基于哈密頓原理軸向運(yùn)動(dòng)紗線的振動(dòng)特性研究

李 楊， 胡旭東， 彭來湖， 鄭秋揚(yáng)

(浙江理工大學(xué) 浙江省現(xiàn)代紡織裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 浙江 杭州 310018)

紗線是纖維沿軸向方向經(jīng)加捻后形成的纖維集聚體，在織造過程中紗線受到外力作用時(shí)呈現(xiàn)極其復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特征[1-2]。紗線在傳輸過程中的穩(wěn)定性對織物的品質(zhì)、生產(chǎn)效率以及后續(xù)加工的順利進(jìn)行產(chǎn)生較大影響[3]。在織造過程中紗線振動(dòng)引起的張力變化，會(huì)使織物表面產(chǎn)生疏密不勻、高低不平等問題，影響產(chǎn)品質(zhì)量，降低織物等級[4]。因此，對紗線傳輸過程中的振動(dòng)特性分析顯得尤為重要。

紗線軸向運(yùn)動(dòng)的橫向振動(dòng)可轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)弦線的非線性振動(dòng)，很多學(xué)者對此進(jìn)行了研究。Swope等[5]利用狀態(tài)空間的復(fù)特征值確定弦的模態(tài)函數(shù)；Mote等[6]利用哈密頓Hamilton原理研究了軸向運(yùn)動(dòng)弦線的非線性振動(dòng)特性；Ames等[7]采用Galerkin截?cái)喾ㄓ懻摿思喚€周期激勵(lì)條件下的運(yùn)動(dòng)特性，建立了包含紗線速度、初始張力、橫向位移和線密度的控制方程。隨著研究的不斷深入，以兩端受約束的軸向運(yùn)動(dòng)紗線為研究對象，分析了主參激共振時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性[8]；以紗線傳輸速度和初始張力作為因變量，對紗線的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能進(jìn)行研究分析[9-10]。以往描述紗線大都為Lagrange范疇，而紗線運(yùn)動(dòng)模態(tài)較為復(fù)雜，基于此，本文采用哈密頓動(dòng)力學(xué)方法，研究了針織緯編生產(chǎn)中運(yùn)動(dòng)紗線的橫向振動(dòng)。通過研究紗線輸送速度和以紗線作為連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)的Hamilton雙變量的函數(shù)，并利用變分原理求解行進(jìn)紗線的對偶方程，以期對行進(jìn)紗線的特征值以及在不同傳輸速度下的自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)提供研究思路。

1 針織緯編紗線動(dòng)力學(xué)模型

針織緯編在生產(chǎn)過程中，紗線由于織機(jī)針筒的轉(zhuǎn)動(dòng)從紗筒上退繞，經(jīng)過輸紗器穿過導(dǎo)紗孔鉤在織針上[11]。紗線在運(yùn)動(dòng)過程中受到針織機(jī)初始張力激勵(lì)和織機(jī)機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的外部激勵(lì)發(fā)生振動(dòng)。這些激勵(lì)會(huì)造成紗線張力不穩(wěn)定，從而導(dǎo)致紗線輸送狀態(tài)產(chǎn)生變化。

圖1 軸向運(yùn)動(dòng)紗線模型

對軸向運(yùn)動(dòng)紗線系統(tǒng)的各變量和參數(shù)做無量綱化如下：

(1)

式中：c0為瞬時(shí)速度，s為運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

(2)

式中：Xi,η、uj,η分別為橫向、縱向位移分量。

該點(diǎn)的無量綱張力為：

(3)

在物質(zhì)坐標(biāo)系下，紗線的Lagrange運(yùn)動(dòng)微分方程為

(4)

在絕對坐標(biāo)系下，紗線的運(yùn)動(dòng)力學(xué)微分方程：

(5)

忽略紗線在空間中各方向的振動(dòng)，紗線的自由振動(dòng)微分方程為

uk,tt+2cuk,ηt+δ(uk,t+cuk,η)+

(6)

式中：qk(t)為紗線受到的外部激勵(lì)減去紗線靜止?fàn)顟B(tài)下受到的載荷。

此時(shí)，初始條件和邊界條件為

(7)

