小學(xué)數(shù)學(xué)教材多邊形面積計(jì)算的比較

■江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)景城學(xué)校 陸泉萍

小學(xué)數(shù)學(xué)教育中教材發(fā)揮著引領(lǐng)作用，而不同的教材版本內(nèi)容設(shè)定會(huì)導(dǎo)致其中同樣一個(gè)例子的解題思路不同，從而對(duì)學(xué)生的思維拓展產(chǎn)生一定的影響。本文通過(guò)對(duì)蘇教版和滬教版教材的對(duì)比，總結(jié)了兩個(gè)不同版本教材的特點(diǎn)，并分別進(jìn)行了闡述，希望可以在工作中對(duì)數(shù)學(xué)教育起到積極的推進(jìn)作用。小學(xué)生數(shù)學(xué)教育中教材發(fā)揮著引領(lǐng)作用，以下是筆者總結(jié)的幾點(diǎn)心得及體會(huì)，從兩個(gè)方面進(jìn)行了詳細(xì)闡述。

一、內(nèi)容編排的整體對(duì)比

從學(xué)制來(lái)看，上海的義務(wù)教育是五四學(xué)制，江蘇的義務(wù)教育是六三學(xué)制。學(xué)制的不同導(dǎo)致教學(xué)內(nèi)容的編排不同，主要體現(xiàn)在同一內(nèi)容在年段的設(shè)置上以及教材內(nèi)容之間編排的順序上。

（一）教學(xué)內(nèi)容所處位置及其前后聯(lián)系

以“平行四邊形的面積”為例，蘇教版教材對(duì)此部分內(nèi)容安排在五年級(jí)上冊(cè)第二單元“多邊形的面積”，并且為該單元的第一課時(shí)。在此之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算（三年級(jí)下冊(cè)）、平行四邊形的初步認(rèn)識(shí)（四年級(jí)下冊(cè)），同時(shí)圖形的平移與旋轉(zhuǎn)（四年級(jí)下冊(cè)）以及垂線與平行線（四年級(jí)上冊(cè)）的相關(guān)內(nèi)容也為學(xué)生的探究提供了知識(shí)儲(chǔ)備。滬教版教材對(duì)此部分教材內(nèi)容安排在五年級(jí)上冊(cè)第五單元“幾何小實(shí)踐”中，為該單元的第二課時(shí)。第一課時(shí)則為平行四邊形的認(rèn)識(shí)。在此之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算（三年級(jí)上冊(cè)），垂線與平行線（四年級(jí)下冊(cè)）的學(xué)習(xí)也對(duì)本課起鋪墊作用?？傮w來(lái)看，蘇教版對(duì)相關(guān)內(nèi)容的編排較為分散，從三年級(jí)下冊(cè)起每一學(xué)期都編排了教學(xué)內(nèi)容，整體布局為平行四邊形的面積學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。滬教版教學(xué)內(nèi)容較為緊湊，它將平行四邊形的相關(guān)知識(shí)編排在一個(gè)單元內(nèi)，先認(rèn)識(shí)平行四邊形再學(xué)習(xí)其面積的計(jì)算。

（二）教材內(nèi)容呈現(xiàn)方式的對(duì)比

教材編寫方式不但讓不同版本的教材各具特色，還會(huì)影響實(shí)際教師的教學(xué)以及學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)滬教版與蘇教版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容呈現(xiàn)方式有以下幾方面的不同：

