模型思想導(dǎo)向下的小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算法則教學(xué)案例研究

齊小維

（沈陽(yáng)大學(xué) 遼寧·沈陽(yáng) 110044）

2011年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了10個(gè)核心詞匯，模型思想作為其中的一個(gè)，決定了它在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想旨在幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。

2014年教育部提出要發(fā)展各學(xué)段學(xué)生的核心素養(yǎng)體系，以培養(yǎng)學(xué)生自主發(fā)展的能力。近年來(lái)，數(shù)學(xué)建模教學(xué)備受關(guān)注。國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模能夠?qū)⑸钪辛闵⒌膯?wèn)題數(shù)學(xué)化、格式化，用模型思想作為理論指導(dǎo)，能夠提高解決問(wèn)題的效率，促進(jìn)問(wèn)題的合理解決。實(shí)踐證明，將模型思想滲透于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠更好的培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此模型思想導(dǎo)向下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)成為國(guó)內(nèi)外教育界的熱門話題。

1 模型思想概念界定

“為了描述一個(gè)實(shí)際現(xiàn)象更具科學(xué)性、邏輯性、客觀性和可重復(fù)性，人們采用比較嚴(yán)格的語(yǔ)言來(lái)描述各種現(xiàn)象，這種語(yǔ)言就是數(shù)學(xué)。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型?！?/p>

通俗地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型就是將實(shí)際問(wèn)題分類后，解決各類問(wèn)題所固有的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。而模型思想就是在提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，檢索已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷一系列抽象、推理，將未知轉(zhuǎn)化為已知，從而建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，所應(yīng)用到的數(shù)學(xué)指導(dǎo)思想。

2 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的意義

2.1 形成重要的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)是在模式化的過(guò)程中豐富和發(fā)展的。數(shù)學(xué)建模的思想可以引申出簡(jiǎn)化思想、函數(shù)思想、類比思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想等。建立數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要過(guò)程。例如：自然數(shù)“1”可以表示“1頭?！薄耙豢脴?shù)”“一只鳥(niǎo)”等具體的事物；“部分?jǐn)?shù)+部分?jǐn)?shù)=總數(shù)”可以派生出“白鵝有一只，黑鵝有五只，一共有幾只？”等。學(xué)生形成了模型思想等一系列重要的數(shù)學(xué)思想，不僅有利于記憶與理解數(shù)學(xué)知識(shí)，還有利于進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移。

2.2 增強(qiáng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)欲望

數(shù)學(xué)模型是溝通數(shù)學(xué)與外界世界的重要橋梁。數(shù)學(xué)模型之所以能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，就是因?yàn)閿?shù)學(xué)模型能夠把枯燥的數(shù)學(xué)問(wèn)題趣味化、多元化。例如：在學(xué)習(xí)整數(shù)乘法時(shí)，學(xué)生可以按照自己喜歡的方式動(dòng)手操作，通過(guò)擺小棒、折紙、畫(huà)圖等多種方式，進(jìn)行觀察、探究、學(xué)習(xí)，從而推導(dǎo)出整數(shù)乘法的計(jì)算法則，建立數(shù)學(xué)模型。

2.3 積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

有些不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題卻蘊(yùn)含著類似的數(shù)學(xué)模型思想。例如：整數(shù)加法和整數(shù)減法都可以利用擺小棒的方式來(lái)進(jìn)行探索；分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法都可以利用折紙的方法來(lái)進(jìn)行探究等。因此，只要掌握其中的一種探究方法，就可以舉一反三。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想有利于幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。而學(xué)生通過(guò)自己喜歡的方式進(jìn)行探究，這也有利于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和創(chuàng)新意識(shí)。

2.4 提高小學(xué)生獨(dú)立解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力

將模型思想滲透于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生會(huì)逐漸形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、理性的?shù)學(xué)思維。而良好的數(shù)學(xué)思維就能夠支撐學(xué)生結(jié)合以往活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)立的去探索、解決問(wèn)題。例如：在學(xué)習(xí)完整數(shù)加、減、乘、除法之后，學(xué)生就會(huì)根據(jù)自己所掌握的方法，獨(dú)立解決四則混合運(yùn)算、簡(jiǎn)便運(yùn)算等數(shù)學(xué)問(wèn)題；也可以用這種模型思想去學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算等。

