“互聯(lián)網(wǎng)+”背景下“一階線性微分方程”混合式教學(xué)探析

別群益 楊雯靖 周艷平

（三峽大學(xué)理學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

0 引言

常微分方程中“一階線性微分方程”是最基本也是最常見(jiàn)的一類方程。不論是數(shù)學(xué)專業(yè)的常微分方程[1，2]還是非數(shù)學(xué)專業(yè)的高等數(shù)學(xué)[3]課程，該知識(shí)點(diǎn)是要求學(xué)生熟練掌握的?；旌鲜浇虒W(xué)法是將傳統(tǒng)面對(duì)面“線下”教學(xué)與以現(xiàn)代信息技術(shù)為平臺(tái)的“線上”教學(xué)進(jìn)行有機(jī)融合的一種新型教學(xué)模式[4]?！盎ヂ?lián)網(wǎng)+教育”背景下，海量的學(xué)習(xí)資源使學(xué)生對(duì)知識(shí)的獲取更加迅速、便捷，名校名師的優(yōu)質(zhì)在線教學(xué)強(qiáng)烈沖擊著傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。因此，基于優(yōu)質(zhì)在線教學(xué)資源的課堂教學(xué)改革勢(shì)在必行。以高等數(shù)學(xué)課程中“一階線性微分方程”教學(xué)內(nèi)容為例，我們探索線上線下混合式教學(xué)的一些具體做法。

求解一階線性微分方程，常用的方法是常數(shù)變易法。該方法是由法國(guó)著名數(shù)學(xué)家Lagrange發(fā)現(xiàn)的。所謂常數(shù)變易法，是先求解一階線性非齊次微分方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程，將所得通解中的常數(shù)變?yōu)橐粋€(gè)未知函數(shù)。為了求出這個(gè)未知函數(shù)，將該含有未知函數(shù)的解代入原方程解出這個(gè)未知函數(shù)，從而得到原方程的通解。盡管常數(shù)變易法在教材上給出了詳細(xì)的講解并給出了一些具體例子，但學(xué)生在運(yùn)用該方法時(shí)，總感覺(jué)是知其然而不知其所以然。對(duì)于該內(nèi)容的教學(xué)，我們考慮分三個(gè)階段進(jìn)行。即課前預(yù)習(xí)、課堂探究和課后練習(xí)。其中課前預(yù)習(xí)和課后練習(xí)放在線上進(jìn)行，而課堂探究是教學(xué)的主戰(zhàn)場(chǎng)，在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行線下探究式學(xué)習(xí)。

1 課前預(yù)習(xí)

課前預(yù)習(xí)的開(kāi)展主要是在線上進(jìn)行。首先讓學(xué)生在互聯(lián)網(wǎng)上觀看一些關(guān)于常數(shù)變易法的視頻，完成老師事先準(zhǔn)備好并放在班級(jí)QQ群上的電子資料。這些資料主要是幫助學(xué)生弄清楚為什么可以將齊次方程通解中的常數(shù)變換成一個(gè)函數(shù)。課前預(yù)習(xí)所達(dá)到的目標(biāo)是學(xué)生能夠回答如下問(wèn)題：

問(wèn)題1：什么是一階線性微分方程以及對(duì)應(yīng)的齊次微分方程？

問(wèn)題2：常數(shù)變易法的解題步驟是什么？

問(wèn)題3：由常數(shù)變易法得出的求解一階線性微分方程的求解公式是什么？

問(wèn)題4：為什么可以進(jìn)行常數(shù)變易？

其中前三個(gè)問(wèn)題均可以在教材上通過(guò)學(xué)生的預(yù)習(xí)找到答案，但問(wèn)題4是難點(diǎn)。為幫助學(xué)生課前思考并進(jìn)行線上討論，老師可設(shè)計(jì)如下資料：

一階線性微分方程的一般形式為：

其中p（x）和q（x）都是x的連續(xù)函數(shù)。

為了求解一階線性微分方程（1），通常教材主要介紹的是常數(shù)變易法。并且由常數(shù)變易法可以得出方程（1）的一個(gè)求解公式。

首先，求解方程（1）對(duì)應(yīng)的齊次線性方程

通過(guò)變量分離，可得該方程的通解為

這里C是任意常數(shù)。因?yàn)橐浑A微分方程的通解中只能含有一個(gè)任意常數(shù)，故其中的不定積分-∫p（x）dx只需求出一個(gè)原函數(shù)即可。

其次，為了求出一階非齊次方程（1）的通解，可以將方程（1）右端項(xiàng)q（x）移到左邊變成

其中u（x）是一個(gè)待定函數(shù)。為了求出u（x），首先將式（6）關(guān)于x求導(dǎo)，得

將y與y′代入方程（1）得

即

兩邊積分得

將上式代入（6），有

上式就是一階非線性微分方程（1）的通解。需要說(shuō)明的是式中不定積分所表示的是對(duì)應(yīng)被積函數(shù)的某一個(gè)特殊的原函數(shù)。

