具斥力函數(shù)的奇異Cucker-Smale模型的漸近免碰撞集群

徐興海，劉宏亮，歐陽自根，肖其珍

(南華大學 數(shù)理學院,湖南 衡陽 421001)

0 引 言

在自然界中，大量的生物體在成群結(jié)隊運動時往往會形成穩(wěn)定且規(guī)律的運動狀態(tài)，如成群結(jié)隊南飛的雁群、結(jié)伴捕獵的狼群以及草原遷移的野牛。這些群體現(xiàn)象表現(xiàn)出來的自發(fā)、穩(wěn)定、協(xié)助一致的特征引起了生物、數(shù)學、控制等方面學者的廣泛關(guān)注。如1986年，C.W.Reynolds[1]給出集群的三個核心要點:體積排斥、速度對齊和聚集傾向。1995年，T.Vicsek[2]從統(tǒng)計學的角度建立了后被稱為Vicsek來刻畫粒子集群行為。2007年，F(xiàn).Cucker與S.Smale利用通信函數(shù)描繪個體間的相互作用，建立Cucker-Samle[3](以下簡稱C-S)模型，從數(shù)學方面闡述集群問題，其模型如下：

(1)

其中xi∈Rd，vi∈Rd，(i=1，2，3，…，N)分別表示第i個智能體在t時刻的位置和速度，φ(r)=1/(1+r2)β為通信權(quán)函數(shù)，K1是耦合強度。此后，該模型引起了許多學者廣泛的關(guān)注，如R.Mauro[4]考慮了智能體間信息交互的延時性，并得到系統(tǒng)能夠形成集群的充分條件。Y.Z.Sun[5]等人考慮了隨機噪聲干擾的情況，得出當通信函數(shù)存在正下界且噪聲在某個可控范圍時，集群仍然會發(fā)生的結(jié)論。J.H.Shen[6]提出具有等級制度下的集群模型后，并證明了在連續(xù)的情況下只要β≤1/2，系統(tǒng)就會發(fā)生無條件漸進集群。后來C.H.Li[7]離散系統(tǒng)的角度，照樣獲取了同樣的結(jié)論。H.L.Liu[8-10]探究了有限時間集群，通過引用符號函數(shù)破壞系統(tǒng)的Lipschitz連續(xù)性來保證系統(tǒng)的有限時間集群性。S.Y.Ha[11-12]引入粒子間排斥力，證明了當系統(tǒng)的初始值限定在一定范圍內(nèi)，系統(tǒng)中的粒子就不會發(fā)生碰撞。F.Cucker與J.G.Dong[13-15]等引入合力函數(shù)和利用能量函數(shù)方法證明了當β<1時，系統(tǒng)達到無條件且免碰撞的漸進集群。β>1時，系統(tǒng)的初始值要滿足一定的條件時才能到達免碰撞集群。特別地，J.A.Carrillo[16-17]使用奇異的通信函數(shù)φ(r)=1/rα來避免碰撞，得到當α≤2時會形成無條件免碰撞集群。

本文受參考文獻[8，16]的啟發(fā)，建立以下模型：

(2)

其中

且初值記為

(xi(0)，vi(0))=(xi0，vi0)，

(3)

‖·‖是歐式范數(shù)，R是智能體控制預(yù)設(shè)距離，K1，K2是耦合強度皆為正常數(shù)。

為了敘述上的方便，首先給出必要的假設(shè)以及集群的定義。

(4)

則稱系統(tǒng)(2)～系統(tǒng)(3)形成免碰撞的漸進集群。

1 解的全局存在唯一性

為了說明系統(tǒng)(2)～系統(tǒng)(3)全局解的存在性，先給出位移差與速度的一致有界性引理。

和

證明：設(shè)能量函數(shù)

(5)

沿著系統(tǒng)(2)對E(x，v)求關(guān)于t的全導數(shù)得

〈vi(t)-vj(t)，(xi-xj)=

(6)

記

又因為E(x，v)在t∈[0，T)上非增非負，有E(x，v)≤E(0)。顯然

證明：設(shè)T>0。需要證明系統(tǒng)(2)在[0，T]上存在唯一解。然而，由于在t=0時粒子有不同的位置，且權(quán)函數(shù)僅在r=0處奇異，因此局部唯一光滑解是存在的。那么就有兩種可能性：在區(qū)間[0，T]粒子不發(fā)生碰撞，解可以延拓到[0，T]。或者存在t0∈(0，T]第一次發(fā)生碰撞，那么解唯一存在且光滑的區(qū)間為[0，t0)，假設(shè)這樣的t0存在，然后根據(jù)它的定義，存在一個粒子S=1，2，3，…，N使得第S個粒子與其他一些粒子發(fā)生碰撞，用集合S表示這些碰撞粒子的集合，即有

其中，集合S中的元素個數(shù)|S|>1。同時設(shè)

2‖X(t)‖S‖V(t)‖S。

從而

(7)

另外

(8)

首先，對J1做估計。由于對稱性，交換累加順序易得

(9)

同理

(10)

根據(jù)式(9)和式(10)，計算得

(11)

此外，注意到對任意i，j∈S，有

‖xi(t)-xj(t)‖≤‖X(t)‖S，

且φ(·)非增，于是

(12)

