高階相關(guān)峭度反卷積逆濾波器及磁導(dǎo)航野點(diǎn)識(shí)別?

黃卓群 楊光永 程 滿 劉 葉

（云南民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院 昆明 650500）

1 引言

AGV是輪式移動(dòng)機(jī)器人的一種典型代表，它通常采用磁條導(dǎo)航來預(yù)設(shè)行駛路線，將磁條粘貼在地面上，AGV 循跡磁條來進(jìn)行移動(dòng)。在AGV 行駛過程中，由于實(shí)際環(huán)境較為復(fù)雜，例如磁條兩側(cè)會(huì)有磁條碎片或雜散磁場(chǎng)而導(dǎo)致的磁條磁場(chǎng)發(fā)生變化使得傳感器獲取到包含異常點(diǎn)的信號(hào)，從而降低了機(jī)器人的行駛平穩(wěn)性，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)餉GV脫軌。異常點(diǎn)指小部分樣本嚴(yán)重偏離動(dòng)態(tài)目標(biāo)變化趨勢(shì)的偽數(shù)據(jù)，或遠(yuǎn)離動(dòng)態(tài)目標(biāo)隨機(jī)過程的離群值［1］，它是一項(xiàng)主要涵蓋傳感器技術(shù)、信號(hào)處理技術(shù)、模式識(shí)別技術(shù)、統(tǒng)計(jì)學(xué)和算法分析等多種技術(shù)與學(xué)科為一體的綜合性的研究方向，在目標(biāo)跟蹤、圖像信號(hào)處理、精密測(cè)量、病理分析、故障識(shí)別、刑事偵查、野生動(dòng)物保護(hù)，甚至宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控、特困扶貧、反恐防恐、交通指揮、德育教育等領(lǐng)域都有廣泛而深遠(yuǎn)的研究?jī)r(jià)值和應(yīng)用前景。異常點(diǎn)作為一種非平穩(wěn)分布的隨機(jī)過程，其模式識(shí)別和消除是導(dǎo)航信號(hào)感知和信號(hào)處理的重要任務(wù)。1983 年，Dw?yer 第一次提出了譜峭度的含義，峭度是一個(gè)無量綱參數(shù)或者統(tǒng)計(jì)量。峭度對(duì)信號(hào)中的瞬態(tài)成分十分敏感，常被用于滾動(dòng)軸承的狀態(tài)監(jiān)測(cè)以及故障診斷中。由于磁導(dǎo)航信號(hào)在野點(diǎn)干擾下，趨于非平穩(wěn)分布，故將峭度的含義引入磁導(dǎo)航信號(hào)處理辦法中。2012 年，McDonald 提出了最大相關(guān)峭度反卷積算法，在早期，該算法被用于故障信號(hào)的檢測(cè)。文獻(xiàn)［2］以輸出信號(hào)峭度的絕對(duì)值和接近性量度函數(shù)的乘積作為目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，有效避免了人為選擇閾值參數(shù)和步長(zhǎng)。文獻(xiàn)［3］以峭度絕對(duì)值為對(duì)比函數(shù)推導(dǎo)出一種一單元ICA-R固定點(diǎn)算法，避免了對(duì)比函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，簡(jiǎn)化了運(yùn)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)［5］提出了一種改進(jìn)的優(yōu)化學(xué)習(xí)算法，在牛頓迭代方向上增加精確線性搜索，從而使得算法的收斂性不依賴于μ的人為選擇。文獻(xiàn)［7］提出一種改進(jìn)的基于峭度的盲分離算法，可以自適應(yīng)地確定激活函數(shù)。文獻(xiàn)［8］針對(duì)雙梯度的盲源分離算法進(jìn)行了研究，以信號(hào)的峭度為代價(jià)函數(shù)對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)。文獻(xiàn)［9］通過建立步長(zhǎng)因子與峭度的平方和之間的非線性關(guān)系，提出了一種自適應(yīng)的自然梯度算法。文獻(xiàn)［10］提出了一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)率盲信源分離的自然梯度算法。文獻(xiàn)［11］提出了基于峰度的自適應(yīng)盲信號(hào)分離切換算法，用于語音信號(hào)盲分離處理?；诜宥鹊腂SS 切換算法在分離前后的信號(hào)波形和頻譜以及主要評(píng)估參數(shù)方面具有良好的信號(hào)分離效率，具有比JADE FOBI 算法更好的分離效率。文獻(xiàn)［12］作者使用最大三階相關(guān)峭度反卷積算法對(duì)激光位移信號(hào)和多重反射信號(hào)進(jìn)行提取。文獻(xiàn)［13~14］提出了常見混合模型的盲源分離方法。文獻(xiàn)［15~16］主要闡述了改進(jìn)的獨(dú)立分量分析算法。傳統(tǒng)的自適應(yīng)濾波器、高階統(tǒng)計(jì)量濾波器或聚類等方法因缺乏先驗(yàn)知識(shí)，難以建立準(zhǔn)確的參考模型，出現(xiàn)病態(tài)、收斂速度快速降低等問題。因此，本文針對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，利用相關(guān)峭度來度量混合信號(hào)變化的統(tǒng)計(jì)特性，使用四階相關(guān)峭度反卷積（M4CKD）算法，針對(duì)于沒有任何參考模型的信號(hào)，對(duì)其進(jìn)行盲提取。

