初中數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題解決能力培養(yǎng)的實踐

■江蘇省灌南縣六塘中學(xué) 江宋標(biāo)

應(yīng)用性問題就是將數(shù)學(xué)知識與生活現(xiàn)象結(jié)合在一起的題型，學(xué)生在解題的過程中能夠體會到數(shù)學(xué)與生活實際的聯(lián)系，不僅考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握程度，還考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的運用能力。因此教師在教學(xué)的過程中不應(yīng)當(dāng)局限于做題練習(xí)，更多的是需要講解解題技巧、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，只有學(xué)生能夠充分理解題目表達(dá)的意思，并結(jié)合生活實際和所學(xué)知識分析解題思路，才能提高解題的正確率，提高學(xué)生解決問題的能力。

一、因材施教激發(fā)學(xué)生興趣

因材施教是提升學(xué)習(xí)興趣的有效方法，這需要教師準(zhǔn)確了解各個學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，針對不同能力程度的學(xué)生采取不同的措施來培養(yǎng)他們的興趣。比如，基礎(chǔ)能力較弱的學(xué)生，特別是對應(yīng)用性問題中涉及的概念、公式等基礎(chǔ)知識掌握不全面的，教師要對其進行針對性輔導(dǎo)，先從簡單的應(yīng)用性問題開始，注重培養(yǎng)學(xué)生的解題自信，使他們不畏懼解題，只有學(xué)生自愿解決并會解答應(yīng)用性問題，才能樂意解題。例如，教師在講解求解速度的應(yīng)用性問題時，便可以先向能力較弱的學(xué)生提出基礎(chǔ)性的應(yīng)用題：汽車行駛至五百米的隧道時，需要30秒才能通過，那么這輛汽車速度是多少？當(dāng)學(xué)生通過畫圖正確解答出來之后，便能產(chǎn)生自信心，然后教師就可以在這道題的基礎(chǔ)上逐漸增加難度，針對學(xué)習(xí)能力強的學(xué)生提出問題“汽車完全行駛在隧道中需要4秒，長度是多少米”，不僅可以滿足能力強的學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，也能夠使能力弱的學(xué)生產(chǎn)生鉆研精神，繼續(xù)不斷地深入學(xué)習(xí)。另外，教師也可以通過競賽的方式讓學(xué)生一同比賽，營造良好的競爭氛圍，并給予解答問題又快又準(zhǔn)的學(xué)生相應(yīng)的獎勵，讓學(xué)生在比賽的氛圍中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。例如，教師在講解完“因式分解”相關(guān)知識后可以列出算式，分組讓學(xué)生進行分解因式計算：a2b+5ab+b、(a-b)2-(a-b)(a-c)+(a-b)(b+c)、xn+xn-1+xn-2等，難度可以由易到難，然后對快速計算完畢且全部正確的小組予以物質(zhì)或語言的激勵，以此激發(fā)其他小組學(xué)生的解題興趣，提升解題能力。

二、深挖例題拓展學(xué)生思維

應(yīng)用性問題解決能力的培養(yǎng)并不是一蹴而就的，這是一個循序漸進的過程，即便學(xué)生有濃厚的學(xué)習(xí)興趣也做不到在短時間內(nèi)養(yǎng)成學(xué)習(xí)能力，教師應(yīng)當(dāng)始終將牢固的基礎(chǔ)知識作為培養(yǎng)解決問題能力的根基。在講解新知識時，教師可以選擇簡單的問題進行引入，教材中的例題、習(xí)題是與教學(xué)內(nèi)容緊密關(guān)聯(lián)的，所以教師可以將這些題目進行適當(dāng)?shù)母淖?，使其變?yōu)楦鼮殚_放且發(fā)散的應(yīng)用問題，從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析，拓展學(xué)生的思維。例如，教師講解“點和圓、直線和圓的位置關(guān)系”這一節(jié)內(nèi)容的知識點時，便可以利用課本中的例題：不過圓心的直線Z交圓O于C、D兩點，AB是直徑，AE⊥Z，垂足為E，BF⊥Z，垂足為F，求證：CD=DF。教師此時可以對題目稍做變動，去掉課本中的例圖和求證問題，讓學(xué)生根據(jù)已知的條件自己畫圖，然后再進行證明。這樣不僅可以使學(xué)生的四維空間思維能力得到拓寬，也能使學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)的創(chuàng)新能力和問題解決能力。

