圖像多尺度幾何分析域隱馬爾可夫樹模型研究進展

王相海，宋若曦，曲思潔，穆振華，宋傳鳴

（1.遼寧師范大學(xué)地理科學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116029；2.遼寧師范大學(xué)計算機科學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，遼寧大連 116081；3.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116029）

1 引言

近年來在調(diào)和分析理論基礎(chǔ)上發(fā)展起來的多尺度幾何分析（MGA）為圖像和信號的稀疏表示提供了有效的工具支撐［1，2］.多尺度幾何分析也稱后小波分析，它包含了計算調(diào)和分析和稀疏逼近的發(fā)展趨勢.多尺度幾何分析可以看作圖像稀疏分解發(fā)展的一個分支，其目的是檢測、表示、處理某些高維度空間數(shù)據(jù)［1］.Wavelet變換作為一種時頻分析工具，實現(xiàn)了對一維信號“點奇異”特性的有效表示，但其對圖像及高維信號中的“線、面奇異”特性卻難以實現(xiàn)最優(yōu)的非線性逼近.后小波時代出現(xiàn)的具有方向性的MGA方法［3～10］，諸如Ridgelet 變換［5］、Bandelet 變換［6］、Curvelet 變換［7］、Shearlet 變換［8］、Contourlet 變換［9］和Directionlet 變換［10］等為更好地捕捉圖像中的多方向邊緣和紋理等信息提供了更加有效的逼近方案，從而實現(xiàn)了對包含高維奇異特性圖像的有效稀疏表示.圖像經(jīng)MGA 變換后的子帶具有方向性、局部性和多尺度特性，這些特性為圖像壓縮、去噪、融合和邊緣檢測等實際應(yīng)用奠定了基礎(chǔ).近年來研究人員除了關(guān)注這些特性外，對圖像分解后系數(shù)的統(tǒng)計規(guī)律以及子帶間系數(shù)的相關(guān)性進行了積極研究，獲得了圖像更深層次的一些內(nèi)在特性，在很大程度上提高了圖像處理的效果.

作為經(jīng)典的統(tǒng)計模型，隱馬爾可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）可對含有隱變量參數(shù)的馬爾可夫過程進行描述，從可觀察的參數(shù)中確定該過程的隱含參數(shù)，然后利用這些參數(shù)為后續(xù)應(yīng)用作進一步的分析.在實際應(yīng)用中，HMM 有多種表現(xiàn)形式，其概率圖表現(xiàn)形式被稱為隱馬爾可夫樹模型（HMT）［11］.MGA 域圖像隱馬爾可夫樹模型通過一種樹形結(jié)構(gòu)建立起多尺度變換系數(shù)的隱狀態(tài)與其孩子之間的關(guān)系，間接刻畫了尺度間系數(shù)的相關(guān)性，更深層次地挖掘了圖像的多尺度和多方向特性.圖像MGA 域HMT 模型最早由Crouse等人［11］應(yīng)用于Wavelet域，提出了Wavelet HMT模型，并應(yīng)用于圖像去噪以及紋理檢索中.在此之后，學(xué)者們根據(jù)不同MGA 變換系數(shù)的統(tǒng)計規(guī)律特性，以及不同傳遞關(guān)系提出了不同形態(tài)的MGA 域HMT 模型［12～17］，并將其應(yīng)用于諸如圖像去噪、圖像融合、紋理檢索及圖像分割等多個圖像處理領(lǐng)域［18～27］.這些模型進一步揭示了MGA 變換系數(shù)之間的關(guān)系，更加有效地挖掘了圖像MGA域的深度特性，提高了圖像處理效果.

本文對MGA 域圖像HMT模型（記為MGA-HMT）進行綜述.首先，對傳統(tǒng)MGA-HMT 模型的發(fā)展情況進行總結(jié)，并給出了模型構(gòu)建一般過程的形式化描述；然后對傳統(tǒng)MAG-HMT涉及的一些關(guān)鍵問題進行分析，并以此為脈絡(luò)對目前MGA-HMT 模型中這些問題的解決方案和模型的發(fā)展?fàn)顩r進行分析和討論；最后對MGAHMT模型未來的發(fā)展進行了展望.

