duì)流控制方程難以描述多孔介質(zhì)孔隙率不確定性對(duì)熱磁對(duì)流的影響,因此需要發(fā)展出一種把孔隙率作為隨機(jī)輸入的熱磁對(duì)流不確定性量化分析方法.

不確定性量化研究已成為近年來(lái)國(guó)際上熱門(mén)的課題[9].傳統(tǒng)的不確定性量化方法有蒙特卡羅(Monte-Carlo)法和攝動(dòng)(Perturbation)法等.葉坤等[10]基于不確定性與全局靈敏度分析方法分析了高超聲速舵面氣動(dòng)熱的不確定度.Wang 和Qiu[11]基于攝動(dòng)有限元法,提出了模糊攝動(dòng)有限元法,用以預(yù)測(cè)材料性質(zhì)、外部載荷與邊界條件等具有模糊參數(shù)的不確定性溫度場(chǎng).雖然蒙特卡羅法需要消耗大量的計(jì)算資源,但由于該方法可以應(yīng)用現(xiàn)有的求解器進(jìn)行求解,因此其廣泛應(yīng)用于計(jì)算流體力學(xué)不確定度量化,同時(shí)其他計(jì)算流體力學(xué)不確定性分析方法均采用該方法作為基準(zhǔn)方法;而攝動(dòng)法一般應(yīng)用于隨機(jī)參數(shù)變異系數(shù)比較小的場(chǎng)合.

近年來(lái),為解決傳統(tǒng)不確定性分析方法高昂的計(jì)算成本,研究者先后提出隨機(jī)配點(diǎn)法、隨機(jī)有限元法、譜方法及多項(xiàng)式混沌展開(kāi)法等多種數(shù)值計(jì)算方法,其中多項(xiàng)式混沌展開(kāi)法應(yīng)用最為廣泛.多項(xiàng)式混沌展開(kāi)法最早由Wiener[12]提出,早期在解決湍流問(wèn)題中得到了較多應(yīng)用.根據(jù)與求解器的耦合方式不同,多項(xiàng)式混沌展開(kāi)法分為非侵入式(non-intrusive)不確定性量化方法和侵入式(intrusive)不確定性量化方法等.

非侵入式方法基于概率方法,通過(guò)在隨機(jī)空間內(nèi)采樣獲得若干配置點(diǎn),然后在各配置點(diǎn)上調(diào)用現(xiàn)有的求解器運(yùn)行求解,并基于統(tǒng)計(jì)方法獲得相關(guān)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征.非侵入式方法包括概率配點(diǎn)法、隨機(jī)配置法、稀疏網(wǎng)格配點(diǎn)法等,該方法有利于采用經(jīng)過(guò)完好確認(rèn)的CFD 軟件,避免了修改控制方程給工業(yè)應(yīng)用引入新誤差的風(fēng)險(xiǎn).目前,非侵入式方法廣泛應(yīng)用于流體流動(dòng)與傳熱、燃燒與化學(xué)反應(yīng)等領(lǐng)域的不確定性量化[13-17].Narayan 和Zhou[18]與Guo 等[19]提出了非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格隨機(jī)配置與最小二乘法多項(xiàng)式近似兩種不確定性量化方法,并從理論上給出了這兩種方法的穩(wěn)定性與精度的結(jié)果,顯示出其在不確定性量化中的巨大潛力.基于非侵入式方法,黃明等開(kāi)展了渦輪動(dòng)葉凹槽狀葉頂氣熱性能、高超聲速吸氣推進(jìn)飛行器進(jìn)氣道性能、各向異性陶瓷基復(fù)合材料渦輪葉片熱響應(yīng)等的不確定性量化分析,數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合一致驗(yàn)證了非侵入式方法的有效性,為工程中的高維不確定性量化問(wèn)題提供了很好的解決思路[20-24].Rajabi 等[25]對(duì)多孔介質(zhì)方腔內(nèi)雙擴(kuò)散自然對(duì)流基準(zhǔn)問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)的不確定性傳播分析及全局靈敏度分析以確定模型參數(shù)不確定性對(duì)腔體內(nèi)流動(dòng)、傳熱與傳質(zhì)過(guò)程的影響.

