基于量子粒子群的斜坡上兩輪移動(dòng)機(jī)器人的廣義二型模糊控制

梁進(jìn)榜 趙 濤

(四川大學(xué) 四川 成都 610065)

0 引 言

2WMR具有結(jié)構(gòu)簡單、體積小、能耗低和活動(dòng)靈活的特點(diǎn)，可以原地180度旋轉(zhuǎn)，在狹小的環(huán)境中能夠完成其他輪式機(jī)器人無法完成的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)。從而使得其在各個(gè)領(lǐng)域中被廣泛運(yùn)用在勘探和搜索中的移動(dòng)平臺(tái)中[1]。2WMR的兩個(gè)車輪分別安裝在其的兩側(cè)，并安裝在同一軸線上。通過兩個(gè)電機(jī)用差分的方式來獨(dú)立驅(qū)動(dòng)。2WMR的整體質(zhì)心保持在車輪的輪軸上，從而通過小車的運(yùn)動(dòng)來維持平衡。2WMR具有典型的多變量、不穩(wěn)定、欠驅(qū)動(dòng)和非線性的特點(diǎn)，容易受到外部干擾的影響，是驗(yàn)證各種先進(jìn)智能控制算法驗(yàn)證的平臺(tái)[2-8]。雖然有大量的文獻(xiàn)對2WMR進(jìn)行了研究，但是現(xiàn)有研究很少考慮到2WMR在復(fù)雜的環(huán)境中的平衡和位置控制，也很少考慮外部干擾對2WMR的運(yùn)動(dòng)控制的影響。

針對非線性系統(tǒng)和處理系統(tǒng)干擾方面，模糊邏輯控制有著非常好的表現(xiàn)。Qin等[9]建立了非完整2WMR的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并設(shè)計(jì)了基于T-S模糊模型的具有并行分布補(bǔ)償器的模糊控制器。Wu等[10]運(yùn)用牛頓動(dòng)力學(xué)力學(xué)理論建立了2WMR的動(dòng)力學(xué)方程，并設(shè)計(jì)了極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器和模糊邏輯控制器，在有不確定干擾的條件下模糊控制器具有很好的表現(xiàn)。Sadeghian等[11]設(shè)計(jì)了Fuzzy-PID控制器來控制2WMR的平衡和位置，并且與傳統(tǒng)PID和模糊PID比較了其控制效果，從而說明模糊PID具有更好的控制效果。

二型模糊集是一型模糊集的擴(kuò)展，其對應(yīng)的模糊集由兩個(gè)一型模糊集分別作為上、下隸屬函數(shù)圍成的不確定跡(FOU)。因此相比于一型模糊集，二型模糊集有效提高了系統(tǒng)處理不確定性的能力[12]。廣義二型模糊集是二型模糊集的擴(kuò)展，其模糊集由不確定跡和次隸屬函數(shù)圍成的一個(gè)3D形狀模糊集[13-14]。因此相比于區(qū)間二型模糊集，廣義二型模糊集將更有效地提高系統(tǒng)處理不確定性的能力[15-17]。隨著社會(huì)的發(fā)展，現(xiàn)代系統(tǒng)的復(fù)雜度越來越高，不確定性也隨之變多，廣義二型模糊集的優(yōu)勢得以體現(xiàn)。因此，采用廣義二型模糊控制可以增強(qiáng)系統(tǒng)處理不確定性和抗干擾的能力。

在模糊控制中，隸屬函數(shù)的選擇至關(guān)重要，其選取的好壞直接體現(xiàn)在控制效果上。隸屬函數(shù)參數(shù)的選取大多是憑專家經(jīng)驗(yàn)選取或試錯(cuò)得到，這種傳統(tǒng)的參數(shù)選取方法往往難以滿足控制要求。此外，由于GT2FLC系統(tǒng)中的參數(shù)繁多，使得傳統(tǒng)的參數(shù)選取方法更難選取合適的參數(shù)。

