逆向思維在中學(xué)數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中的價(jià)值分析

胡小紅

摘 要：逆向思維和常規(guī)思維具有較大的差異性，它是突破定性思維、超越傳統(tǒng)理論的思維模式。在初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中，合理應(yīng)用逆向思維能夠打開新的教學(xué)領(lǐng)域，形成新的教學(xué)思維模式。在教學(xué)過程中，通過加強(qiáng)學(xué)生的逆向思維訓(xùn)練和意識(shí)，不僅能使學(xué)生的思維能力更加活躍，還可以提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

關(guān)鍵詞：逆向思維;中學(xué)幾何;價(jià)值分析

【中圖分類號(hào)】G633.6? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? ? ? ? ? ? ?【文章編號(hào)】1005-8877（2022）03-0038-04

An Analysis of the Value of Reverse Thinking in the Teaching of Geometry of Mathematics in High Schools

HU Xiaohong? （Fucheng Junior High School， Kangle County， Linxia Prefecture， Gansu Province， China）

【Abstract】Reverse thinking and conventional thinking are quite different. It is a thinking mode that breaks through qualitative thinking and transcends traditional theories. In the teaching of mathematics and geometry in junior high schools， the rational application of reverse thinking can open up new teaching areas and form new teaching thinking modes. In the teaching process， by strengthening the students' reverse thinking training and awareness， not only can the students' thinking ability be more active， but also the students' sense of innovation can be improved.

【Keywords】Reverse thinking; High school geometry; Value analysis

初中數(shù)學(xué)是奠定學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要階段，能夠使學(xué)生獲得較強(qiáng)的數(shù)學(xué)預(yù)算能力和思維邏輯能力，尤其是幾何教學(xué)，能夠有效提高學(xué)生的空間想象能力。在幾何教學(xué)過程中，需要合理應(yīng)用逆向思維教學(xué)方式，有效培養(yǎng)學(xué)生的思維推理能力和分析能力。

1.利用逆向思維，進(jìn)行幾何定義教學(xué)

在初中幾何教學(xué)中，會(huì)學(xué)習(xí)到大量的幾何定義，在幾何定義教學(xué)過程中時(shí)，可以應(yīng)用逆向思維教學(xué)方式進(jìn)行教學(xué)，以此來強(qiáng)化學(xué)生的逆向思維。比如，在對(duì)人教版初一數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)《垂線》教學(xué)時(shí)，需要學(xué)生理解垂線、垂線段的概念，并會(huì)利用三角尺或者量角器過一點(diǎn)畫已知直線的垂線。垂線的定義為當(dāng)兩條直線相交的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，那么這兩條直線是相互垂直的，其中一條直線是另外一條直線的垂線，兩條直線的相交點(diǎn)叫作垂足。而應(yīng)用逆向思維也可以推理出，如果這兩條直線是相互垂直的，那么四個(gè)角都為直角。

如圖1所示，如果直線AB、CD在O點(diǎn)出相交，且∠AOD為直角，或者其他三個(gè)角任意一個(gè)角為直角，那么AB⊥CD;應(yīng)用逆向思維推理，如果直線AB和CD互相垂直，垂足為O，那么四個(gè)角都為直角，即∠AOC=∠AOD=∠COB=∠BOD=90°，根據(jù)以上推理，利用幾何符號(hào)可以列出詳細(xì)運(yùn)算步驟。

正向推理過程：

[∵∠AOD=90°]（已知）

[∴AB⊥CD]（垂直定義）

逆向推理過程：

[∵AB⊥CD]（已知）

[∴∠AOC=∠AOD=∠COB=∠BOD=90°]（垂直定義）

除了使用∠AOD論證垂直定義以外，還可以使用其他三個(gè)角的任意一角進(jìn)行正向思維推理和逆向思維推理，通過學(xué)生反復(fù)練習(xí)推理，能夠使學(xué)生較為輕松的理解垂直定義，并且能夠靈活應(yīng)用垂直定義。另外，在“余角”定義教學(xué)過程中，教師需要使學(xué)生從正向和逆向兩個(gè)方面充分理解并掌握定義。比如，從正向思維理解定義：如果α+β=90°，那么α和β互為余角;從逆向思維理解定義：如果α和β互為余角，那么α+β=90°。在“余角”教學(xué)過程中，需要教師詳細(xì)講解“互為余角”的含義，如α和[β]互為余角，那么α是[β]的余角，從逆向思維來說，[β]也是α的余角。另外，“互余”是以兩個(gè)角為基礎(chǔ)，既不是一個(gè)角，也不是兩個(gè)以上的角，而且兩個(gè)角之間不存在位置關(guān)系，只存在數(shù)量關(guān)系。因此，從逆向思維學(xué)習(xí)幾何定義，不僅能夠使學(xué)生較為深刻理解“余角”定義，還能使學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)過程中靈活應(yīng)用“余角”定義。