侵入式方法在隨機(jī)維數(shù)較低的情況下具有一定的精度優(yōu)勢(shì).但該方法需要求解一個(gè)復(fù)雜的控制方程組,同時(shí)需要重新開(kāi)發(fā)新的求解器,這增加了其在計(jì)算流體力學(xué)應(yīng)用中的難度,并且隨機(jī)維數(shù)一旦增加,這種優(yōu)勢(shì)立即消除.Xiu 和Karniadakis[26]提出了廣義多項(xiàng)式混沌展開(kāi)法,并給出了每個(gè)不確定性參數(shù)分布最佳正交基函數(shù)的證明.王曉東和康順[27]等將譜隨機(jī)不確定性法與有限差分法相結(jié)合,得到不確定性場(chǎng)控制方程的隨機(jī)解耦方程組,發(fā)展出用來(lái)隨機(jī)自然對(duì)流模擬的不確定性量化方法.Li 等[28]基于廣義多項(xiàng)式混沌展開(kāi)和Galerkin 投影將隨機(jī)對(duì)流擴(kuò)散方程轉(zhuǎn)化為一組耦合的確定性方程組,研究了兩類隨機(jī)輸入分布數(shù)值格式對(duì)不確定性量化結(jié)果的影響.Em-Alrani 等[29]和Ma 和Zabaras[30]提出了一種穩(wěn)定化隨機(jī)有限元方法來(lái)求解隨機(jī)不可壓縮Navier-Stokes 方程與隨機(jī)多孔介質(zhì)內(nèi)流體自然對(duì)流.Chakraborty 和Chowdhury[31]提出了一種稱為基于廣義方差分析(ANOVA)的Galerkin 投影新算法,并成功應(yīng)用于求解隨機(jī)Navier-Stokes 方程與隨機(jī)穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問(wèn)題.由于侵入式方法需要修改控制方程及重新編寫(xiě)程序代碼,這給侵入式方法的工程應(yīng)用帶來(lái)了困難,因此近年來(lái)侵入式方法的相關(guān)文獻(xiàn)很少.

本文提出了一種基于侵入式多項(xiàng)式混沌展開(kāi)法的隨機(jī)多孔介質(zhì)內(nèi)順磁性流體熱磁對(duì)流不確定性量化方法,構(gòu)建出熱磁對(duì)流不確定性量化的隨機(jī)數(shù)理模型與有限元程序框架,對(duì)隨機(jī)多孔介質(zhì)內(nèi)順磁性流體熱磁對(duì)流進(jìn)行不確定性量化.

1 物理模型與控制方程

1.1 物理模型

圖1 給出熱磁對(duì)流物理模型和坐標(biāo)系統(tǒng),4 塊磁體置于充滿順磁性流體的多孔介質(zhì)方腔四周.多孔介質(zhì)方腔左右側(cè)壁面分別等溫加熱與冷卻,其他壁面絕熱.方腔無(wú)量綱尺寸、磁體無(wú)量綱尺寸、方腔與磁體無(wú)量綱距離分別為1,5/6,1/8.

圖1 熱磁對(duì)流物理模型Fig.1 Physical model of thermomagnetic convection

1.2 控制方程

順磁性流體熱磁對(duì)流控制方程包括質(zhì)量守恒方程、多孔介質(zhì)動(dòng)量守恒方程和能量守恒方程,其無(wú)量綱控制方程如下.