三、結(jié)合生活實際加深學(xué)生理解

應(yīng)用性數(shù)學(xué)問題中，有一些名詞或者涉及的知識點是學(xué)生在生活中能夠接觸或者遇見的，所以教師在講解價格、速度、股票、話費清單等與生活相關(guān)的應(yīng)用問題時，便需要向?qū)W生普及一些有關(guān)的常見名詞的知識，如成本價、利潤、毛利潤、速度等，只有學(xué)生清楚理解這些名詞背后的含義，才能夠在后續(xù)解題的過程中準(zhǔn)確掌握題目的信息。教師還可以通過微信群或者QQ群時常與學(xué)生討論一些購物方面的數(shù)學(xué)知識，分享數(shù)學(xué)資料等，如可以與學(xué)生交流某些學(xué)生喜愛的產(chǎn)品的打折活動，讓學(xué)生比較哪一家的打折力度大，探究原因，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例如，教師在講解一元二次方程的題型時，可以結(jié)合“坐飛機托運行李”這一生活中常見的現(xiàn)象：行李托運時每人可以免費托運20千克，若超出規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)則需要收取托運費用，費用需要按照每千克票價的12%收取，小李乘坐飛機時攜帶的行李重40千克，機票與行李超額費用共1455元，那么小李的機票是多少錢？這一題干更方便學(xué)生理解一元二次方程的解法，能使學(xué)生切身感受到數(shù)學(xué)的魅力。教師也可以選擇創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境的方式培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，這便要求教師創(chuàng)設(shè)的情境即要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，符合教學(xué)目標(biāo)，還要含有豐富且直觀的數(shù)學(xué)信息，符合學(xué)生的認(rèn)知水平，便于學(xué)生理解。例如，教師在講解不等式的知識時，便可以創(chuàng)設(shè)生產(chǎn)活動的情境：有一項綜合治理河流的市政工程，需要磚瓦廠生產(chǎn)甲、乙兩種類型的磚共60萬塊，其中A類原料有150萬千克，B類原料有170萬千克，若是生產(chǎn)1萬塊甲磚，需要使用A類、B類原料1.5萬千克和4萬千克，造價1.2萬元；若是生產(chǎn)1萬塊乙磚，則需要使用A類、B類原料5萬千克和2.5萬千克，造價1.8萬元，那么可以設(shè)計幾種生產(chǎn)方案？當(dāng)教師將不等式的知識與生產(chǎn)情境結(jié)合在一起，便能夠引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識分析生產(chǎn)方案，不僅可以加深學(xué)生對知識的理解，也能養(yǎng)成解決實際問題的能力。

四、巧設(shè)問題啟發(fā)學(xué)生思維

提問是教師每節(jié)課必備的環(huán)節(jié)，不管教學(xué)內(nèi)容是什么，學(xué)生的基礎(chǔ)能力差異大或小，教師都必須通過深思熟慮，巧妙設(shè)計提問環(huán)節(jié)，即要避免問題過于簡單，也要保證問題的趣味性，以保證學(xué)生有充足的探究欲望去解答問題。例如“三角形內(nèi)角和定理”這節(jié)內(nèi)容，教師在教學(xué)時可以根據(jù)學(xué)生的不同基礎(chǔ)設(shè)計不同難度的問題，對于基礎(chǔ)一般的學(xué)生，教師可以提問：△ABC是等腰三角形，若其中一角是30°，另外兩個角是多少度。這類問題較為簡單，能夠滿足基礎(chǔ)能力不強學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，但是面對基礎(chǔ)較好的學(xué)生，教師便可以變更題目的難度：BC邊上的高等于BC邊長的一半，∠BAC是多少度。此時題目不僅需要將線段問題轉(zhuǎn)化為角的問題，學(xué)生還需要根據(jù)已知信息畫出相應(yīng)圖形，能有效達(dá)到推動學(xué)生探究的目的。

五、利用數(shù)學(xué)問題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感

初中數(shù)學(xué)教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思維思考問題、用數(shù)學(xué)方法解決問題的前提，便是數(shù)感的培養(yǎng)。只有學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)感，才能學(xué)習(xí)進步的同時懂得利用數(shù)學(xué)觀念認(rèn)識生活中的事物，懂得有意識地觀察并處理存在的數(shù)學(xué)問題，因此教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)利用數(shù)學(xué)問題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感，以提高提出問題和解決問題的能力。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)正負(fù)數(shù)時，教師可以利用一張存折讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)可以看到哪些數(shù)，它們表示什么含義；通過數(shù)學(xué)故事向?qū)W生介紹古代人們用“結(jié)繩記數(shù)”等方式表示數(shù)、用算籌進行計算；估算的范圍等。只有這樣才能促使學(xué)生將數(shù)學(xué)知識、解題技能與具體的事物聯(lián)系起來。