2 磁導(dǎo)航信息檢測(cè)

本實(shí)驗(yàn)采用的是八位磁導(dǎo)航傳感器，AGV 運(yùn)行時(shí)，采用了磁導(dǎo)航循跡偏差算法，我們將偏差零點(diǎn)設(shè)置在導(dǎo)航傳感器的中部位置，當(dāng)?shù)孛娲艞l位于傳感器中部時(shí)，此時(shí)的偏差為0。我們將8 位傳感器的中心位置的權(quán)值記為8.5，即在該位置AGV是無偏移行駛，AGV 行駛路徑圖如圖1所示。循跡偏差算法的表達(dá)式為

圖1 AGV行駛路徑圖

該式中，Si為每個(gè)位置磁導(dǎo)航傳感器的權(quán)值，M是觸發(fā)磁導(dǎo)航傳感器的個(gè)數(shù)，ε為偏移距離。

3 算法模型

3.1 最大相關(guān)峭度反卷積算法

在2012 年，McDonald 提出了最大相關(guān)峭度反卷積算法，該算法早前用于軸承故障檢測(cè)，對(duì)故障信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)。

離散信號(hào)為：y(n)=h(n)*x(n)+e(n)，x(n)是原始序列，e(n)是噪聲，y(n)是輸出信號(hào)，h(n)是系統(tǒng)函數(shù)。該算法主要是要尋找一個(gè)FIR 濾波器，使得x(n) 的相關(guān)峭度達(dá)到最大時(shí)，由y(n) 恢復(fù)出x(n)。它主要針對(duì)的是原始序列中脈沖跳動(dòng)比較大的信號(hào)，對(duì)其進(jìn)行處理，將相關(guān)峭度作為代價(jià)函數(shù)，當(dāng)原始信號(hào)的相關(guān)峭度達(dá)到最大時(shí)，迭代終止。最大相關(guān)峭度反卷積算法中相關(guān)峭度的定義為

其中，T為信號(hào)的周期，M為位移數(shù)。M的數(shù)量越多，反卷積的脈沖序列也就越多，更有利于提高算法的檢測(cè)能力。

3.2 算法設(shè)計(jì)

峭度CK是反映隨機(jī)變量分布特性的數(shù)值統(tǒng)計(jì)量是歸一化的4 階累積量。 用公式表示峭度，其中xi為信號(hào)值，xˉ為信號(hào)均值，N為采樣長(zhǎng)度，σt為標(biāo)準(zhǔn)差。

磁導(dǎo)航傳感器位于AGV 底部的正中心位置，接受到的n維原始信號(hào)為U(k)=[u1(k),u2(k),…,un(k)]T，n維觀測(cè)噪聲為N(k)=[n1(k),n2(k),…,nn(k)]T，該混合模型經(jīng)過一個(gè)系統(tǒng)傳遞函，其中p為延遲時(shí)間，則非平穩(wěn)信號(hào)的觀測(cè)序列X(k)為