質(zhì)量守恒方程

動(dòng)量守恒方程

能量守恒方程

熱磁對(duì)流無(wú)量綱控制方程中磁場(chǎng)分布采用標(biāo)量磁位法計(jì)算,通過(guò)求解Maxwell 方程組獲得磁感應(yīng)強(qiáng)度分布B

其中,B為無(wú)量綱磁感應(yīng)強(qiáng)度,(Bx,By);H為無(wú)量綱磁場(chǎng)強(qiáng)度,(Hx,Hy);U為無(wú)量綱速度,(U,V);P為無(wú)量綱壓力;θ為無(wú)量綱溫度;τ為無(wú)量綱時(shí)間;ε為孔隙率;eg為重力方程的單位矢量;Pr為普朗特?cái)?shù);Ra為瑞利數(shù);Da為達(dá)西數(shù);γ為磁場(chǎng)力數(shù).

2 侵入式不確定性量化方法

2.1 輸出隨機(jī)參數(shù)Karhunen-Loeve (KL)展開(kāi)

考慮多孔介質(zhì)孔隙率ε具有不確定性,以ε(X,ω)代表輸入隨機(jī)參數(shù)孔隙率,其中X∈D(參數(shù)空間),ω ∈Ω(概率空間).輸入隨機(jī)參數(shù)可以分解為ε(X,ω)=εˉ(X)+ε′(X,ω),其中 εˉ(X) 表示孔隙率均值,ε′(X,ω)為孔隙率擾動(dòng).通常采用協(xié)方差函數(shù)Rhh(X1,X2)=〈ε′(X1,ω),ε′(X2,ω)〉來(lái)描述輸入隨機(jī)參數(shù)隨機(jī)場(chǎng)的空間性質(zhì),協(xié)方差函數(shù)可分解為[32]

式中 λi和 φi分別為特征值和特征函數(shù).特征值和特征函數(shù)可通過(guò)求解Fredholm 方程的分析解得到

由此,ε(X,ω) 可表示為

式中 ξi(ω) 為0 均值單位方差的正交高斯隨機(jī)變量.

將KL 展開(kāi)截?cái)喑捎邢揄?xiàng),截取前m項(xiàng)為KL 展開(kāi)最終表述形式為

對(duì)于二維隨機(jī)場(chǎng),協(xié)方差函數(shù)可寫(xiě)為Rhh(X1,X2)=σ2exp(-|X1-X2|/η-|Y1-Y2|/η),其中σ2與η 分別為方差及相關(guān)長(zhǎng)度.

2.2 輸出響應(yīng)量多項(xiàng)式混沌展開(kāi)

輸出響應(yīng)量分布特征未知,可以采用多項(xiàng)式混沌展開(kāi)描述輸出響應(yīng)量不確定性,其緊湊格式可表示為

實(shí)際應(yīng)用中多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展通常截?cái)喑捎邢揄?xiàng).因此,方程(10)可簡(jiǎn)化為

擴(kuò)展項(xiàng)總數(shù)(P+1)由隨機(jī)維數(shù)m與多項(xiàng)式展開(kāi)最高階數(shù)n決定

因此控制方程中的速度、溫度及壓力通過(guò)多項(xiàng)式混沌展開(kāi)可表示為

2.3 輸入隨機(jī)參數(shù)非線性函數(shù)隨機(jī)譜展開(kāi)

孔隙率 ε(X,ω) 基于KL 展開(kāi)寫(xiě)成

控制方程(2) 包含 ε(X,ω) 的非線性函數(shù),因此首先需要應(yīng)用拉丁超立方抽樣蒙特卡羅法將非線性函數(shù)表示為多項(xiàng)式基

2.4 基本譜分解技術(shù)解耦無(wú)量綱控制方程

將方程式(13)～ 式(15)代入控制方程式(1)～式(3),可得方程式(16)～ 式(18)

然后對(duì)方程式(16)～ 式(18)進(jìn)行Galerkin 映射,并基于多項(xiàng)式的正交性可得方程

采用同樣的方法可以得到速度與溫度邊界條件:(1)速度邊界

(2)溫度邊界

附錄給出了m=1,n=2 時(shí)解耦控制方程式(19)～式(21)的多項(xiàng)式混沌展開(kāi)式.