2.利用逆向思維，強(qiáng)化幾何證明教學(xué)

在人教版初中幾何教學(xué)過程中，幾何證明是較為重要的題型，由于年級(jí)的不同，幾何證明題的形式和難易程度也在一定范圍內(nèi)存在差異性。在對(duì)七年級(jí)進(jìn)行幾何證明教學(xué)時(shí)，教師需要將幾何定義的基本定理和應(yīng)用作為教學(xué)重點(diǎn)，從難易程度上來說，相對(duì)比較簡(jiǎn)單。在對(duì)八年級(jí)進(jìn)行幾何證明教學(xué)時(shí)，題型難度明顯增強(qiáng)，而且知識(shí)面也更為寬廣，如在對(duì)三角形全等進(jìn)行證明過程中，需要運(yùn)用到較多的幾何定義，有可能應(yīng)用到軸對(duì)稱基本定理，并對(duì)軸對(duì)稱定理進(jìn)行鞏固得到更深一層的定理知識(shí)，也有可能應(yīng)用到四邊形幾何基本定義，并對(duì)其進(jìn)行拓展，從而得到相關(guān)線條是否相等，是否有倍分關(guān)系，或者相關(guān)角是否相等，是否有倍分關(guān)系。

在對(duì)九年級(jí)進(jìn)行幾何證明教學(xué)時(shí)，知識(shí)重點(diǎn)和難易程度都得到了全面提升，需要將七年級(jí)和八年級(jí)的幾何知識(shí)進(jìn)行有效整合，使學(xué)生全方面掌握幾何重點(diǎn)知識(shí)，并且能夠在練題過程中靈活應(yīng)用。為了使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)幾何證明，針對(duì)各個(gè)年級(jí)的學(xué)習(xí)情況，可以將逆向思維模式融入具體教學(xué)過程中。比如，如圖2所示，準(zhǔn)備一張長(zhǎng)方形紙片，將其四個(gè)角依次標(biāo)注為A、B、C、D，將長(zhǎng)方形沿AC線對(duì)折，此時(shí)△ACD會(huì)翻至△ACD’，而且AD’和BC相交于E點(diǎn)，對(duì)△AEC的形狀做出準(zhǔn)確判斷，并列出詳細(xì)判斷步驟。

在判斷三角形具體形狀之前，需要充分了解三角形的基本知識(shí)，按照角的大小分類，可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形三種類型;按照邊關(guān)系的分類，可以分為等腰三角形和等邊三角形;將直角三角形和等腰三角形結(jié)合，可以得到等腰直角三角形。根據(jù)以上三角形的基本理論知識(shí)，可以對(duì)△AEC進(jìn)行逆向思維假設(shè)論證，由于銳角三角形和鈍角三角形沒有特殊性，因此，可以將直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形或者等邊三角形進(jìn)行主要逆向思維證明。如果將△AEC看作等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的基本定理只需證明∠EAC=∠ECA。由于△ACD’是由△ACD翻折得來，兩個(gè)三角形的形狀、大小具有一致性，因此∠DAC=∠EAC;同時(shí)，根據(jù)長(zhǎng)方形ABCD的基本定義可知對(duì)邊平行，所以AD∥BC，也可得出∠DAC=∠ACE，此時(shí)可知，∠EAC=∠ACE，根據(jù)等腰三角形的基本定義可知△AEC為等腰三角形。如果將△AEC看作直角等腰三角形，∠AEC是∠ABE和∠BAE之和，而∠ABE=90°，可知∠AEC≠90°，因此，△AEC不可能是等腰直角三角形。另外，通過以上條件也可以得出，△AEC也不可能是等邊三角形。通過逆向思維分析，可以得出正確的幾何證明解題思路，按照思路列出詳細(xì)步驟，因此，也可得出正確的證明解題過程。詳細(xì)證明過程如下：