式中：αk(η)為紗線靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)位移構(gòu)形；βk(η)為織機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)紗線速度構(gòu)形。

2 紗線振動(dòng)模態(tài)函數(shù)

為方便求解，假設(shè)紗線在運(yùn)動(dòng)過程中所受阻尼為0，由式(6)得紗線的自由振動(dòng)微分方程為

(8)

式中：U=U(η,t)為紗線上一點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的橫向位移。邊界和初始條件為：

(9)

絕對坐標(biāo)系下紗線的無量綱Hamiltion函數(shù)為

(10)

引入U(xiǎn)(η,t)的對偶變量p=p(η,t)。根據(jù)變分原理，得到Hamilton對偶方程組為

(U(η,t),p(η,t))T

(11)

用分離變量法得出對偶方程組(11)的特征值：

(12)

式中：Φ(η)=(Φ1(η)，Φ2(η))T是特征向量；λ為特征值。

紗線在靜止時(shí)自由振動(dòng)的特征值為

(13)

(14)

3 軸向行進(jìn)紗線振動(dòng)響應(yīng)

3.1 軸向行進(jìn)紗線自由振動(dòng)響應(yīng)

針織生產(chǎn)過程中紗線的輸送狀態(tài)會(huì)隨著編織工藝的改變而發(fā)生變化。當(dāng)紗線軸向行進(jìn)速度為0時(shí)，由于自身重力會(huì)產(chǎn)生自由振動(dòng)。根據(jù)展開定理，紗線的橫向位移函數(shù)可表示為模態(tài)函數(shù)的疊加，即：

(15)

初始條件為

(16)

式中：

(17)

根據(jù)式(14)紗線振動(dòng)的辛共軛正交性條件，可得到紗線軸向行進(jìn)速度為0時(shí)的自由振動(dòng)響應(yīng)：

(18)

3.2 軸向行進(jìn)紗線受迫振動(dòng)響應(yīng)

假設(shè)織機(jī)在運(yùn)行過程中由各機(jī)構(gòu)振動(dòng)對紗線產(chǎn)生的耦合激勵(lì)為均勻激勵(lì)，紗線受迫振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(19)

式中：f(η,t)為作用在紗線上的載荷。紗線受迫振動(dòng)的對偶方程為

(20)

展開全狀態(tài)向量：

(21)

把紗線所受外部激勵(lì)函數(shù)h按照特征向量展開為

(22)

將紗線振動(dòng)對偶方程的展開全向量(22)和紗線外部激勵(lì)函數(shù)的特征向量代入紗線受迫振動(dòng)的對偶方程(20)，得：

(23)

對于紗線的受迫振動(dòng)，我們只考慮f(η,t)的第1項(xiàng)，得到紗線系統(tǒng)受迫振動(dòng)的特解：

(24)

4 數(shù)值分析和討論

為驗(yàn)證本文主要結(jié)果，以棉紗為例，初始張力T=120 cN、彈性模量E=7.84 MPa、長度S=1.2 m、線密度ρ=27.4 tex，進(jìn)行了數(shù)值模擬。通過算例分析了紗線不同速度下的模態(tài)，指出速度對模態(tài)的形狀和幅值的影響。此外，還討論了紗線的自由振動(dòng)響應(yīng)以及受迫振動(dòng)響應(yīng)。

4.1 紗線臨界速度響應(yīng)

考慮紗線自由振動(dòng)模態(tài)的前三階正交歸一化模態(tài)函數(shù)，我們對紗線在不同行進(jìn)速度下的模態(tài)進(jìn)行分析，指出行進(jìn)速度對模態(tài)的形狀和振動(dòng)幅值的影響。

圖2示出c=0.8,c0=1時(shí)的前三階模態(tài)函數(shù)?？梢钥闯鲭S著行進(jìn)速度的增大，模態(tài)實(shí)部幅值的絕對值隨之減小。反之，隨著行進(jìn)速度的增大，模態(tài)虛部的幅值的絕對值隨之增大。

圖2 行進(jìn)速度接近臨界速度時(shí)模態(tài)函數(shù)