粒子群優(yōu)化算法(PSO)和遺傳算法(GA)都是使用廣泛的仿生優(yōu)化算法，都是在利用自然特性的基礎(chǔ)上來模擬種群的適應(yīng)性，并通過一定的方法、規(guī)則來尋求最優(yōu)解[18-19]。盡管PSO與GA的效果基本相同，但PSO相較于GA更加高效[20]。QPSO是一種基于量子力學(xué)的全新粒子群優(yōu)化算法[21]，它引入了δ降勢，取消了粒子的移動(dòng)方向?qū)傩裕Ｗ拥奈恢煤退俣仍诹孔涌臻g中不能一起確定，因此用波函數(shù)表示粒子位置，通過蒙特卡羅方法求出粒子位置，通過平均最好的位置求解得到最終的最優(yōu)位置。從量子力學(xué)的角度來看，處于量子束縛的粒子能夠以一定的概率出現(xiàn)在任何的解空間[22-24]，因此QPSO具有更好的收斂性，優(yōu)于PSO。因此針對GT2FLC中規(guī)則參數(shù)設(shè)置問題，本文采用了QPSO優(yōu)化隸屬函數(shù)參數(shù)，并將優(yōu)化后的GT2FLC用于兩輪移動(dòng)2WMR的平衡和位置控制。

本文主要貢獻(xiàn)如下:① 針對2WMR，分別設(shè)計(jì)了基于優(yōu)化思想的平衡控制和位置控制的GT2FLC;② 針對2WMR中GT2FLC的隸屬函數(shù)參數(shù)難以確定，利用QPSO優(yōu)化參數(shù)，提升系統(tǒng)的控制效果；③ 通過添加干擾，驗(yàn)證設(shè)計(jì)的控制器有效性，達(dá)到本文所需要的效果；④ 考慮了不同斜面情況，通過優(yōu)化參數(shù)，驗(yàn)證優(yōu)化效果的先進(jìn)性。

1 兩輪移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型

圖1 2WMR結(jié)構(gòu)示意圖

表1 2WMR系統(tǒng)參數(shù)

2WMR的非線性模型[25]可表示為：

(1)

其中：

(2)

(3)

(4)

(5)

本文主要研究了對2WMR的平衡控制和位置控制。對2WMR的平衡控制如圖2所示。

圖2 2WMR的運(yùn)動(dòng)分析圖

當(dāng)移動(dòng)2WMR在φ>0的傾斜角上處于平衡狀態(tài)時(shí)，分別以車體和擺為對象分析平衡條件。圖2(a)中：f為靜態(tài)摩擦力，沿斜面向上為正方向，根據(jù)圖2(a)可得：f-sinφ(mp+mω)g=0。根據(jù)圖2(b)可得：-f+mplgsin(θ)=0。由以上兩個(gè)等式可得2WMR平衡時(shí)的平衡角度為θ=arcsin(rsinφ(mp+mω)/(mpl))。位置控制時(shí)，當(dāng)2WMR向前傾斜的時(shí)候，2WMR向前移動(dòng)來維持平衡，此時(shí)傾角也在不斷減小，直到2WMR到達(dá)平衡時(shí)候的角度。當(dāng)2WMR向相反方向傾斜的時(shí)候，2WMR向后移動(dòng)來維持平衡，此時(shí)傾角也在不斷變大，直至2WMR到達(dá)平衡時(shí)候的角度。因此，位置控制可以通過給2WMR一定的傾角的補(bǔ)償角來控制位置。

2 量子粒子群算法原理

QPSO是一種基于PSO的改進(jìn)算法。它主要是結(jié)合量子物理的思想改進(jìn)PSO中更新粒子位置的方法。QPSO重點(diǎn)考慮了各粒子的全局最優(yōu)和局部位置最優(yōu)的信息[26]。假設(shè)在一個(gè)N(需要優(yōu)化的參數(shù)的個(gè)數(shù))維的搜索空間中，有一組由M個(gè)粒子組成的種群。其中，用Xi(t)來表示在時(shí)間t時(shí)刻，第i個(gè)粒子的位置，即Xi(t)=(xi,1(t),xi,2(t),…,xi,N(t))。用Pi(t)來表示第i個(gè)粒子的最好的位置，即Pi(t)=(Pi,1(t),Pi,2(t),…,Pi,N(t))。用G(t)來表示種群的最好的位置，即Gbest(t)=(G1(t),G2(t),…,GN(t))，且Gbest(t)=Pbest_g(t)，其中best_g∈{1,2,…,M}，best_g為需要尋找的粒子的下標(biāo)。