2.5 增強(qiáng)小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)用意識(shí)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其實(shí)就是為了解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。而模型思想就是連接數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活之間的重要橋梁。北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材基本每節(jié)課的導(dǎo)入都是創(chuàng)設(shè)生活中的情境，從中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決。而學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)，也自然能夠解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。例如：學(xué)習(xí)了整數(shù)加減法，學(xué)生就可以獨(dú)立去買菜找零錢。因此，將模型思想滲透于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于增強(qiáng)小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)用意識(shí)。

2.6 改善小學(xué)生學(xué)習(xí)方式

模型思想的滲透，能夠防止學(xué)生死記硬背。數(shù)學(xué)知識(shí)是靈活的，是互通的。因此只要形成了良好的數(shù)學(xué)思維，就會(huì)利用模型思想進(jìn)行舉一反三。例如，學(xué)生掌握了整數(shù)乘法，小數(shù)乘法也迎刃而解，只需注意小數(shù)點(diǎn)的位置即可。這不僅能夠減輕小學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，還能夠改善小學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，從而提高學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)質(zhì)量。

3 建模模式下教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)——以分?jǐn)?shù)除法（二）為例

3.1 復(fù)習(xí)檢查，設(shè)疑激趣

PPT出示復(fù)習(xí)檢查的問(wèn)題，并強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)除法（一）的意義、算理和算法。這節(jié)課就讓我們一起來(lái)學(xué)習(xí)更有挑戰(zhàn)性的知識(shí)：分?jǐn)?shù)除法（二）——除數(shù)是分?jǐn)?shù)的除法。（板書(shū)）

安排此環(huán)節(jié)的目的在于了解學(xué)生，夯實(shí)基礎(chǔ)；在上課伊始便集中學(xué)生的注意力，使其產(chǎn)生求知訴求。

3.2 探索新知，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)

把教材中靜態(tài)的問(wèn)題串1搬到動(dòng)態(tài)的大屏幕上！引導(dǎo)學(xué)生：

（1）每1張一份，可分成幾份？

在學(xué)生輕易得出結(jié)果，列出算式之后，追問(wèn)道理，使其說(shuō)出：因?yàn)檫@是一個(gè)平均分的問(wèn)題，所以要列成除法算式。對(duì)于想到：1張餅是1份，四張餅就是四個(gè)一份，可以用4×1=4表示的學(xué)生給予更高的評(píng)價(jià)：把除法轉(zhuǎn)化成了更好算的乘法。

設(shè)置意圖：由簡(jiǎn)答問(wèn)題入手，進(jìn)一步明確整數(shù)除法的意義，滲透轉(zhuǎn)化思想，幫助學(xué)生建立學(xué)好本節(jié)課的信心，為后續(xù)探究分?jǐn)?shù)除法（二）奠定基礎(chǔ)。有了知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備之后，提出本課的關(guān)鍵問(wèn)題，“除數(shù)是分?jǐn)?shù)的除法”問(wèn)題。

新課標(biāo)指出：教學(xué)中，學(xué)生是發(fā)現(xiàn)者，要讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

這是學(xué)生初次接觸除數(shù)是分?jǐn)?shù)的除法，為了突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，選擇“探究發(fā)現(xiàn)教學(xué)法”，引導(dǎo)學(xué)生借助圓形紙片，看出，每張餅一份，就相當(dāng)于把每張餅都平均分成2份，總共有4張這樣的餅，就是4個(gè)2份，從而數(shù)出8份或4×2算出8份。然后要求學(xué)生以“小組合作”的學(xué)習(xí)方式，寫(xiě)出數(shù)學(xué)表達(dá)式并探究其意義和算理。在學(xué)生匯報(bào)的同時(shí)我強(qiáng)調(diào)：是把4張一樣大的餅，按著每份都是張進(jìn)行平均分的問(wèn)題，同樣是平均分的問(wèn)題，所以用除法，點(diǎn)明算式意義，滲透類比思想，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