為觀察紗線運(yùn)動(dòng)速度對模態(tài)的影響，以3種不同的速度c=0.0,c=0.5,c=1.0計(jì)算模態(tài)函數(shù)的實(shí)部。圖3示出不同運(yùn)動(dòng)速度下紗線的前三階模態(tài)實(shí)部函數(shù)?？梢钥闯瞿B(tài)函數(shù)的形狀與紗線的速度密切相關(guān)。紗線運(yùn)動(dòng)速度與模態(tài)函數(shù)的實(shí)部呈正相關(guān)關(guān)系。反之，紗線運(yùn)動(dòng)速度與前三階模態(tài)函數(shù)的周期為負(fù)相關(guān)關(guān)系。

圖3 不同速度下模態(tài)函數(shù)

4.2 紗線自由振動(dòng)響應(yīng)

在計(jì)算紗線的自由振動(dòng)時(shí)，設(shè)初始速度為0，初始構(gòu)形U=0.3η(η-1)。圖4示出紗線中間位置處c0=0.5時(shí)不同行進(jìn)速度下的響應(yīng)曲線，隨著行進(jìn)速度c的增大紗線振動(dòng)得響應(yīng)周期變大。圖5示出紗線在不同位置處的響應(yīng)曲線。隨著η的增大，響應(yīng)幅值逐漸增大，并且在中點(diǎn)處達(dá)到最大。

圖4 不同行進(jìn)速度的響應(yīng)

圖5 不同位置的響應(yīng)

4.3 紗線受迫振動(dòng)響應(yīng)

考慮無阻尼時(shí)紗線受迫振動(dòng)，對一個(gè)周期內(nèi)不同外激頻率、不同傳輸速度和不同項(xiàng)數(shù)構(gòu)形的影響。

圖6示出紗線中點(diǎn)位置處c=0.5,c0=1.8時(shí)一個(gè)周期內(nèi)的構(gòu)形，可看出構(gòu)形的幅值隨著時(shí)間的增大而減小。圖7示出為c=0.5,c0=1.8時(shí)紗線在不同運(yùn)動(dòng)速度時(shí)的構(gòu)形，可看出運(yùn)動(dòng)速度越大構(gòu)形幅值變化越大，周期變小。圖8示出c=0.5,c0=1.8,t=1.2時(shí)，取不同項(xiàng)數(shù)的模態(tài)函數(shù)疊加得到的構(gòu)形，n=2,n=3在時(shí)構(gòu)形基本重合，因此取前2項(xiàng)模態(tài)函數(shù)疊加即可計(jì)算出紗線橫向位移的大小。

圖6 一個(gè)周期內(nèi)構(gòu)形圖

圖7 不同行進(jìn)速度下的構(gòu)形圖

圖8 不同項(xiàng)數(shù)構(gòu)形圖

5 結(jié) 論

本文以針織緯編織機(jī)為例，建立了由儲(chǔ)紗器到織針導(dǎo)紗孔之間的運(yùn)動(dòng)紗線在Hamiltonian體系下的動(dòng)力學(xué)微分方程，引入紗線橫向位移的對偶變量，利用變分原理，得到行進(jìn)紗線的對偶方程組。根據(jù)分離變量法，求得紗線振動(dòng)的特征值和特征向量。利用辛共扼正交性條件和展開定理，得到了紗線自由振動(dòng)響應(yīng)。通過有關(guān)算例求解并分析了紗線的模態(tài)。經(jīng)數(shù)值仿真可知，紗線的傳輸速度不同，振動(dòng)響應(yīng)周期也不同，速度越大響應(yīng)周期也越大；運(yùn)動(dòng)速度不變，紗線上不同點(diǎn)的響應(yīng)幅值不同，紗線中點(diǎn)處的振幅最大，兩邊逐漸減小；在1個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，紗線振幅在起始時(shí)刻振幅最大，而后逐漸減?。患喚€振動(dòng)位移按模態(tài)展開項(xiàng)數(shù)n=2,n=3時(shí)的構(gòu)形基本相同，只取前2項(xiàng)相即可計(jì)算出紗線的橫向位移。