設(shè)置Wp(k)為逆濾波器，該逆濾波器的傳遞函數(shù)為，可以得到觀測(cè)序列X(k)和逆濾波器Wp(k)的卷積輸出為

其中，y(k)=[y1(k),y2(k),…,yn(k)]T。

設(shè)輸出矢量y(k)的采樣周期為T，定義y(k)的四階相關(guān)峭度C(T)為

其中i=1,2,…,n。當(dāng)四階相關(guān)峭度達(dá)到最大時(shí)，逆濾波器獲得最優(yōu)迭代解Wopt(k) ，此時(shí)最優(yōu)解Wopt(k)與H(z)*N(k)的卷積為0，經(jīng)過濾波器輸出的異常點(diǎn)分量為0，磁導(dǎo)航原始信息被提取，表示為

對(duì)上式公式進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算，得到M4CKD 算法盲提取信號(hào)的輸出公式的一般形式為

圖2 混合信號(hào)提取系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

3.3 逆濾波器的解

對(duì)于求解逆濾波器Wp(k)，得到逆濾波器的最優(yōu)解的必要條件就是使四階相關(guān)峭度對(duì)逆濾波器的偏導(dǎo)數(shù)為0，即：，帶入表達(dá)式可得：

因?yàn)閄(k) 非平穩(wěn)信號(hào)，所以有設(shè)：

可得到：

即：

由此可求得逆濾波器的最優(yōu)迭代解為

其 中 ：

4 算法分析

4.1 收斂性分析

四階相關(guān)峭度的變化趨勢(shì)可以利用反卷積輸出的增量來進(jìn)行考查，進(jìn)而可求解出四階相關(guān)峭度反卷積算法的收斂條件，分析該算法的收斂情況。設(shè)yi+1(k)=(1+τ)yi(k) ，其 中τ是 增 量 因 子，且0<τ<1。將Ci+1(T)在yi(k)處按照泰勒級(jí)數(shù)展開得：

對(duì)上式中的微分項(xiàng)求解可得到：

結(jié)合上式，可以得到：

因?yàn)?<ρ<1，y1(k)>0，可以得到ρ>0，又因?yàn)锳-B的跡決定了相關(guān)峭度的單調(diào)性，因此在反卷積逆濾波器的第i次迭代的過程中，如果有|A-B|≠0 ，則對(duì)于A-B的特征值λi滿足λi>0,i=1,2,…,n。 根 據(jù) tr(A-B)>0 可 以 推 得ΔCi(T)>0，所以四階相關(guān)峭度函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)。

設(shè)終止條件為φ，φ>0，在經(jīng)過有限次的迭代之后，ΔCi(T) 達(dá)到迭代終止條件，即0<ΔCi(T)<φ。此時(shí)，四階相關(guān)峭度Ci+1(T)有最大值，所對(duì)應(yīng)得逆濾波器迭代解Wp(k) 為最優(yōu)解，此時(shí)算法收斂，收斂條件可以表示為

4.2 穩(wěn)定性分析

分析M4CKD 的收斂性和收斂速度可知，當(dāng)A-B為奇異矩陣，即其特征值λi>0,i=1,2,…,n時(shí)，最大四階相關(guān)峭度反卷積算法收斂。考慮A-B的跡，可以得：

即滿足上述條件時(shí)，四階相關(guān)峭度反卷積算法穩(wěn)定，且此時(shí)AGV 行駛過程中的混合信號(hào)被盲提取。

5 算法驗(yàn)證

此實(shí)驗(yàn)使用的AGV包含8位磁導(dǎo)航傳感器，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖1 所示。AGV 小車沿著已鋪設(shè)的軌道運(yùn)行，在運(yùn)行過程中，當(dāng)磁導(dǎo)航傳感器感應(yīng)到地面磁條的信號(hào)和野點(diǎn)信號(hào)時(shí)，通過模擬前端會(huì)輸出磁條的位置偏移量信息，進(jìn)而對(duì)電機(jī)進(jìn)行差速控制驅(qū)動(dòng)，從而保證AGV能沿著預(yù)設(shè)軌道進(jìn)行無偏行駛。

圖3 磁導(dǎo)航野點(diǎn)識(shí)別實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

輸入一幀混合觀測(cè)信號(hào)，仿真后將得到輸出信號(hào)，逆濾波器的單位沖擊響應(yīng)和算法的迭代結(jié)果。設(shè)置算法迭代次數(shù)為20 次，濾波器的單位抽樣數(shù)為30，采樣周期T為5。仿真結(jié)果如下所示。