證明：∵長(zhǎng)方形ACDE的對(duì)邊AD∥BC

∴∠DAC=∠ECA

∵△ACD=△ACD’

∴∠DAC=∠EAC

∴∠ECA=∠EAC

∴△AEC為等腰三角形

在證明過程中，需要列出重要的證明步驟，不需列出逆向思維思考步驟。但是教師通過逆向思維進(jìn)行幾何證明教學(xué)，能使學(xué)生快速找到解題思路，從而強(qiáng)化學(xué)生的幾何證明練習(xí)。

3.利用逆向思維，正確引導(dǎo)學(xué)生思考

在初中幾何教學(xué)過程中，教師可以利用逆向思維引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行幾何知識(shí)總結(jié)，從而使學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何知識(shí)的互逆性。比如，在人教版七年級(jí)下冊(cè)“平行線”教學(xué)過程中，課本上平行線的定義為永遠(yuǎn)不會(huì)相交的兩條直線可稱為平行線。如果教師只是將平行線的定義講述給學(xué)生聽，學(xué)生無法深刻理解平行線定義，也無法在腦海中形成較為直觀的理解畫面。教師利用逆向思維進(jìn)行平行線教學(xué)，讓學(xué)生思考平面內(nèi)直線的位置關(guān)系都有哪些，在思考的過程中，不僅能夠鍛煉學(xué)生的思維能力，使之更加活躍，還能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。另外，教師還可以鼓勵(lì)學(xué)生到講臺(tái)上對(duì)思考結(jié)果進(jìn)行講述，并在黑板上將自己思考的平面內(nèi)直線的位置關(guān)系畫出來。學(xué)生對(duì)所畫的直線進(jìn)行觀察，有些直線是會(huì)相交于某點(diǎn)，有些直線則是不會(huì)相交，通過逆向思維教學(xué)使直觀的畫面呈現(xiàn)在黑板上，可以使學(xué)生更深刻地理解平行線概念。學(xué)生在學(xué)習(xí)平行線幾何知識(shí)的過程中，無法有效區(qū)分平行線的判定和性質(zhì)，教師需要將平行線的判定和性質(zhì)作為重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生充分理解判定定理和性質(zhì)定理，并對(duì)其進(jìn)行充分比較。在對(duì)判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行比較的過程中，不難發(fā)現(xiàn)兩者存在互逆性，即判定定理的條件是性質(zhì)定理的結(jié)論，而判定定理的結(jié)論是性質(zhì)定理的條件，條件和結(jié)論有著相反關(guān)系，從而學(xué)生可以從本質(zhì)上理解判定定理和性質(zhì)定理。比如，從角的大小關(guān)系得到兩條直線平行的結(jié)論，是平行線的判定;從逆向思維考慮，從兩條直線平行得到角存在相等或者互補(bǔ)關(guān)系，是平行線的性質(zhì)，如圖3所示。

可得出平行線的判定：如果[∠1=∠2]那么[AB∥CD];如果[∠2=∠3]，那么[AB∥CD];如果[∠2+∠4=180°]，那么[AB∥CD];也可得出平行線的性質(zhì)：如果[AB∥CD]，那么[∠1=∠2=∠3];如果[AB∥CD]，那么[∠2+∠4=180°]。

4.利用逆向思維，加強(qiáng)幾何反面例題訓(xùn)練

教師在應(yīng)用逆向思維進(jìn)行幾何教學(xué)過程中，不僅需要利用正面例題進(jìn)行幾何教學(xué)，還需要利用反面例題進(jìn)行幾何教學(xué)，并使正反例題教學(xué)進(jìn)行有效整合，形成獨(dú)具特色的幾何教學(xué)模式。傳統(tǒng)的教學(xué)模式通常是應(yīng)用正面例題教學(xué)模式，這種教學(xué)模式較為枯燥，有可能降低學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣，而應(yīng)用反面例題的逆向思維教學(xué)模式，不僅能不斷培養(yǎng)學(xué)生的思考力，有效激發(fā)學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣，還能使學(xué)生更為深刻地理解幾何知識(shí)，并在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中靈活運(yùn)用。比如，在人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)“對(duì)頂角”教學(xué)過程中，可以對(duì)學(xué)生加強(qiáng)思維訓(xùn)練，反復(fù)進(jìn)行幾何反面例題訓(xùn)練，讓學(xué)生深刻理解對(duì)頂角的含義。如圖4所示：如何判斷∠1和∠2是對(duì)頂角？