Pi(t)表示第i個(gè)粒子的最好位置，由式(6)計(jì)算得出：

(6)

Pbest_g則表示群體的全局最好位置，由下式確定：

(7)

QPSO用波函數(shù)來表示粒子的狀態(tài)，δ勢降中的特征長度用L表示。采用蒙特卡洛方法，可以得到粒子位置更新的公式為：

xi,j(t+1)=pi,j(t)±Li,j(t)/2·ln(1/uij(k))

(8)

pi,j(t)=φjPi,j(t)+(1-φj)Gj(t)

(9)

Li,j(t)=2α|Cj(t)-xi,j(t)|

(10)

式中：α為收縮擴(kuò)張因子，α一般不大于1；uij(k)和φj是(0,1)上的均分布數(shù)值。

綜上，QPSO中粒子更新方程為：

(11)

3 廣義二型模糊控制器設(shè)計(jì)與優(yōu)化

3.1 廣義二型模糊集

(12)

(13)

二型模糊集是一個(gè)特殊的廣義二型模糊集，可以由上、下隸屬函數(shù)圍成的一個(gè)區(qū)間定義。圍成的區(qū)間也叫作不確定性跡，如圖3所示。

圖3 廣義二型模糊集

廣義二型模糊集是區(qū)間二型模糊集的擴(kuò)展，其隸屬函數(shù)為3D的集合，如圖4所示。

圖4 廣義二型模糊集

因?yàn)閰^(qū)間二型模糊得到了廣泛的研究，因此可以將3D廣義二型模糊集近似為多個(gè)區(qū)間二型模糊。廣義二型模糊集的隸屬函數(shù)被切成多個(gè)切片，每個(gè)切片組合起來就近似3D廣義二型模糊集。廣義二型模糊集常用的表達(dá)方式是垂直切片、水平切片和波浪切片[13]。本文主要使用水平切片表示，如圖5所示。

圖5 廣義二型模糊集水平切片示意圖

本文的廣義二型模糊系統(tǒng)的次隸屬函數(shù)為三角形，如圖6所示。其形狀由ω∈[0,1]決定，當(dāng)ω=0或者ω=1時(shí)，其次隸屬函數(shù)分別為右三角形或者左三角形，當(dāng)ω=0.5時(shí)，其次隸屬函數(shù)為等腰三角形。

圖6 廣義二型模糊集的次隸屬函數(shù)

本文用α截集來表示每個(gè)切片模糊集[28]:

(14)

使用“數(shù)積”的概念及其運(yùn)算的簡便性，節(jié)約計(jì)算成本的考慮，一般將廣義二型模糊集的切片α定義為α=[0;0.2;0.4;0.6;0.8;1]來近似廣義二型模糊集。

3.2 廣義二型模糊控制器設(shè)計(jì)

平衡控制模糊規(guī)則為：

位置控制模糊規(guī)則為：

其中：位置誤差pe∈[-3,3]；2WMR俯仰角的補(bǔ)角輸出θoff∈[-π/40,π/40]。2WMR的整體控制原理圖如圖7所示。

圖7 2WMR的整體控制原理圖

本文設(shè)計(jì)的GT2FLC系統(tǒng)采用單值模糊化，主要用來優(yōu)化GT2FLC的次隸屬函數(shù)中的ω的值，以及當(dāng)α=0時(shí)，主隸屬函數(shù)的模糊集，此時(shí)可以看作為優(yōu)化一個(gè)二型模糊集和次隸屬函數(shù)的頂點(diǎn)。前件、后件劃分成7個(gè)三角形的區(qū)間二型模糊集NB、NM、NS、ZO、PS、PM、PB)，其分別表示負(fù)大、負(fù)、中、負(fù)小、零、正小、正中、正大7個(gè)模糊集。ω∈[0,1]為次隸屬函數(shù)的頂點(diǎn)。模糊推理采用Mamdani型最小t范數(shù),為了簡化計(jì)算和節(jié)省優(yōu)化時(shí)間，本文采用了NT降型解模糊方法[29-31],規(guī)則表如表2所示。