第一，知識(shí)引入。滬教版教材中的單元主題圖中包括該單元中全部需要學(xué)習(xí)的圖形，并且能銜接新舊知識(shí)，既與學(xué)生實(shí)際生活相聯(lián)系，還將遵守交通規(guī)則的德育內(nèi)容融入其中。蘇教版教材比較直接，展示方格紙后便提問(wèn)：“以下各組中的兩個(gè)圖形面積是否相同？采取哪種對(duì)比方式？”把平移以及轉(zhuǎn)化的思想滲透其中，為該后續(xù)該章節(jié)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。兩個(gè)版本的教材在開(kāi)篇引入中均發(fā)揮導(dǎo)入作用，不過(guò)滬教版導(dǎo)入更為自然并且與學(xué)生生活貼近，而蘇教版導(dǎo)入相對(duì)過(guò)于直接。第二，欄目設(shè)置。滬教版和蘇教版教材的欄目設(shè)置相差不多，蘇教版在單元結(jié)束部分設(shè)置了“評(píng)價(jià)與反思”，引導(dǎo)學(xué)生采取自我評(píng)價(jià)的方式找到自己的不足以及收獲，這亦是該版本教材的一個(gè)亮點(diǎn)之處。第三，版面設(shè)計(jì)。滬教版以及蘇教版的教材版面設(shè)置中圖畫顏色豐富、文字簡(jiǎn)潔、所選材料內(nèi)容均與學(xué)生實(shí)際生活貼近，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。而兩個(gè)版本教材的一個(gè)較為明顯差別在于其插圖的類型與數(shù)量。通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，相較于蘇教版教材來(lái)說(shuō)，滬教版教材的插圖數(shù)量更多，且豐富有趣。而蘇教版插圖數(shù)量相對(duì)偏少，注重內(nèi)容的編排。通過(guò)對(duì)比兩個(gè)版本教材的例題插圖可知，蘇教版的例題插圖多數(shù)是學(xué)生操作以及學(xué)習(xí)工具流程圖，有利于學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)要點(diǎn)的認(rèn)識(shí)與理解，不過(guò)趣味性相對(duì)不足。

（三）例題的對(duì)比分析

滬教版以及蘇教版教材在編寫例題上均彰顯了學(xué)生的主體地位，運(yùn)用的是小組合作以及動(dòng)手實(shí)踐的方式讓學(xué)生親自動(dòng)手操作，通過(guò)知識(shí)的遷移將新的知識(shí)推導(dǎo)出來(lái)，而非單純地直接呈現(xiàn)結(jié)論給學(xué)生。而兩個(gè)版本的區(qū)別在于蘇教版教材在處理知識(shí)點(diǎn)上更為細(xì)致，重視推導(dǎo)以及探索圖形面積，有利于學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力的提高。例如，在對(duì)三角形、平行四邊形以及梯形面積進(jìn)行學(xué)習(xí)的過(guò)程中，分別設(shè)置了兩個(gè)例題：例題1注重引導(dǎo)學(xué)生大致了解轉(zhuǎn)化的方法，例題2則引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)小組合作的方法進(jìn)行圖形的剪拼，加深其對(duì)轉(zhuǎn)化的認(rèn)識(shí)與理解。通過(guò)有效結(jié)合理論和實(shí)踐有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的進(jìn)一步理解與掌握。

（四）練習(xí)題的對(duì)比研究

梳理兩個(gè)版本教材中關(guān)于平行四邊形面積的練習(xí)（包含配套練習(xí)冊(cè)），蘇教版習(xí)題共設(shè)置13題，滬教版習(xí)題共設(shè)置31題。滬教版練習(xí)題量明顯多于蘇教版。從題型上來(lái)看，蘇教版練習(xí)題包含畫圖、計(jì)算圖形面積、解決實(shí)際問(wèn)題以及探究平行四邊形和長(zhǎng)方形關(guān)系。滬教版練習(xí)題型看似豐富，但主要涉及計(jì)算平行四邊形未知量，對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題以及平行四邊形與長(zhǎng)方形之間的聯(lián)系也有涉獵。根據(jù)相關(guān)學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的分級(jí)，對(duì)練習(xí)題進(jìn)行分類分析。水平1：計(jì)算——操作性記憶水平，即按照課本學(xué)習(xí)多邊形的面積公式正確計(jì)算面積。蘇教版處于該水平的練習(xí)題占比為53.8%，滬教版中該水平練習(xí)題占比為48.4%。水平2：概念——概念性記憶水平，即按照平行四邊形的面積公式，給出面積求h或a的值，或具有實(shí)踐性的簡(jiǎn)單題目。蘇教版處于該水平的練習(xí)題占比為23.1%，滬教版中該水平練習(xí)題占比為41.9%。水平1和水平2都處于較低層次的水平，蘇教版這兩個(gè)水平的練習(xí)題總占比76.9%，滬教版為90.3%?？磥?lái)，這兩個(gè)版本中的練習(xí)均偏重對(duì)基礎(chǔ)題的訓(xùn)練。水平3：領(lǐng)會(huì)——說(shuō)明性理解水平，即根據(jù)公式解決較為復(fù)雜的題目，需要一定的思考時(shí)間，甚至需要?jiǎng)邮謱?shí)踐。蘇教版處于該水平的練習(xí)題占比為23.1%，滬教版中該水平練習(xí)題占比為9.7%。從數(shù)據(jù)中可以看出，蘇教版對(duì)練習(xí)題的設(shè)置注重層次性，難易比例把握在一個(gè)較為合理的范圍。滬教版的練習(xí)題主要集中于對(duì)S、a、h三個(gè)量之間的求值練習(xí)。