2.5 不確定性量化程序流程

基于侵入式多項(xiàng)式混沌展開(kāi)法的熱磁對(duì)流不確定性量化程序流程如圖2 所示,該算法的計(jì)算流程如下:

圖2 不確定性量化流程圖Fig.2 Flowchart of uncertainty quantification

(1)應(yīng)用KL 展開(kāi)對(duì)已知協(xié)方差函數(shù)的輸入隨機(jī)參數(shù)進(jìn)行展開(kāi),應(yīng)用拉丁超立方抽樣蒙特卡羅法對(duì)多孔介質(zhì)孔隙率非線性項(xiàng)進(jìn)行多項(xiàng)式混沌展開(kāi);

(2)采用多項(xiàng)式混沌對(duì)輸出響應(yīng)量進(jìn)行展開(kāi),基于譜分解技術(shù)將熱磁對(duì)流控制方程解耦成一組確定性控制方程;

(3)應(yīng)用磁場(chǎng)控制方程求解熱磁對(duì)流控制方程中的磁場(chǎng)力源項(xiàng) ?B2;

(4)通過(guò)插值方法對(duì)輸入隨機(jī)參數(shù)特征值與特征函數(shù)、磁場(chǎng)分布進(jìn)行插值,應(yīng)用有限元求解解耦熱磁對(duì)流控制方程獲得輸出響應(yīng)量多項(xiàng)式混沌展開(kāi)系數(shù);

(5)利用所得多項(xiàng)式混沌展開(kāi)系數(shù),評(píng)估輸出響應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)特性、輸出響應(yīng)量的混沌效應(yīng)和輸出響應(yīng)量的概率密度分布函數(shù)(PDF)與累積分布函數(shù)(CDF).

3 結(jié)果分析與討論

隨機(jī)多孔介質(zhì)內(nèi)順磁性流體熱磁對(duì)流不確定性量化研究中固定Pr=1,Ra=1 × 105,Da=1 × 10-3,γ=25,(X)=0.6,η=1.0,σ=0.1.圖3 與圖4 分別給出了輸入隨機(jī)參數(shù)KL 展開(kāi)的特征值與特征函數(shù).由圖3 可知,特征值隨著隨機(jī)維數(shù)增加而快速衰減,取前6 項(xiàng)特征值和特征函數(shù)即滿足要求,因此本研究中取m=6.表1 給出了不同多項(xiàng)式混沌展開(kāi)階數(shù)下熱壁面平均Nusselt 數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差,當(dāng)n=2 時(shí)可以保證不確定性量化精度.因此,P+1=(m+n)!/(m!n!)=(6+2)!/(6!2!)=28,共需耦合求解28組控制方程,即112 個(gè)控制方程.解耦熱磁對(duì)流控制方程采用有限元求解,網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)目為60 × 60.

圖3 孔隙率KL 展開(kāi)中協(xié)方差核特征值Fig.3 Eigenvalues of covariance kernel used in the KL expansion of porosity

圖4 孔隙率KL 展開(kāi)中協(xié)方差核特征函數(shù)Fig.4 Eigenfunction of covariance kennel used in the KL expansion of porosity

圖4 孔隙率KL 展開(kāi)中協(xié)方差核特征函數(shù)(續(xù))Fig.4 Eigenfunction of covariance kennel used in the KL expansion of porosity (continued)

表1 多項(xiàng)式混沌展開(kāi)階數(shù)對(duì)平均Nusselt 數(shù)均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差的影響Table 1 Influence of order of polynomial chaos expansion on mean value and standard deviation of average Nusselt number