2 傳統(tǒng)MGA-HMT模型分析

傳統(tǒng)MGA 域統(tǒng)計模型更多關(guān)注MGA 變換各子帶內(nèi)系數(shù)的關(guān)系［28～31］，難以準(zhǔn)確刻畫不同尺度間系數(shù)的相關(guān)性.Crouse等人［11］將HMT模型引入圖像Wavelet變換尺度間系數(shù)中，應(yīng)用“二狀態(tài)、零均值”的混合Gaussian 分布對Wavelet 系數(shù)進行描述，并依據(jù)Wavelet 系數(shù)的父子傳遞關(guān)系建立了Wavelet-HMT模型，通過一種樹形結(jié)構(gòu)建立起系數(shù)的隱狀態(tài)與其孩子之間的關(guān)系，開啟了圖像MGA-HMT這一新的研究領(lǐng)域.

2.1 MGA-HMT模型基本架構(gòu)—以Wavelet為例

（1）圖像Wavelet變換統(tǒng)計特性

圖像經(jīng)傳統(tǒng)Wavelet 變換，可分解為一個低頻子帶和沿水平、豎直及對角線方向的三個高頻子帶.統(tǒng)計研究表明，圖像Wavelet 變換各高頻子帶系數(shù)具有“高尖峰、長拖尾”的分布統(tǒng)計特性（如表1 所示，給出了三幅圖像經(jīng)3 層“db1”Wavelet 變換后第三層三個方向系數(shù)的直方圖統(tǒng)計結(jié)果）；Wavelet 可實現(xiàn)對圖像的的稀疏表示，即絕大多數(shù)的系數(shù)值都在零點附近，只有少量的系數(shù)幅值較大，從而可用少量非零系數(shù)來表示圖像.

表1 圖像Wavelet方向子帶直方圖統(tǒng)計

由圖1 的統(tǒng)計結(jié)果也可以看出，Wavelet 變換各子帶系數(shù)概率分布的均值為0，但其峰度值均大于Gaussian 分布的峰度值3，因此單高斯分布對子帶系數(shù)的刻畫能力有限［32］.為此，研究人員用高斯尺度混合（Gaussian Scale Mixtures，GSM）模型中的“大”狀態(tài)和“小”狀態(tài)分別對其進行建模［33］，即對數(shù)量相對較少的圖像邊緣區(qū)域附近的具有階躍性變化的灰度值用GSM模型中的“大”狀態(tài)建模，而對數(shù)量相對較少的圖像邊緣以外的區(qū)域或平滑區(qū)域的灰度值用GSM 模型中的“小”狀態(tài)進行建模.如此便可以用一個方差較大及一個方差較小的Gaussian 分布和所形成的Gaussian 混合分布對小波系數(shù)進行建模.

（2）Wavelet-HMT模型的架構(gòu)

對圖像 Wavelet 變換方向子帶系數(shù)X={x1,x2,…,xN}，進行GSM建模，即

其中，si表示系數(shù)所處狀態(tài)(m)表示系數(shù)分別取“大”“小”狀態(tài)的初始狀態(tài)概率分布，且滿足表示處于不同狀態(tài)時對應(yīng)的Gaussian 概率密度分布函數(shù)，其表達式為

其中，μi,m和分別為Gaussian 分布待估計均值和方差.

進一步，將該GMM 作為HMT 模型的條件概率，將其中的大、小狀態(tài)作為馬爾可夫傳遞隱狀態(tài)，將如圖1所示的四叉樹傳遞結(jié)構(gòu)作為HMT 模型傳遞方式（圖1中白色圓圈代表小波系數(shù)，黑色圓圈代表當(dāng)前系數(shù)所對應(yīng)的隱狀態(tài)），構(gòu)建HMT 模型（記為WHMT），并通過EM算法［34］對參數(shù)行估計.WHMT模型的參數(shù)Θ為

其中，(m)表示每棵樹根節(jié)點的狀態(tài)概率，m表示隱狀態(tài)的個數(shù)，這里m=2；=f(si=m|sp(i)=n)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，代表父系數(shù)ρ(i)的狀態(tài)為m的情況下其孩子系數(shù)為n的概率；表示小波各子帶多元混合高斯分布大、小狀態(tài)的方差.