二、教學(xué)啟示

根據(jù)對(duì)蘇教版和滬教版教材以及配套習(xí)題的對(duì)比分析，雖在教學(xué)主要思想方法上保持一致，但在具體教學(xué)實(shí)踐中仍有一定的差距。這些不同給了教師在教學(xué)多邊形面積時(shí)一些啟示，互相借鑒、融合創(chuàng)新方能為學(xué)生創(chuàng)造更優(yōu)效的課堂，加深學(xué)生對(duì)平行四邊形面積的理解，在此過(guò)程中發(fā)展核心素養(yǎng)。

（一）基于學(xué)情，靈活取材

教師教學(xué)工作的開(kāi)展要立足學(xué)生的實(shí)際需求，著眼于學(xué)生的未來(lái)發(fā)展，在材料選擇和教學(xué)內(nèi)容選定的過(guò)程中，只有充分根據(jù)學(xué)生的實(shí)際需求和實(shí)際問(wèn)題做出合理的選擇，才可以發(fā)揮教育的最大影響，因此基于學(xué)情靈活取材是提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量的重要基礎(chǔ)和保障。教師在實(shí)踐教學(xué)開(kāi)展的過(guò)程中要引起關(guān)注和重視，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)問(wèn)題、學(xué)習(xí)困境，在選材環(huán)節(jié)進(jìn)行深入且細(xì)致的考量和分析，提高教育的針對(duì)性和有效性。根據(jù)對(duì)兩版教材例題部分的對(duì)比研究，可以發(fā)現(xiàn)滬教版更具有開(kāi)放性。

筆者在使用蘇教版教材教學(xué)平行四邊形的面積時(shí)，對(duì)例2和例3之間存在一定的疑問(wèn)。為了使學(xué)生能對(duì)平行四邊形通過(guò)剪、移、拼的方式轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形有深刻的認(rèn)識(shí)，筆者隨即對(duì)學(xué)生進(jìn)行了追問(wèn)：“在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，你有什么發(fā)現(xiàn)？”此時(shí)，學(xué)生指出“面積不變”“形狀變了”“周長(zhǎng)變了”“平行四邊形的底就轉(zhuǎn)換成了長(zhǎng)方形的長(zhǎng)”“平行四邊形的高就是長(zhǎng)方形的高”不少學(xué)生僅從例2就能根據(jù)觀察、分析、推理明確轉(zhuǎn)化前后兩個(gè)圖形的聯(lián)系，能順勢(shì)推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式，一氣呵成、非常流暢。因此，當(dāng)教學(xué)進(jìn)行到例3環(huán)節(jié)，于絕大多數(shù)學(xué)生而言，這里反而變成了一種通過(guò)動(dòng)手操作“驗(yàn)證猜想”的過(guò)程。同時(shí)，在這里的小組討論中，呈現(xiàn)的三個(gè)問(wèn)題學(xué)生在例2環(huán)節(jié)已經(jīng)能解決，不免有些重復(fù)拖沓。顯然，很多學(xué)生是不樂(lè)意動(dòng)手操作去驗(yàn)證更高階層的推理的。筆者在課后和學(xué)生交談，這些思維走在前頭的學(xué)生表示“都推出來(lái)了，為什么還要從表格的數(shù)據(jù)去發(fā)現(xiàn)平行四邊形和長(zhǎng)方形的關(guān)系”。