表2 平衡(位置)控制模糊規(guī)則

3.3 模糊規(guī)則參數(shù)優(yōu)化

大多數(shù)情況下，隸屬函數(shù)中各個(gè)參數(shù)的選取大多靠專家經(jīng)驗(yàn)，這種選取方式往往很難有好的控制效果，而選取的隸屬函數(shù)的好壞又會(huì)直接影響控制效果。因此，本文采用QPSO來優(yōu)化隸屬函數(shù)的參數(shù)，并和PSO作比較。

QPSO中，本文采用誤差絕對值乘以時(shí)間后積分作為適應(yīng)度函數(shù)，為了節(jié)約計(jì)算成本，本文將適應(yīng)度函數(shù)改為離散的形式。其中平衡控制器的參數(shù)優(yōu)化時(shí)，適應(yīng)度函數(shù)的選擇為：

(15)

位置控制器的參數(shù)優(yōu)化時(shí)，適應(yīng)度函數(shù)的選擇為：

(16)

式中：|theta(i)|表示為i時(shí)刻俯仰角的誤差；|distance(i)|表示為i時(shí)刻位置誤差；η為步長。QPSO的流程圖如圖8所示。

圖8 QPSO優(yōu)化流程圖

4 仿真結(jié)果與討論

本節(jié)仿真的結(jié)果是基于MATLAB平臺(tái)仿真實(shí)現(xiàn)的。本文采用PSO、QPSO兩種優(yōu)化算法分別對平衡控制器的隸屬函數(shù)和位置控制器的隸屬函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化并且進(jìn)行比較。此外，本文將考慮在不同的斜坡上，在三種不同條件下的優(yōu)化控制算法的效果，最后再考慮擾動(dòng)存在的情況下，比較不同斜坡情況下，廣義二型模糊和區(qū)間二型模糊的控制效果。

4.1 平衡控制

(1) 當(dāng)2WMR在2.45°的斜面上運(yùn)動(dòng)，不存在擾動(dòng)時(shí)，分別采用兩種優(yōu)化算法后的參數(shù)控制平衡。2WMR的初始狀態(tài)為x=[0;0;0.3;0]。圖9為QPSO優(yōu)化之后前件的隸屬函數(shù)，次隸屬函數(shù)頂點(diǎn)ω=0.262，優(yōu)化后的后件集如表3所示。

圖9 QPSO優(yōu)化后前件的隸屬函數(shù)

表3 優(yōu)化后后件集參數(shù)

圖10所示為傾斜角為4.3°時(shí)，GT2FLC僅控制平衡時(shí)的效果。圖11所示為平衡控制時(shí)的適應(yīng)度函數(shù)圖，此時(shí)，由2WMR平衡時(shí)的平衡角度公式和控制率計(jì)算公式可以得到，當(dāng)傾斜角為2.45°時(shí)，2WMR平衡時(shí)的角度θ=0.05 rad,控制率為0.1 N·m。

圖10 傾斜角為2.45°時(shí)平衡控制的效果

圖11 傾斜角為2.45°時(shí)平衡控制的適應(yīng)度函數(shù)

(2) 當(dāng)2WMR在4.3°的斜面上運(yùn)動(dòng)，不存在擾動(dòng)時(shí)，分別采用兩種優(yōu)化算法后的參數(shù)控制平衡。2WMR的初始狀態(tài)x=[0;0;0.3;0]。圖12所示QPSO優(yōu)化之后前件的隸屬函數(shù)，次隸屬函數(shù)頂點(diǎn)ω=0.025，優(yōu)化后的后件集如表4所示。

圖12 QPSO優(yōu)化后前件的隸屬函數(shù)

表4 優(yōu)化后后件集參數(shù)

圖13所示傾斜角為4.3°時(shí)，GT2FLC僅控制平衡時(shí)的效果。圖14所示平衡控制時(shí)的適應(yīng)度函數(shù)圖。同理，傾斜角為4.3°時(shí)，2WMR平衡時(shí)的角度θ=0.09 rad,控制率為0.185 5 N·m。