緊接著對J2進行分析。由φ(·)滿足假設(shè)和L(δ)是Lipschitz常數(shù)，有

vi(t))-φ(rkj)(vk(t)-vj(t))〉+

vj(t)，(φ(rki)-φ(rkj)(vk(t)-vj(t)))〉-

φ(rkj)(vk(t)-vj(t)))〉。

(13)

注意到在引理1中‖vk(t)-vj(t)‖≤2C，所以由Cachy-Schwarz不等式可得

4CJ2‖X(t)‖S‖V(t)‖S，

(14)

類似J1的方法，下面對J3進行估計

‖f(rki)(xk(t)-xi(t))‖≤

xi(t)‖m-R|×‖xk(t)-xi(t)‖m-1‖vk(t)-

vi(t)‖≤2CJ3‖V(t)‖S，

(15)

為了更好的對J4進行估計，先對f(rij(t))進行討論，當i，j∈S，k?S時，有‖xi(t)-xk(t)‖∈[δ，xc]，此時f(rij(t))是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，那么一定存在常數(shù)C1，C2有

‖f(rki)-f(rkj)‖≤C1‖rki-rkj‖，

‖f(rij(t))‖≤C2。

于是可得

vj(t)，f(rkj)(xj(t)-xi(t))〉≤

‖(f(rki)-f(rkj))(xk(t)-xj(t))‖≤

‖xi(t)-xj(t)‖≤2CJ4‖X(t)‖S‖V(t)‖S，

(16)

聯(lián)立式(12)～式(16)，則有

4CJ2‖X(t)‖S‖V(t)‖S+2CJ3‖V(t)‖S+

2CJ4‖X(t)‖S‖V(t)‖S。

(17)

因‖V(0)‖S≠0，故‖V(t)‖S?0，將式(17)左右兩邊同時約去2‖V(t)‖S，可得

2CJ2‖X(t)‖S+CJ3+CJ4‖X(t)‖S。

(18)

根據(jù)式(7)，式(18)可化為

2CJ2‖X(t)‖S+CJ3+CJ4‖X(t)‖S。

(19)

將式(19)左右兩邊從0到t(t∈[0，t0))積分，

即

(20)

顯然，式(20)的右邊有界，而左邊

這顯然矛盾。因此解在[0，T]上存在且唯一。又由T是任意性，解最終可以延拓到無窮。也即t0→+∞，都有‖xi(t)-xj(t)‖≠0，i，j∈1，2，3，…，N，i≠j。證畢。

2 集群的充分條件

定理2 設(shè)定理2成立，那么系統(tǒng)(2)～系統(tǒng)(3)會形成免碰撞漸近集群。

(21)

注意到在假設(shè)中，φ非增非負。又由式(21)可推出

E(0)-E(t)≤E(0)

(22)

從而，進一步得到

對‖V(t)‖2求關(guān)于t的導數(shù)得到

vj(t))，f(rki)(xk(t)-xj(t)))〉‖≤

2Nφ(xc)‖V(t)‖2+

2C2N‖V(t)‖‖X(t)‖。

(23)

3 仿真實驗結(jié)果與分析

例1 設(shè)m=1.2，初始位移v0位于區(qū)間[-5，5]且不相同的隨機數(shù)，初始速度v0位于區(qū)間[-5，5]的隨機數(shù)。通過使用Python數(shù)值模擬，得到圖1～圖4。由圖1，圖2可得，粒子相對位移不變，粒子的速度趨于一致，即粒子形成了漸進集群。在圖3，圖4中可以看出粒子最大位移差一致有界，期間最小位移差恒大于0。那么無碰撞漸進集群是可達的，從而展現(xiàn)了第三節(jié)結(jié)果是合理的。

圖1 粒子的位移Fig.1 Displacement of particles

圖2 粒子的速度Fig.2 Speed of the particles

圖3 粒子的最小位移差Fig.3 Minimum displacement difference of particles

例2 設(shè)m=1.8，初始位移v0位于區(qū)間[-5，5]且不相同的隨機數(shù)，初始速度v0位于區(qū)間[-5，5]的隨機數(shù)。如圖5～圖8所示，粒子經(jīng)過一段時間后速度趨于一致，相對位移不變，粒子間最大位移差一致有界，全局過程中粒子間最小位移差恒大于0。那么無碰撞的漸進集群是可實現(xiàn)的。

圖4 粒子的最大位移差Fig.4 Maximum displacement difference of particles

圖5 粒子的位移Fig.5 Displacement of particles

圖6 粒子的速度Fig.6 Speed of the particles

圖7 粒子的最小位移差Fig.7 Minimum displacement difference of particles

圖8 粒子的最大位移差Fig.8 Maximum displacement difference of particles

4 結(jié) 論

本文對多智能體系統(tǒng)免碰撞集群做出了研究，通過排斥力與奇異值函數(shù)結(jié)合的方法來避免智能體集群的碰撞，將可能發(fā)生的碰撞問題轉(zhuǎn)化為微分方程解的存在性問題，利用能量函數(shù)證明位移差的一致有界性與速度的一致有界性，在初值不發(fā)生碰撞的情況下，多智能體系統(tǒng)會形成漸進免碰撞集群。解決了多智能體系統(tǒng)的防碰撞問題，在無人機飛行應(yīng)用中有重要實際意義。