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教。盡管筆者在實(shí)際教學(xué)中遇到困惑，但仍感操作對(duì)現(xiàn)階段的學(xué)生而言不可棄。畢竟，在課堂中學(xué)生的思維水平是不同的，因此也不能照搬滬教版的教學(xué)流程到課堂上，否則又會(huì)陷入“只有推理沒(méi)有操作”的窘境。因此，教師在教學(xué)平行四邊形的面積時(shí)，可以借鑒滬教版例題編排的啟示，設(shè)置一個(gè)更為開(kāi)放的探索環(huán)境，同時(shí)給予學(xué)生不同的扶手。比如，教師可以將小組討論的問(wèn)題前置，在學(xué)生掌握了轉(zhuǎn)化方法后隨即提出，引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法去發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖形之間的關(guān)系，既鼓勵(lì)思維水平高的學(xué)生推理驗(yàn)證，也給另外一些學(xué)生提供通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作探索的空間。在這里，兩種方法沒(méi)有優(yōu)劣之分，都是現(xiàn)階段最有效的方法，因此都值得尊重。

（二）靈活教學(xué)，激發(fā)興趣

教學(xué)方法是教學(xué)開(kāi)展過(guò)程中的重要途徑，教學(xué)方法的有效選擇對(duì)教學(xué)效率能否提升和教學(xué)目標(biāo)能否有效達(dá)成都會(huì)產(chǎn)生重要的影響和幫助。現(xiàn)階段隨著教育研究的不斷深化和發(fā)展，教師可供采用的方法和策略也變得越來(lái)越多，例如，微視頻教學(xué)資源、慕課教學(xué)、情境化教學(xué)、游戲化教學(xué)、分層教學(xué)等，這些教學(xué)方法都可以引入數(shù)學(xué)教學(xué)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率和質(zhì)量，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)興趣。兼顧學(xué)生的能力和興趣，教師要立足學(xué)生的實(shí)際需求和教學(xué)內(nèi)容，做出合理的判斷和選擇，通過(guò)教學(xué)方法的優(yōu)化和改良，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索欲望。在開(kāi)展多邊形面積計(jì)算的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注重教學(xué)方式的革新，將學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性有效調(diào)動(dòng)起來(lái)，并且在教學(xué)中注重“起點(diǎn)”的把握，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。所以在實(shí)際教學(xué)時(shí)，教師要重視學(xué)生運(yùn)用已經(jīng)掌握的知識(shí)以及經(jīng)驗(yàn)，并對(duì)其進(jìn)行有效整合與遷移，將課堂歸還給學(xué)生，促使學(xué)生可以積極主動(dòng)地將已經(jīng)掌握的知識(shí)內(nèi)容利用起來(lái)，深化其對(duì)相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知與理解，感受到數(shù)學(xué)的意義、價(jià)值以及魅力，調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

例如，在對(duì)“梯形的面積”進(jìn)行學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生在此之前均已了解到梯形的特征，同時(shí)對(duì)三角形以及平行四邊形的面積學(xué)習(xí)過(guò)程中已初步樹(shù)立了相關(guān)的空間概念，同時(shí)積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，所以在實(shí)際教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生實(shí)際生活案例，引導(dǎo)學(xué)生將梯形面積求解出來(lái)，鼓勵(lì)學(xué)生積極探討能由哪方面尋求梯形面積，梯形面積和什么面積存在關(guān)聯(lián)？循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生將梯形面積的計(jì)算公式推導(dǎo)出來(lái)。學(xué)生根據(jù)問(wèn)題逐步深入探究，親自體驗(yàn)了“再”創(chuàng)造的樂(lè)趣，并且滿足了個(gè)性化發(fā)展的需求。所以，總的來(lái)說(shuō)，在開(kāi)展多邊形面積計(jì)算教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)尊重學(xué)生的主體地位，科學(xué)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，利用學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)發(fā)揮其主觀能動(dòng)性，調(diào)動(dòng)全體學(xué)生都參與教學(xué)活動(dòng)，讓其在親自動(dòng)手實(shí)踐過(guò)程中提高學(xué)習(xí)能力，實(shí)現(xiàn)教學(xué)質(zhì)量的提高。