通過(guò)比較（3）和（6）兩個(gè)式子可知，為了求解一階線性非齊次方程（1）的通解，我們先求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，然后將其中的常數(shù)C變?yōu)橐粋€(gè)待定函數(shù)u（x），將該解代入原方程求出待定函數(shù)u（x），從而得到一階線性非齊次方程（1）的通解，這就是通常所說(shuō)的常數(shù)變易法。

2 課堂探究

課堂是教學(xué)的主要陣地，對(duì)于“一階線性常微分方程”知識(shí)點(diǎn)的探究，課堂上主要呈現(xiàn)兩個(gè)方面的內(nèi)容：常數(shù)變易法的本質(zhì)；積分因子法的探究。對(duì)于常數(shù)變易法的本質(zhì)，由于學(xué)生課前通過(guò)線上的視頻以及電子資料預(yù)習(xí)了，所以這部分內(nèi)容特別是式（5）的推導(dǎo)，教師可以在課堂上對(duì)于常數(shù)變易法作小結(jié)，讓學(xué)生再次領(lǐng)會(huì)常數(shù)變易法的本質(zhì)。

積分因子法是在學(xué)習(xí)完常數(shù)變易法之后，通過(guò)分析常數(shù)變易法的求解過(guò)程，舉一反三地引入的方法。該方法在高等數(shù)學(xué)教材上一般是沒(méi)有呈現(xiàn)出來(lái)的。而這種方法的優(yōu)點(diǎn)是容易理解，且相比常數(shù)變易法，計(jì)算更簡(jiǎn)潔。

接下來(lái)探究積分因子法。從常數(shù)變易法的求解過(guò)程中，特別是從（6）和（7）這兩個(gè)式子中可以探索出一些新的結(jié)果。具體地，由（6）式可知

將其代入（7）式并展開(kāi)得

即

也就是

上式實(shí)質(zhì)上是在原方程兩邊同時(shí)乘以因子e∫p（x）dx[注意到這里p（x）是已知的連續(xù)函數(shù)]，這樣可使方程轉(zhuǎn)化為（8）的形式，從而再利用不定積分求出原方程的通解。這種求解方法可稱之為積分因子法。

對(duì)于積分因子法，也可以從另外一個(gè)角度進(jìn)行探究。首先讓學(xué)生思考如下問(wèn)題：

問(wèn)題5：當(dāng)p（x）=0時(shí)，方程（1）如何求解？

問(wèn)題6：當(dāng)p（x）≠0時(shí)，方程（1）左邊的兩項(xiàng)能否進(jìn)行合并，使之成為一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)a（x）和未知函數(shù)y的乘積的導(dǎo)數(shù)，即左邊寫(xiě)成的形式？

為了確定函數(shù)a（x），使得（9）式左邊能夠拼湊成導(dǎo)數(shù)形式將其展開(kāi)得:

為了和（9）式左邊一致，函數(shù)a（x）需滿足

這里p（x）是一個(gè)已知函數(shù)。

顯然未知函數(shù)a（x）滿足的是一階線性齊次微分方程:

為解此方程，將其分離變量得

兩邊積分，有

這里只需找到一個(gè)特解y就可以作為需要的函數(shù)a（x），所以根據(jù)（10），找到一個(gè)y，使其滿足：

即y=e∫p（x）dx，所以要找的函數(shù)a（x）是e∫p（x）dx。這樣式（9）變?yōu)椋?/p>

也就是

兩邊積分得

所以

這里C為任意常數(shù)，其中的不定積分只表示對(duì)應(yīng)的被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)。式（11）可以作為求解一階線性微分方程通解的公式。若直接套用該公式求解，往往稱之為公式法。

教學(xué)過(guò)程中教師可以讓學(xué)生思考如下問(wèn)題：

解：為了將左邊寫(xiě)成一個(gè)導(dǎo)數(shù)的形式，由于p（x）=-根據(jù)前面的分析，兩邊同時(shí)乘以函數(shù)需要指出的是雖然這個(gè)不定積分有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)這里只需取一個(gè)函數(shù)即可。這樣原方程變?yōu)?/p>

上式左邊可以寫(xiě)成導(dǎo)數(shù)的形式，即

兩邊積分得

所以，原方程的通解為

問(wèn)題8：求方程y′-ytanx=secx滿足y（0）=1的特解。

解：這里p（x）=-tanx，計(jì)算其中為C任意正常數(shù)。在x=0附近選取一個(gè)積分因子cosx，原方程兩端同乘以這個(gè)積分因子，得：

即[（cosx）y]′=1，也就是（cosx）y=x+C。由初始條件y（0）=1，可得C=1，故所求微分方程的特解為：

3 課后練習(xí)

課后練習(xí)作為電子資料放在QQ班級(jí)群里。學(xué)生先獨(dú)立思考，然后師生在群里進(jìn)行討論答疑。課后練習(xí)題如下：

求解下列微分方程（要求用三種方法求解，即公式法、常數(shù)變易法及積分因子法）。