圖13 傾斜角為4.3°時(shí)平衡控制的效果

圖14 傾斜角為15°時(shí)平衡控制的適應(yīng)度函數(shù)

(3) 當(dāng)2WMR在15°的斜面上運(yùn)動(dòng)，不存在擾動(dòng)時(shí)，分別采用兩種優(yōu)化算法后的參數(shù)控制平衡。2WMR的初始狀態(tài)x=[0;0;0.3;0]。圖15所示QPSO優(yōu)化之后前件的隸屬函數(shù)，次隸屬函數(shù)頂點(diǎn)為ω=0.148，優(yōu)化后的后件集如表5所示。

圖15 QPSO優(yōu)化后前件的隸屬函數(shù)

表5 優(yōu)化后后件集參數(shù)

圖16所示傾斜角為15°時(shí)，GT2FLC僅控制平衡時(shí)的效果。圖17所示平衡控制時(shí)的適應(yīng)度函數(shù)圖。同理，傾斜角為15°時(shí)，2WMR平衡時(shí)的角度θ=0.31 rad,控制率為0.64 N·m。

圖16 傾斜角為15°時(shí)平衡控制的效果

圖17 傾斜角為15°時(shí)平衡控制的適應(yīng)度函數(shù)

由圖9-圖17可以看出，當(dāng)采用QPSO優(yōu)化后的參數(shù)控制2WMR時(shí)，2WMR最快到達(dá)平衡，PSO次之，無優(yōu)化的控制效果最差，而且平衡時(shí)都到達(dá)了期望的角度。在三種不同斜面傾角下，平衡所需要的控制率和計(jì)算的基本一致。相比與PSO，QPSO的適應(yīng)度函數(shù)更早收斂，也說明采用QPSO優(yōu)化可以得到更好的效果。

4.2 位置控制

(1) 當(dāng)2WMR在2.45°的斜面上運(yùn)動(dòng)，不存在擾動(dòng)時(shí)，分別采用兩種優(yōu)化算法后的參數(shù)控制平衡。2WMR的初始狀態(tài)x=[1.5;0;0.3;0]。QPSO優(yōu)化后，次隸屬函數(shù)的頂點(diǎn)ω=0.189，優(yōu)化后前件和后件的隸屬函數(shù)如圖18所示。

圖18 傾斜角為2.45°時(shí)優(yōu)化后前后件的隸屬函數(shù)

圖19所示為斜面傾斜角為2.45°時(shí)，GT2FLC位置控制時(shí)的仿真效果及適應(yīng)度函數(shù)圖。

圖19 傾斜角為2.45°時(shí)位置控制的效果

(2) 當(dāng)2WMR在4.3°的斜面上運(yùn)動(dòng)，不存在擾動(dòng)時(shí)，分別采用兩種優(yōu)化算法后的參數(shù)控制平衡。2WMR的初始狀態(tài)x=[1.5;0;0.3;0]。QPSO優(yōu)化后，次隸屬函數(shù)的頂點(diǎn)ω=0.243，優(yōu)化后前件和后件的隸屬函數(shù)如圖20所示。

圖20 傾斜角為4.3°時(shí)優(yōu)化后前后件的隸屬函數(shù)

圖21所示斜面傾斜角為2.45°時(shí)，GT2FLC位置控制時(shí)候的仿真效果及適應(yīng)度函數(shù)圖。

圖21 傾斜角為4.3°時(shí)位置控制的效果

(3) 當(dāng)2WMR在15°的斜面上運(yùn)動(dòng)，不存在擾動(dòng)時(shí)，分別采用兩種優(yōu)化算法后的參數(shù)控制平衡。2WMR的初始狀態(tài)x=[1.5;0;0.3;0]。優(yōu)化后，次隸屬函數(shù)的頂點(diǎn)ω=0.673，QPSO優(yōu)化后前件和后件的隸屬函數(shù)如圖22所示。

圖22 傾斜角為15°時(shí)優(yōu)化后前后件的隸屬函數(shù)