對(duì)于其他算法，如：

均給予肯定，提倡一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。在幫扶學(xué)生解決了除數(shù)是分?jǐn)?shù)的除法問(wèn)題后，出示：

設(shè)置意圖：這一環(huán)節(jié)，主要讓學(xué)生經(jīng)歷演繹推理的過(guò)程，通過(guò)語(yǔ)言和手勢(shì)進(jìn)行強(qiáng)化，逐步進(jìn)行抽象概括，為學(xué)生獨(dú)立建立模型奠定基礎(chǔ)。

（5）小結(jié)。

引導(dǎo)學(xué)生觀察這些算式，抽象出除數(shù)是分?jǐn)?shù)的除法的計(jì)算方法。和分?jǐn)?shù)除法（一）的計(jì)算方法一樣，被除數(shù)沒(méi)變，÷變成x，除數(shù)變成了它的倒數(shù)。

知識(shí)來(lái)源于生活，又應(yīng)用于生活。引導(dǎo)學(xué)生列舉生活中的例子來(lái)解釋這種計(jì)算方法。

大家用生活中的例子又一次幫我們解釋了除以一個(gè)幾分之一的分?jǐn)?shù)，就等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。淘氣想了個(gè)辦法來(lái)驗(yàn)證，你能看懂么？（多媒體出示）想一想，填一填。

設(shè)置意圖：借助學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，長(zhǎng)方形的面積公式，解釋除數(shù)是分?jǐn)?shù)的除法的計(jì)算方法。幫助學(xué)生深入理解算理。

3.3 應(yīng)用拓展，鞏固練習(xí)

剛才我們的計(jì)算都是除以分?jǐn)?shù)單位，那如果是除數(shù)不是分?jǐn)?shù)單位也可以這么算嗎？出示例題，由特殊推廣到一般。最終引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象概括，得出數(shù)學(xué)模型：除以一個(gè)不為0的數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生理解算理，知道除以任意分?jǐn)?shù)都可以用同樣的計(jì)算方法，并強(qiáng)調(diào)計(jì)算時(shí)要注意：能約分的先約分。至此，實(shí)現(xiàn)一個(gè)完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程。

不計(jì)算直接比較大小是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，因此出示練習(xí)題，進(jìn)行講解，再次強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)除法的意義、算理和算法。

3.4 全課總結(jié)

通過(guò)上節(jié)課和這節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家又有怎樣的思考和收獲呢？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的知識(shí)和方法，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

4 模型思想導(dǎo)向下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略

4.1 聯(lián)系生活，精選問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生感悟模型思想

小學(xué)生身心發(fā)展的年齡特征決定了他們很難理解抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，因此教師要聯(lián)系小學(xué)生的生活實(shí)際創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生感悟并建立數(shù)學(xué)模型。“在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算法則教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)的情境要有代表性和趣味性，將教學(xué)內(nèi)容緊密聯(lián)系生活實(shí)際，能夠激發(fā)學(xué)生的思考和興趣。”以加深學(xué)生對(duì)算理的理解和對(duì)運(yùn)算法則的掌握。

例如在案例中，就精選了折紙的問(wèn)題，首先貼近學(xué)生生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，其次滲透模型思想，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)信息，檢索已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，建立數(shù)學(xué)模型，把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題，并用算式補(bǔ)充建模過(guò)程，從而解決實(shí)際問(wèn)題。