2.2 后小波時代MGA-HMT模型發(fā)展分析

在Wavelet 域HMT 的基礎(chǔ)上，人們對后小波時代MGA 下的HMT 進行了關(guān)注.與Wavelet 域HMT模型類似，傳統(tǒng)經(jīng)典的MGA-HMT 按照如下思路來構(gòu)建模型：依據(jù)圖像MGA 變換域子帶的特性，對變換域系數(shù)的廣義鄰域關(guān)系進行定義并確定系數(shù)的傳播途徑，在此基礎(chǔ)上建立相應(yīng)HMT 模型，并對模型參數(shù)進行估計.該類HMT 模型的發(fā)展情況介紹如下.

2006 年Duncan 等人在文獻［35］中對圖像Contourlet 分解后高頻子帶系數(shù)進行了研究，發(fā)現(xiàn)Contourlet 系數(shù)具有與圖像Wavelet 系數(shù)相類似的性質(zhì)，即不同尺度間的系數(shù)具有一定的持續(xù)性，相同尺度、不同方向間的系數(shù)具有一定的聚集性，據(jù)此提出了一種基于Contourlet 域的HMT 模型（Contourlet-domain Hidden Markov Tree model，CHMT），并將其應(yīng)用于圖像去噪和檢索領(lǐng)域.CHMT 模型與WHMT 模型之間存在較大差異.首先，與Wavelet 變換相比，圖像Contourlet 變換可以定義具有方向的子帶；同時，在Contourlet 變換中，每個方向子帶可與多個更高頻率的方向子帶進行關(guān)聯(lián)，從而使系數(shù)之間的傳遞關(guān)系更加復(fù)雜.圖2（a）及圖2（b）分別刻畫了Contourlet系數(shù)之間的傳遞關(guān)系和CHMT 模型的樹型結(jié)構(gòu).如圖2（a）所示，Contourlet 系數(shù)通過尺度間二叉樹結(jié)構(gòu)進行關(guān)聯(lián)，進而通過隱狀態(tài)建立CHMT 樹形結(jié)構(gòu).非下采樣Contourlet 變換（NonSubsampled Contourlet Transform，NSCT），通過合并二維非下采樣金字塔濾波器組和非下采樣方向濾波器組實現(xiàn)圖像的變換，除有效保持Contourlet 變換的多方向性和各向異性特性外，還具有平移不變特性，該特性在圖像融合、去噪等應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用.文獻［16］對圖像NSCT 變換系數(shù)的概率統(tǒng)計特性進行了分析，獲得了圖像NSCT 變換的方向子帶系數(shù)同樣具有持續(xù)性和聚集性的結(jié)論，并通過一種樹型結(jié)構(gòu)確定了不同子帶間的系數(shù)傳遞關(guān)系，進而構(gòu)造了一種NSCT 變換的HMT 模型（NSCT-HMT），該模型在圖像去噪應(yīng)用中取得了比WHMT 和CHMT 更好的效果.除了Contourlet 變換的HMT 外，人們還對其他MGA 的HMT進行了研究，比如：文獻［17］對拓展離散Shearlet 變換（Extended Discrete Shearlet Transform）的系數(shù)分布規(guī)律與特性進行了研究，確定了一種“父子”系數(shù)傳遞關(guān)系，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了相應(yīng)的HMT 模型，并將其應(yīng)用于圖像去噪中；Jin 等人［14］通過對Curvelet 變換進行研究，提出了基于Curvelet 域的HMT 模型，并將其應(yīng)用于SAR 圖像去噪領(lǐng)域，取得了很好的效果；Hou 等人［15］提出了基于第二代Bandelet 變換的HMT 模型，并將其應(yīng)用于圖像分割中.基于上述分析，表2 對該類HMT 所采用的樹形結(jié)構(gòu)以及傳遞關(guān)系進行了梳理.