3.1 輸出響應(yīng)量均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差

圖5 與圖6 分別給出了基于侵入式多項(xiàng)式混沌展開(kāi)法與蒙特卡羅法的輸出響應(yīng)量均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差,兩種方法下的輸出響應(yīng)量均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差非常吻合,表明侵入式多項(xiàng)式混沌展開(kāi)法能夠有效地模擬多孔介質(zhì)孔隙率不確定性在順磁性流體熱磁對(duì)流的演化與傳播.從圖5 可看出,順磁性流體受到磁浮升力與重力浮升力共同作用形成相互對(duì)持的局面,方腔內(nèi)順磁性流體流動(dòng)呈現(xiàn)分層流動(dòng)現(xiàn)象,方腔上部形成一個(gè)逆時(shí)針?lè)较蛄鲃?dòng)的漩渦而下部形成一個(gè)順時(shí)針?lè)较蛄鲃?dòng)的漩渦.溫度場(chǎng)分布規(guī)律表明,熱壁面等溫線稠密區(qū)出現(xiàn)上下部而冷壁面等溫線稠密區(qū)出現(xiàn)在中部.從圖6 可以看出,由于孔隙率不確定性通過(guò)動(dòng)量方程演化進(jìn)而影響能量方程,因此其對(duì)溫度場(chǎng)的影響明顯小于對(duì)速度場(chǎng)的影響.由于腔體壁面的黏滯效應(yīng),流函數(shù)最大標(biāo)準(zhǔn)偏差區(qū)域出現(xiàn)在方腔左側(cè)中部,而方腔壁面附近流函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)偏差較小,溫度場(chǎng)最大標(biāo)準(zhǔn)偏差區(qū)域出現(xiàn)方腔的左右側(cè)中部.

圖5 不同不確定性量化方法下流函數(shù)與溫度場(chǎng)均值Fig.5 Mean value of stream function and temperature field with different uncertainty quantification methods

圖6 不同不確定性量化方法下流函數(shù)與溫度場(chǎng)標(biāo)準(zhǔn)偏差Fig.6 Standard deviation of stream function and temperature field with different uncertainty quantification methods

圖7 是基于侵入式多項(xiàng)式混沌展開(kāi)法與蒙特卡羅法的熱壁面局部Nusselt 數(shù)分布均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差比較,可以看出兩者吻合良好.從熱壁面局部Nusselt 數(shù)均值變化規(guī)律來(lái)看,順磁性流體在重力與磁場(chǎng)力的相互作用下,由于方腔左側(cè)壁面下部區(qū)域磁場(chǎng)力與重力相互協(xié)同,因此該區(qū)域傳熱能力增強(qiáng);而上部區(qū)域,磁場(chǎng)力與重力相互對(duì)抗,傳熱能力減弱.熱壁面局部Nusselt 數(shù)標(biāo)準(zhǔn)偏差與均值具有類似的變化規(guī)律.圖8 給出了兩種方法下熱壁面平均Nusselt 數(shù)概率密度分布函數(shù)與累積分布函數(shù),兩者吻合良好.

圖7 不同不確定性量化方法下熱壁面局部Nusselt 數(shù)分布Fig.7 Distribution of local Nusselt number at the hot wall with different uncertainty quantification methods

圖8 不同不確定性量化方法下熱壁面平均Nusselt 數(shù)概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)Fig.8 Probability density function and cumulative distribution function of average Nusselt number at hot wall with different uncertainty quantification methods

3.2 輸出響應(yīng)量混沌效應(yīng)

圖9 給出了一階模式下的流函數(shù),第1 模式流函數(shù)與流函數(shù)平均值具有相似的輪廓,而流函數(shù)第2～ 6 個(gè)模式呈現(xiàn)出混沌效應(yīng).圖10 給出了一階模式下的溫度場(chǎng),一階模式下的溫度場(chǎng)在溫度場(chǎng)不確定性中占主導(dǎo)地位,第1 模式下的溫度場(chǎng)與溫度場(chǎng)標(biāo)準(zhǔn)偏差相類似,并且呈現(xiàn)出與溫度場(chǎng)平均值明顯的差異,而溫度場(chǎng)第2～ 6 個(gè)模式具有一定的混沌效應(yīng).從控制方程可知,多孔介質(zhì)孔隙率不確定性主要通過(guò)動(dòng)量方程影響著方腔內(nèi)順磁性流體流動(dòng),而順磁性流體流動(dòng)通過(guò)能量方程演化導(dǎo)致溫度場(chǎng)波動(dòng),即溫度場(chǎng)不確定性主要由速度場(chǎng)控制,這就造成孔隙率不確定性對(duì)溫度場(chǎng)的影響小于對(duì)速度場(chǎng)的影響.最后,應(yīng)該注意的是流函數(shù)與溫度場(chǎng)的平均值至少比一階模式下的流函數(shù)與溫度場(chǎng)高一個(gè)數(shù)量級(jí).圖11 給出了二階模式下的部分流函數(shù)與溫度場(chǎng).二階模式下的流函數(shù)與溫度場(chǎng)呈現(xiàn)出顯著的混沌效應(yīng),一階模式下的流函數(shù)與溫度場(chǎng)數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于二階模式下的流函數(shù)與溫度場(chǎng)數(shù)值,反映出隨機(jī)輸出響應(yīng)量多項(xiàng)式混沌展開(kāi)具有快速收斂的特性.