在幾何學(xué)中，對(duì)頂角是兩個(gè)角之間的一種位置關(guān)系。兩條直線相交時(shí)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)交點(diǎn)，并產(chǎn)生以這個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)角，稱其中不相鄰的兩個(gè)角互為對(duì)頂角?；蛘哒f，其中的一個(gè)角是另一個(gè)的對(duì)頂角。通過逆向思維可得出，只有圖4（5）的∠1和∠2是對(duì)頂角，兩個(gè)角是兩條直線相交而構(gòu)成的角，同時(shí)有共同的定點(diǎn)，沒有共同邊。又比如，在平行線性質(zhì)定理進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師會(huì)對(duì)同位角進(jìn)行講解，如果兩直線平行，那么同位角相等。而學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)常會(huì)忽略已知條件，認(rèn)為只要兩個(gè)角存在同位角的關(guān)系，那么這兩個(gè)角就是相等的。教師可以通過反問的形式對(duì)學(xué)生進(jìn)行提問，如果兩個(gè)角是同位角關(guān)系，那么兩個(gè)角的大小是否相等？部分學(xué)生會(huì)回答相等，部分學(xué)生會(huì)回答需要根據(jù)情況而定。教師可以在黑板上畫出圖形（見圖5），兩條直線AB、CD被直線EF所截，圖上的∠1和∠2是否存在同位角關(guān)系，直線AB和CD是否存在平行關(guān)系？

學(xué)生觀察圖形可以得出，兩個(gè)角是同位角，但是直線AB和CD不存在平行關(guān)系，因此，∠1≠∠2。通過反面例題可知，同位角相對(duì)是平行線特有的性質(zhì)，但不是所有同位角都具有相等的關(guān)系，只有在兩條直線存在平行關(guān)系的條件下，同位角才具有相等的特性。

5.利用逆向思維，強(qiáng)化正反邏輯推理

教師在應(yīng)用逆向思維進(jìn)行幾何教學(xué)過程中，需要有效培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力，可以將正反邏輯推理的教學(xué)方法融入日常教學(xué)過程中，使逆向思維和正反邏輯推理能夠形成相輔相承的特色幾何教學(xué)模式，從而有效提高幾何教學(xué)效率。比如，在人教版幾何教學(xué)過程中，需要論證一個(gè)三角形中至少有一個(gè)角是小于或者等于60°，教師可以通過正反邏輯推理的方式進(jìn)行論證，假設(shè)這個(gè)三角形的三個(gè)角都大于60°，論證這個(gè)三角形是否存在。而根據(jù)三角形的基本定理可知，三角形的三個(gè)內(nèi)角之和為180°，如果三個(gè)角都大于60°，那么之和也大于180°，與三角形的基本定理相違背，因此，可得出這個(gè)三角形不存在。通過逆向思維和正反邏輯推理結(jié)合，可得出一個(gè)三角形中只有一個(gè)角是小于或者等于60°的結(jié)論是正確的。

6.結(jié)語

綜上所述，逆向思維教學(xué)模式是初中幾何教學(xué)的重要教學(xué)部分，通過逆向思維教學(xué)，可以有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生開動(dòng)腦筋，培養(yǎng)學(xué)生的思考能力和發(fā)散思維能力，從而使學(xué)生得到全面發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

[1]王國(guó)森.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)策略[J].知識(shí)窗（教師版），2021（08）.

[2]張前進(jìn).初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)分析[J].文理導(dǎo)航（中旬），2021（09）.

[3]馮丹.淺談逆向思維在中學(xué)數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中的作用[J].考試周刊，2020（22）.

[4]趙陸英.初中平面幾何中逆向思維培養(yǎng)的教學(xué)研究[D].華中師范大學(xué)，2019.

[5]鄭烈平.在平面幾何教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生逆向思維能力[J].福建基礎(chǔ)教育研究，2016（11）.

3597500589248