圖2 CHMT模型

表2 經(jīng)典MGA-HMT 系數(shù)傳遞關(guān)系

2.3 MGA-HMT模型構(gòu)建的一般過程

分析現(xiàn)有的傳統(tǒng)MGA-HMT模型可以發(fā)現(xiàn)，該類模型的構(gòu)建需滿足以下兩個條件：一是MGA 變換域高頻系數(shù)的概率分布直方圖須具有“高尖峰、長拖尾”的特性；二是同一方向不同子帶系數(shù)間具有一定的連續(xù)性和依賴性，這種狀態(tài)變量的依賴性可以通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣進行描述.MGA-HMT通過系數(shù)隱狀態(tài)的傳遞規(guī)律對系數(shù)間的馬爾可夫性進行刻畫，其構(gòu)建的一般過程可歸納如下.

（1）將圖像MGA變換域內(nèi)系數(shù)分為兩類：一類是數(shù)量非常多的小值系數(shù)，稱為“小系數(shù)”，表示圖像中的平滑區(qū)域或者背景區(qū)域信息；另一類是數(shù)量較少的大值系數(shù)，稱為“大系數(shù)”，表示圖像中的邊緣或者紋理信息.

（2）利用兩個Gaussian 分布函數(shù)混合來描述MGA變換域系數(shù)，一個Gaussian 分布函數(shù)描述“大系數(shù)”，另外一個描述系數(shù)中的“小系數(shù)”，從而建立起MGA 變換域系數(shù)的GSM.

（3）建立變換域系數(shù)在相同方向、不同尺度高頻子帶間的樹形結(jié)構(gòu)，并利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣ε來描述這種樹形結(jié)構(gòu)間的狀態(tài)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率.

（4）進一步形成MGA-HMT模型參數(shù)集，即

其中，πm(m=1,2,…,M)為初始概率分布矩陣1,2,…,P；m,n=1,2,…,M)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，其含義為在已知父節(jié)點ρ(i)的隱狀態(tài)變量sp(i)的值為n時子節(jié)點i的隱狀態(tài)變量si的值為m的條件概率；θ={θ1,θ2,…,θr}為混合參數(shù)，滿足f(coef)=(coef)（其中，f(·)表示觀察值概率密度值，P(·)表示觀察值概率密度分布函數(shù)，通常為混合高斯分布）.

3 MGA-HMT 模型的幾個關(guān)鍵問題及研究進展

前面介紹的傳統(tǒng)MGA-HMT 模型均采用了“二狀態(tài)、零均值”的GSM 作為HMT 模型中刻畫圖像MGA 系數(shù)的條件概率密度函數(shù)，并采用子帶系數(shù)間的“父子”關(guān)系作為馬爾可夫鏈傳遞規(guī)律，同時應(yīng)用EM 算法對模型的參數(shù)進行估計.然而研究發(fā)現(xiàn)，這種傳統(tǒng)的MGAHMT模型有如下幾個關(guān)鍵問題值得關(guān)注.

（1）GSM 并非是對所有MGA 子帶系數(shù)刻畫的最佳選擇［39～41］，而在HMT模型的建模過程中，對各子帶的概率密度分布表示至關(guān)重要.

（2）采用“父子”傳遞關(guān)系描述MAG 子帶的傳遞特性僅僅刻畫了MGA 子帶間系數(shù)一個維度的相關(guān)性，事實上圖像MGA變換的子帶系數(shù)除了這種“父子”之間的相關(guān)性外，往往還會存在其他維度的相關(guān)性，如“鄰域”相關(guān)性和“堂兄弟”相關(guān)性等［42，43］，有時這些相關(guān)性會表現(xiàn)出更強的預(yù)測能力.

（3）應(yīng)用EM 算法對HMT 模型進行估計往往會存在計算復(fù)雜度大的問題［44，45］.