六、利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)換學(xué)生解題思維

數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，類型多樣，當(dāng)遇到函數(shù)問題、幾何問題、不等式問題時往往會有畏難心理，此時學(xué)生的數(shù)學(xué)思維被局限在固有的思維定式中，解題思路單一，不能將復(fù)雜的問題簡單化，使學(xué)生在解答問題時受到阻礙。數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中能運用直觀的圖形使學(xué)生理解題目中存在的數(shù)量關(guān)系，以此提升解題效率。學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想對應(yīng)用性問題進行分析探究時，不僅需要分析數(shù)量關(guān)系，還要探究圖形規(guī)律，在這樣的過程中，學(xué)生的邏輯思維和空間轉(zhuǎn)換思維也能得到一定程度的鍛煉。學(xué)生具備良好的數(shù)形結(jié)合思想，便可以實現(xiàn)“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”的教學(xué)效果。例如，數(shù)學(xué)函數(shù)問題，教師便可以利用數(shù)形結(jié)合的思想幫助學(xué)生尋找解決問題的突破口。教師可以出示題目：已知tanα=1/2，tanβ=1/3，求證α+β=45°。這道正切函數(shù)的問題需要學(xué)生利用題目中存在的數(shù)量關(guān)系構(gòu)造角α、β以此求證α+β=45°，此時教師可以引導(dǎo)學(xué)生先根據(jù)已知條件畫出角α、β，然后引導(dǎo)學(xué)生對圖形進行構(gòu)造，構(gòu)造出角α+β，以便能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為形象且直觀的圖形，借助圖形的分析，學(xué)生便可以快速得到答案，不僅可以提升實際的解決問題能力，使解題效率得以提高，同時也可以使學(xué)生逐步養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合思想，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維。

七、講解解題技巧提高學(xué)生解題能力

教師在教學(xué)時除了要讓學(xué)生有扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，還需要為學(xué)生講解解題技巧、解題方法或歸類指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，以此提高學(xué)生的解題能力，加強學(xué)生的理解能力。應(yīng)用性問題的解題思路整體上可以概括為讀題、理解材料、進行問題轉(zhuǎn)化、利用知識解決并應(yīng)用，不過面對不同類型的應(yīng)用問題，又有不同的解題技巧，所以教師要加以指導(dǎo)。應(yīng)用性問題大都是固定的幾種類型，即方程類、函數(shù)類、不等式類、幾何類、證明類，在考試中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)題也多是“換湯不換藥”，教師指導(dǎo)學(xué)生掌握應(yīng)用性問題各種類型的解題技巧，能夠讓學(xué)生減少考試失誤，取得良好的數(shù)學(xué)成績。比如，在講解有關(guān)解答方程類的應(yīng)用性問題時，教師便可以從認(rèn)真讀題，歸納題型、審視問題，尋找條件、篩選條件，分析有效變量、設(shè)置正確未知數(shù)，建立方程這幾個步驟來讓學(xué)生學(xué)習(xí)解題技巧，將重點放在對題目的閱讀和分析上。另外，由于應(yīng)用性問題彼此之間的關(guān)系不夠明顯，一些學(xué)生也沒有靈活的解題思路，所以教師還需要引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用性問題之間存在的關(guān)系，以保證學(xué)生能夠養(yǎng)成良好的數(shù)量關(guān)系思維。例如，某工廠對明年的產(chǎn)品制訂了生產(chǎn)計劃，該計劃中具有以下信息：1.參與產(chǎn)品生產(chǎn)項目的人員不超過150人；2.每一位員工一年的工時大約為2350個小時；3.該產(chǎn)品預(yù)計明年的銷售量至少在6萬件以上；4.該產(chǎn)品每一件生產(chǎn)需要3個小時；5.每一件產(chǎn)品生產(chǎn)需要的材料為15公斤；6.目前該廠庫存的生產(chǎn)材料為700噸，但是實現(xiàn)今年產(chǎn)品生產(chǎn)還需要220噸，在明年可以補充960噸，要求：根據(jù)上述的資料，決定明年的產(chǎn)量（x）的范圍。由于這類題目中存在較多的信息，學(xué)生在理解時容易混淆，因此教師便可以指導(dǎo)對題干信息進行分類整理，如工時為一類、生產(chǎn)時間與材料為一類、產(chǎn)量與銷量為一類等，這樣便可以使學(xué)生邏輯清晰，根據(jù)所學(xué)的生產(chǎn)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識列出明年產(chǎn)量的關(guān)系式，從而能得到最終的答案。