圖9 流函數(shù)一階模式Fig.9 First-order modes of stream function

圖9 流函數(shù)一階模式(續(xù))Fig.9 First-order modes of stream function (continued)

圖10 溫度場(chǎng)一階模式Fig.10 First-order modes of temperature field

圖11 流函數(shù)與溫度場(chǎng)二階模式Fig.11 Second-order modes of stream function and temperature field

4 結(jié)論

提出了一種基于侵入式多項(xiàng)式混沌展開(kāi)的隨機(jī)多孔介質(zhì)內(nèi)順磁性流體熱磁對(duì)流不確定性量化方法,研究了孔隙率不確定性在熱磁對(duì)流控制方程中的傳播規(guī)律與演化特征,主要結(jié)論如下.

(1) 基于侵入式多項(xiàng)式混沌展開(kāi)實(shí)現(xiàn)了隨機(jī)多孔介質(zhì)內(nèi)順磁流性流體熱磁對(duì)流的不確定性量化.通過(guò)譜分解將熱磁對(duì)流隨機(jī)控制方程轉(zhuǎn)化為一組解耦確定性控制方程并編制了相應(yīng)的計(jì)算程序.該方法為計(jì)算流體力學(xué)不確定性量化問(wèn)題的求解提供了一條有效的途徑.

(2) 量化了隨機(jī)多孔介質(zhì)內(nèi)順磁性流體熱磁對(duì)流的傳播規(guī)律與統(tǒng)計(jì)特征.輸入隨機(jī)參數(shù)通過(guò)隨機(jī)熱磁對(duì)流控制方程傳播與演化,進(jìn)而影響著順磁性流體熱磁對(duì)流,順磁性流體熱磁對(duì)流呈現(xiàn)出顯著的混沌效應(yīng).輸出響應(yīng)量呈現(xiàn)出快速收斂的特性,一階模式下流函數(shù)與溫度場(chǎng)數(shù)值至少比相應(yīng)的平均值低一個(gè)數(shù)量級(jí),而二階模式下流函數(shù)與溫度場(chǎng)數(shù)值遠(yuǎn)小于一階模式的數(shù)值.

(3) 比較了基于侵入式多項(xiàng)式混沌展開(kāi)法與蒙特卡羅法兩種方法下隨機(jī)多孔介質(zhì)內(nèi)順磁性流體熱磁對(duì)流問(wèn)題的統(tǒng)計(jì)特征,統(tǒng)計(jì)特征非常吻合.計(jì)算效率方面,與蒙特卡羅法相比,侵入式多項(xiàng)式混沌展開(kāi)法在相同的精度下具有較小的計(jì)算量.

附錄

隨機(jī)維數(shù)m=1,多項(xiàng)式混沌展開(kāi)最高階數(shù)n=2 時(shí)控制方程式(19)～ 式(21)的多項(xiàng)式混沌展開(kāi)式如下

模式0 (方程式(A1)～ 式(A3))

模式1 (方程式(A4)～ 式(A6))

模式2 (方程式(A7)～式(A10))