圖4是含有噪聲的輸入信號(hào)，根據(jù)該圖可以看出，在信號(hào)幅值處出現(xiàn)3 個(gè)波峰，其中波峰最高點(diǎn)對(duì)信號(hào)的影響最大，此處是引起AGV 行駛軌跡嚴(yán)重偏移閾值的主要原因。

圖4 加性噪聲輸入信號(hào)

根據(jù)圖5 可以看出波峰中帶有的噪聲信號(hào)和其余部位帶有的噪聲信號(hào)經(jīng)過逆濾波器之后被濾除，恢復(fù)出的源信號(hào)相較于之前的帶有噪聲的信號(hào)，信噪比更好，變得更加平滑。

圖5 信號(hào)經(jīng)逆濾波器后的輸出

圖6表示的是混合信號(hào)經(jīng)過采樣周期為5的逆濾波器單位響應(yīng)，該單位響應(yīng)的圖像類似于正弦函數(shù)。其幅度范圍大概在-0.15~+0.3之間。

圖6 逆濾波器的單位響應(yīng)

圖7 峰值提取

根據(jù)信號(hào)經(jīng)過逆濾波器的輸出，我們可以提取出最大峰值，通過仿真結(jié)果可以得出，信號(hào)在x=491處被提取，其幅值為53.7187。

圖8是相關(guān)峭度與迭代次數(shù)的關(guān)系，迭代次數(shù)在1~6 之間相關(guān)峭度在逐漸增大，收斂速度非常快，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到6 次以后，相關(guān)峭度達(dá)到最大值，此時(shí)反卷積算法收斂并且趨于穩(wěn)定，且盲提取誤差達(dá)到了9e-4，算法終止迭代。

圖8 相關(guān)峭度與迭代次數(shù)

根據(jù)圖4 和圖5 可以看出，在經(jīng)過逆濾波器之后，輸出的信號(hào)的幅值都有了提高，主要是因?yàn)闉V波器的系數(shù)所產(chǎn)生的影響，當(dāng)β越小時(shí)，y(k)就越大。因?yàn)楸疚闹饕菍?duì)包含異常點(diǎn)的信號(hào)進(jìn)行盲提取后恢復(fù)出源信號(hào)，并且濾除其中的噪聲。我們?cè)趯?duì)峰值檢測(cè)時(shí)，檢測(cè)的是其位移，所以可以忽略幅值變化，其并不會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響。在進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)，如果調(diào)整噪聲參數(shù)，迭代的次數(shù)也會(huì)發(fā)生變化，當(dāng)調(diào)整了高斯白噪聲的功率大小，并進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

表1 高斯噪聲參數(shù)與迭代次數(shù)的關(guān)系

經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)仿真后，可以發(fā)現(xiàn)調(diào)整噪聲參數(shù)的大小與迭代次數(shù)之間是有一定關(guān)系的，隨著噪聲參數(shù)的值越大，迭代的次數(shù)會(huì)越大，收斂速度將會(huì)變慢，而且這些參數(shù)控制在0.3~1 之間的效果是較好的，之后的參數(shù)值繼續(xù)增大，混合信號(hào)的盲提取效果會(huì)變得很不理想，且收斂速度會(huì)更加緩慢。所以觀測(cè)序列的噪聲功率大小與算法的收斂速度有關(guān)，隨著噪聲功率越大，峭度的突變信息會(huì)越明顯，相關(guān)峭度的梯度值也就越大。

6 結(jié)語

在本文中，以四階峭度反卷積算法對(duì)AGV 行駛過程中所產(chǎn)生的混合信號(hào)進(jìn)行識(shí)別和盲提取，通過對(duì)濾波器進(jìn)行迭代，求出最優(yōu)的迭代解，使AGV能夠在預(yù)設(shè)的軌道上準(zhǔn)確平穩(wěn)的運(yùn)行。另外對(duì)算法的收斂性和穩(wěn)定性做了論證推導(dǎo)，并對(duì)算法進(jìn)行仿真分析。結(jié)果表明，該算法相比于傳統(tǒng)的算法，在收斂速度和穩(wěn)定性方面都有了一定的提升，但在處理復(fù)雜度較高的信號(hào)時(shí)，例如多個(gè)波峰的情況下，由于波峰之間的濾波過程也會(huì)存在一定的影響，所以輸出的結(jié)果也會(huì)有所不同，該算法的性能有待加強(qiáng)。