八、加強練習(xí)，建立錯題本

應(yīng)用性問題的解題方式與分析思路各式各樣，而且運算時的步驟也多，學(xué)生在解題時容易因為疏忽而出現(xiàn)錯誤，但是不論是何種應(yīng)用性問題，只要學(xué)生練習(xí)得多，對其背后考查的知識點與題目類型便能夠準(zhǔn)確掌握，減少出錯率。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯誤時便可以建立錯題本，將自己解決問題時出現(xiàn)的錯誤和正確的方法都列在錯題本中，定期進行鞏固練習(xí)，總結(jié)自己的錯誤，加深對正確解法的理解與記憶。只有學(xué)生在不斷總結(jié)歸納中認(rèn)識自我、復(fù)習(xí)知識，才能有效提高自學(xué)能力，加深學(xué)生對知識的記憶程度。學(xué)習(xí)能力比較強的學(xué)生都善于做總結(jié)和歸納，這類學(xué)生的思路往往比其他同學(xué)清晰，所以學(xué)習(xí)能力比較突出和顯著，很多數(shù)學(xué)題目就是形式變了一下，其實考查的都是同一個考點，學(xué)生將相同考點的題目在錯題本中進行歸納，總結(jié)這類題目的解決辦法，從而可以提高他們的解題能力。

九、培養(yǎng)學(xué)生的建模意識

數(shù)學(xué)教學(xué)中的建模思想是核心素養(yǎng)理念中的一個重要內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識和建模能力能使學(xué)生更加靈活地運用數(shù)學(xué)知識，使他們產(chǎn)生多種解題思路去解決應(yīng)用性問題。但是目前初中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中普遍存在的問題便是沒有較強的建模意識，學(xué)生難以理解數(shù)學(xué)在生活中存在的意義，不懂得如何利用數(shù)學(xué)知識解決問題，因此教師必須重視培養(yǎng)學(xué)生的建模意識，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題的能力。在平時的教學(xué)中，教師要注重對各種不同的數(shù)學(xué)模型進行詳細(xì)的講解，包括直角坐標(biāo)系、不等式、幾何、函數(shù)等，使學(xué)生在面對應(yīng)用性題目的時候能夠有效進行建模。只有通過建模的模式去做數(shù)學(xué)的推演，通過數(shù)學(xué)的建模來直觀、精確地找到解決問題的答案，才能夠使學(xué)生在運算時產(chǎn)生正確的結(jié)果。比如，在教學(xué)到裁剪布料這一數(shù)學(xué)問題時，教師就可以通過建模思想引導(dǎo)學(xué)生分析這個問題，學(xué)生可以將紙作為布料，用紐扣或者硬幣代替圓桌臺布，用橡皮代替矩形桌臺布，然后在一張紙上進行排列演示，看能產(chǎn)生多少種組合排列的方式，而這就是一個建模的過程。

十、學(xué)會溝通交流把握數(shù)學(xué)語言

溝通、交流不論在生活中還是在學(xué)習(xí)中都是不可或缺的一項基本能力，加強溝通交流才可以增進學(xué)生之間的感情。在數(shù)學(xué)教學(xué)中進行溝通和交流，主要是需要學(xué)生學(xué)會運用數(shù)學(xué)語言，以此養(yǎng)成對數(shù)學(xué)工具的運用能力和對數(shù)學(xué)信息的把握能力。例如，教師在講解等邊三角形的相關(guān)知識時，需要學(xué)生正確了解等邊三角形的性質(zhì)，此時教師可以用小組合作的方式讓學(xué)生集中討論，并用自己的話將這一知識點論述出來：三角形的三條邊若是都相等，就是等邊三角形。這樣不僅可以實現(xiàn)師生、生生的良好互動，使用通俗易懂且不失數(shù)學(xué)含義的語言進行交流，便可以讓學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)語言。

綜上所述，初中數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題的形式多樣，解題方法也各有不同，教師在教學(xué)時應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生對問題的解決能力，這不僅能使學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識更加扎實，還能提高學(xué)生的邏輯思維能力，對學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升也十分有利。