（4）傳統(tǒng)MGA-HMT 為2D 模型，對諸如視頻、高光譜圖像等具有三維性質(zhì)的多維圖像的處理受到限制［46，47］.

以上這些問題直接影響到HMT 模型的預(yù)測精度、實施效率和應(yīng)用范圍.近年來這些問題引起了人們的關(guān)注，并且人們從不同方面提出了一些解決思路.本節(jié)以這些問題為導(dǎo)向，分別對其目前的研究進展進行分析和討論.

3.1 圖像MAG變換系數(shù)的概率分布問題

由于不同MGA 變換系數(shù)呈現(xiàn)的統(tǒng)計規(guī)律不同，因此其最佳概率密度分布函數(shù)也存在差異，這樣GSM 擬合并非對所有情況都是最佳的選擇方案.目前從發(fā)表的文獻來看，有兩種方案可以解決該方面的問題：一種是最適概率密度分布法，另一種是多態(tài)HMT法.

最適概率密度分布法最早由Goossens 等人在文獻［39］中提出，其基本思路為尋找最適合當(dāng)前MGA 變換系數(shù)的概率分布模型，對其處理后用以替代傳統(tǒng)HMT模型中的GSM.常見應(yīng)用的概率分布模型包括BKF 分布［40］、Weibull分布［41］、Cauchy 分布［48］和Laplace 分布［49］等.Goossens 等人［39］首先對圖像Wavelet 變換中“感興趣”系數(shù)和“無興趣”系數(shù)進行定義（如圖3（a）所示），通過對Wavelet 系數(shù)進行統(tǒng)計分析，獲得了BKF 分布可對Wavelet 系數(shù)進行最好擬合的結(jié)論，并提出了一種BKF分布參數(shù)估計方法.使用GSM 方法擬合出原始圖像系數(shù)大、小為“無興趣”系數(shù)和“感興趣”系數(shù)的條件概率密度函數(shù)，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建新型Wavelet 域HMT 模型，其樹形結(jié)構(gòu)如圖3（b）所示，黑色節(jié)點為小波系數(shù)，S-節(jié)點和Z-節(jié)點分別表示隱乘數(shù)和與小波系數(shù)關(guān)聯(lián)的顯著性.實線表示子帶的父子傳遞關(guān)系，虛線表示空間相關(guān)性的傳遞關(guān)系，并通過EM 算法對模型參數(shù)進行估計.該模型與傳統(tǒng)Wavelet-HMT 相比，更好地對Wavelet 系數(shù)進行了擬合，在很大程度上提高了W-HMT 模型的精度以及效率.

圖3 Goossens HMT模型[39]

進一步，文獻［40］利用幾種經(jīng)典的概率分布模型分別對拓展Shearlet 系數(shù)進行擬合，并應(yīng)用KS（Kolmogorov Smirno）值作為客觀評價指標(biāo)對擬合效果進行了比較，并在文獻［39］的模型架構(gòu)下通過增加系數(shù)尺度間平均圓錐比率概率密度的計算，建立新型ES-HMT模型，與文獻［39］相比能更好地刻畫系數(shù)之間的傳遞關(guān)系，同時利用Shearlet 變換可以刻畫更多的變換方向.然而，上述模型均采用單一概率密度分布刻畫所有系數(shù)，事實上即使在同一種多尺度變換下，不同類型的圖像其多尺度系數(shù)也會根據(jù)自身圖像特性呈現(xiàn)特定的特征，這時構(gòu)建一個自適應(yīng)混合分布就顯得尤為重要.文獻［50］對NSCT 方向子帶系數(shù)的概率密度分布進行了研究，提出一種基于NSCT 方向子帶系數(shù)峰值自適應(yīng)調(diào)整的混合Gaussian-Cauchy 分布，該分布能根據(jù)NSCT子帶系數(shù)特性通過權(quán)函數(shù)自適應(yīng)地調(diào)整分布的表示，具有更高的擬合精度.在此基礎(chǔ)上結(jié)合NSCT-HMT 框架，提出一種新型NSCT-HMT 模型，利用自適應(yīng)分布對多尺度變換系數(shù)進行刻畫可以實現(xiàn)對不同圖像的多尺度變換系數(shù)更靈活的表示，很大程度上提高了擬合精度.此外，Sadeghigol 等人在文獻［51］中提出了最適概率密度分布法實現(xiàn)的另一種思路，即通過選取混合函數(shù)來代替?zhèn)鹘y(tǒng)HMT 模型中的GSM，并由EM 算法直接對參數(shù)進行估計.相似的研究工作在文獻［52］中也有體現(xiàn).