4.2 合理的運(yùn)用輔助工具，在多元的數(shù)學(xué)操作中建構(gòu)算法模型

要提高數(shù)學(xué)建模能力，學(xué)生必須先明白如何塑造數(shù)學(xué)模型。在培養(yǎng)小學(xué)生模型塑造能力的過(guò)程中，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維，在多元的數(shù)學(xué)操作中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。以此幫助小學(xué)生養(yǎng)成敢于探索、勇于實(shí)踐的精神。在教學(xué)中，要運(yùn)用多種直觀手段來(lái)幫助小學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，可以采用列表法、圖形法、圖像法等?！敖柚跀[弄學(xué)具到操作語(yǔ)言的有序過(guò)渡，或在操作語(yǔ)言中由直觀的畫(huà)圖到抽象的列式等的逐層展開(kāi)，可以高效地幫助學(xué)生跨越從具象到抽象的思維障礙，實(shí)現(xiàn)由直觀算理到抽象算法的有效聯(lián)結(jié)與及時(shí)提升?！?/p>

例如在案例中，就借助了面積模型，通過(guò)分一分，折一折，畫(huà)一畫(huà)等多元的數(shù)學(xué)操作中，根據(jù)直觀觀察，建立了分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的聯(lián)系，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

4.3 豐富探索問(wèn)題的過(guò)程，在口算與筆算對(duì)應(yīng)聯(lián)結(jié)中建構(gòu)算法模型

“基礎(chǔ)知識(shí)不應(yīng)求全，而應(yīng)求連；基本技能不應(yīng)求全，而應(yīng)求變。”教師應(yīng)該豐富學(xué)生探索問(wèn)題的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)進(jìn)行延伸、拓展和綜合。在運(yùn)算法則教學(xué)中，“口算與筆算之間具有類似的算法結(jié)構(gòu)，有較強(qiáng)的系統(tǒng)性和連貫性，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)方法及策略的正遷移，促進(jìn)小學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)與思維的自主發(fā)展，巧妙滲透類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、抽象推理、建模等數(shù)學(xué)思想?！?/p>

例如在案例中，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)提供的數(shù)學(xué)信息，檢索已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)建立不同的數(shù)學(xué)模型，將分?jǐn)?shù)除法問(wèn)題轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法、分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、商不變規(guī)律等問(wèn)題，在口算與筆算的對(duì)應(yīng)聯(lián)結(jié)中，推導(dǎo)出計(jì)算法則，理解算理，從而解決實(shí)際問(wèn)題。

4.4 采用探究式教學(xué)，在有序表述中建構(gòu)算法模型

在引導(dǎo)小學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，教師可以采用探究式教學(xué)策略，讓小學(xué)生參與到問(wèn)題的探索中，可以采用小組合作交流的教學(xué)策略。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一個(gè)善于運(yùn)用完整的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的學(xué)生，他的學(xué)習(xí)才是深刻的，數(shù)學(xué)思維才是豐富的。在運(yùn)算法則學(xué)習(xí)中，應(yīng)促成學(xué)生數(shù)學(xué)模型的遷移與運(yùn)用，通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用完整、有序的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，來(lái)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，鍛煉學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力，達(dá)到說(shuō)、算、思的共贏共進(jìn)。

5 結(jié)論

通過(guò)本論題的研究，筆者認(rèn)為，關(guān)于模型思想導(dǎo)向下的小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算法則教學(xué)必須思考和回答如下幾個(gè)問(wèn)題。第一：首先教師必須明確什么是模型思想、數(shù)學(xué)建模需要怎樣的過(guò)程。第二：在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算法則教學(xué)中如何滲透模型思想。第三：在具體教學(xué)中的每一個(gè)環(huán)節(jié)中滲透到什么程度，應(yīng)該如何去點(diǎn)撥和引導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生利用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)歷抽象、推理，把數(shù)學(xué)模型建構(gòu)起來(lái)。

實(shí)踐證明在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想，確實(shí)能夠培養(yǎng)小學(xué)生的建模意識(shí)和數(shù)學(xué)思維，從而提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為小學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)與發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。

由此啟示我們，未來(lái)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，模型思想的滲透力度必將加大。但在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中滲透模型思想是一項(xiàng)嶄新而復(fù)雜的工程，還有很多問(wèn)題亟待解決。比如針對(duì)每一個(gè)情境，具體的滲透策略是怎樣的？這就需要我們所有準(zhǔn)教師、一線教師及廣大教育研究人員繼續(xù)有針對(duì)性的深入、具體的實(shí)踐與研究。