（三）關(guān)注理解，注重探究

數(shù)學(xué)教學(xué)是為了培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力，而想要達(dá)成這一教學(xué)目標(biāo)就需要學(xué)生足夠了解知識(shí)。在深入了解后，學(xué)生才可以靈活應(yīng)用知識(shí)，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行有效解決和處理。為此，在教學(xué)開(kāi)展的過(guò)程中關(guān)注學(xué)生的理解能力和理解效率顯得十分必要，這樣才可以為學(xué)生的問(wèn)題解決提供良好的知識(shí)基礎(chǔ)，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)和學(xué)習(xí)能力。根據(jù)對(duì)兩版教材習(xí)題設(shè)置的對(duì)比，可以看出蘇教版教材配套習(xí)題明顯偏少，但對(duì)學(xué)生的要求并不低，這對(duì)學(xué)生的學(xué)和教師的教都提出了非常高的要求。但事實(shí)表明，一個(gè)基本知識(shí)的掌握需要至少六遍才能達(dá)到熟練程度，因此數(shù)量這一塊的缺失值得教師引起關(guān)注。筆者發(fā)現(xiàn)，滬教版教材以及配套習(xí)題冊(cè)有大量已知面積求未知量這一逆向思維題，說(shuō)明編者對(duì)此類型習(xí)題格外關(guān)注。而相關(guān)練習(xí)在蘇教版教材以及配套習(xí)題冊(cè)中均沒(méi)有看見(jiàn)。那這一類型習(xí)題究竟要不要在蘇教版教學(xué)中添加呢？筆者覺(jué)得十分有必要。因?yàn)槟嫦蛩伎几軒椭鷮W(xué)生理解平行四邊形面積各部分之間的關(guān)系，深化對(duì)面積的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)接下來(lái)的三角形和梯形的面積時(shí)，能從平行四邊形的學(xué)習(xí)中得到啟發(fā)，進(jìn)而逆向思考各部分量之間的關(guān)系，降低學(xué)生理解的難度。另外，水平層級(jí)最低的練習(xí)中，蘇教版展現(xiàn)的平行四邊形較為單一，僅僅有1題，而滬教版有6題。滬教版習(xí)題關(guān)注學(xué)生對(duì)平行四邊形底和高的選擇，因此設(shè)置了相關(guān)練習(xí)，這一部分在蘇教版練習(xí)中也沒(méi)有體現(xiàn)。

當(dāng)然，從練習(xí)的對(duì)比數(shù)據(jù)可以看出，蘇教版練習(xí)雖在“理解”上習(xí)題的量和多樣性上沒(méi)有滬教版做得好，但也有其值得借鑒的地方。例如，蘇教版練習(xí)有畫圖、解決實(shí)際問(wèn)題以及動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)，這些豐富的數(shù)學(xué)練習(xí)有助于學(xué)生養(yǎng)成深入探究的良好習(xí)慣。又如，蘇教版教材練習(xí)題中，引導(dǎo)學(xué)將用細(xì)木條釘成的長(zhǎng)方形框拉成平行四邊形，觀察周長(zhǎng)與面積的變化情況。這與例題中是兩種截然不同的轉(zhuǎn)化，學(xué)生能在實(shí)驗(yàn)推理中區(qū)分兩種轉(zhuǎn)化并且知道在每個(gè)過(guò)程中什么沒(méi)變、什么變了、怎么變的、為什么會(huì)引起這樣的變化。這樣的探索空間，給了學(xué)生無(wú)限的生長(zhǎng)力量，遠(yuǎn)比做幾道習(xí)題深刻，因此，這也是蘇教版教材練習(xí)的一個(gè)特色。