圖23所示斜面傾斜角為15°時(shí)，GT2FLC位置控制時(shí)候的仿真效果及適應(yīng)度函數(shù)圖。

圖23 傾斜角為15°時(shí)位置控制的效果

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，三種不同的斜面下，采用QPSO優(yōu)化后的參數(shù)控制2WMR的位置時(shí)效果最好，PSO次之，沒有優(yōu)化的效果最差。同時(shí)，采用QPSO和PSO優(yōu)化時(shí)，QPSO的適應(yīng)度函數(shù)比PSO的適應(yīng)度函數(shù)收斂得早，也說明采用QPSO優(yōu)化后的效果最好。

4.3 存在干擾時(shí)的控制

2WMR的位置控制是通過平衡控制后再來控制2WMR的位置，所有考慮在位置控制中分別加上角度干擾和位置干擾，比較IT2FLC和GT2FLC的控制效果。

1) 角度干擾。

(1) 當(dāng)2WMR在2.45°的斜面上運(yùn)動(dòng)，并且在t=6 s時(shí)，加0.2·randn的角度干擾，分別采用IT2FLC和GT2FLC控制2WMR的位置，結(jié)果如圖24所示。

圖24 傾斜角為2.45°存在角度擾動(dòng)控制效果

(2) 當(dāng)2WMR在4.3°的斜面上運(yùn)動(dòng)，并且t=6 s時(shí)，加0.2·randn的角度干擾，分別采用IT2FLC和GT2FLC控制2WMR的位置，結(jié)果如圖25所示。

圖25 傾斜角為4.3°存在角度擾動(dòng)控制效果

(3) 當(dāng)2WMR在15°的斜面上運(yùn)動(dòng)，并且在t=6 s時(shí)，加0.2·randn的角度干擾，分別采用IT2FLC和GT2FLC控制2WMR的位置。結(jié)果如圖26所示。

圖26 傾斜角為15°存在角度擾動(dòng)控制效果

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)存在0.2·randn的角度干擾時(shí)，GT2FLC先達(dá)到平衡，以及期望的位置，并且平衡時(shí)的角度和平衡所需要的控制率與計(jì)算值基本相同。結(jié)果也表明GT2FLC具有更好的抗干擾能力。

2) 位置干擾。

(1) 當(dāng)2WMR在2.45°的斜面上運(yùn)動(dòng)，并且在t=6 s時(shí)，加0.4 m的位置干擾，分別采用IT2FLC和GT2FLC控制2WMR的位置，結(jié)果如圖27所示。

圖27 傾斜角為2.45°存在位置擾動(dòng)控制效果

(2) 當(dāng)2WMR在4.3°的斜面上運(yùn)動(dòng)，并且在t=6 s時(shí)，加0.4 m的位置干擾，分別采用IT2FLC和GT2FLC控制2WMR的位置，結(jié)果如圖28所示。

圖28 傾斜角為4.3°存在位置擾動(dòng)控制效果

(3) 當(dāng)2WMR在15°的斜面上運(yùn)動(dòng)，并且在t=6 s時(shí)，加0.4 m的位置干擾，分別采用IT2FLC和GT2FLC控制2WMR的位置，結(jié)果如圖29所示。

圖29 傾斜角為15°存在位置擾動(dòng)控制效果

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)存在0.4的位置干擾時(shí)，采用GT2FLC時(shí)能控制2WMR到達(dá)指定的位置，但是采用IT2FLC時(shí)無法到達(dá)指定的位置，進(jìn)一步說明了GT2FLC具有更好的抗干擾能力。

5 結(jié) 語

本文針對2WMR分別設(shè)計(jì)了廣義二型模糊邏輯平衡控制器和位置控制器。針對模糊系統(tǒng)中隸屬函數(shù)參數(shù)的難以獲得的問題，使用QPSO來優(yōu)化參數(shù)。仿真結(jié)果表明，QPSO比PSO具有更好的優(yōu)化效果。同時(shí)，比較了IT2FLC與GT2FLC的控制效果，并考慮到外界存在擾動(dòng)時(shí)對控制效果的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，GT2FLC相比IT2FLC具有更好的控制效果和抗干擾的能力。未來工作將考慮2WMR在更加復(fù)雜多變的環(huán)境下的運(yùn)動(dòng)，并且能搭建硬件平臺(tái)，驗(yàn)證相應(yīng)算法的有效性。