多態(tài)HMT 方法由Zhang 等人在文獻［53］中提出，為了進一步提高對MGA 變換系數(shù)的刻畫精度，將傳統(tǒng)HMT模型的隱狀態(tài)數(shù)量由2個擴展為3個，用“大”“中”和“小”狀態(tài)分別對應(yīng)圖像邊緣、半邊緣和平滑區(qū)域，并稱之為“三態(tài)”HMT模型（如圖4所示），其計算公式為

圖4 三態(tài)隱Markov示意圖[53]

三態(tài)HMT 模型是對傳統(tǒng)HMT 模型的改進，通過增加隱狀態(tài)數(shù)目，采用三狀態(tài)GSM 代替二狀態(tài)GSM，能好地擬合圖像MGA 系數(shù)的非高斯性，提高HMT 模型參數(shù)估計的準(zhǔn)確性，在一定程度上提高模型參數(shù)集和真值圖像MGA 變換系數(shù)的匹配程度.該三態(tài)HMT模型為多尺度域多狀態(tài)HMT 模型的構(gòu)建提供了思路，即通過實現(xiàn)對HMT 模型中狀態(tài)數(shù)量的改變更加精細(xì)地刻畫圖像特有的統(tǒng)計特性，以突破傳統(tǒng)HMT模型中僅對邊緣區(qū)域和平滑區(qū)域兩類系數(shù)進行描述的限制.

綜上所述，傳統(tǒng)MGA-HMT模型采用“二狀態(tài)、零均值”的GSM 作為HMT 模型的概率密度分布函數(shù)，但由于不同類型圖像在不同MGA變換域下會呈現(xiàn)出不同的統(tǒng)計特性，因此概率密度分布函數(shù)的選取就顯得尤為重要.目前出現(xiàn)了兩類改進模型分別從多概率分布選取和多狀態(tài)擬合兩個方面對傳統(tǒng)模型進行了改進，在一定程度上提高了模型的預(yù)測精度，但總體而言這方面的工作還不是很多，特別是基于多態(tài)HMT 模型的研究.

3.2 模型的多維預(yù)測問題

傳統(tǒng)MGA-HMT 模型使用“父子”傳遞關(guān)系描述MGA 變換子帶的傳遞特性，僅僅刻畫了MGA 變換尺度間子帶系數(shù)的相關(guān)性，而忽視了其他子帶間可能存在的一些傳遞特性，對這些特性進行挖掘并用以指導(dǎo)HMT 模型的傳遞關(guān)系，勢必會給HMT 的精度提高帶來幫助.

關(guān)于這方面的問題，文獻［54］首次提出一種基于多傳遞關(guān)系的HMT 模型即HMT-3S 模型，并將其應(yīng)用于圖像分割處理中.該模型借助于圖分組技術(shù)將圖像二維Wavelet 變換的三個子帶集結(jié)成一個樹結(jié)構(gòu)（如圖5 所示），融合了Wavelet 三個子帶間的相關(guān)性，除了像傳統(tǒng)Wavelet-HMT模型那樣對Wavelet系數(shù)尺度間的相關(guān)性進行捕捉外，還能對子帶內(nèi)相關(guān)性進行很好的刻畫.該模型在傳統(tǒng)Wavelet-HMT 模型的基礎(chǔ)上在尺度間傳遞的概率轉(zhuǎn)移矩陣中增加了3 個參數(shù)（共8 個參數(shù)），從而使模型能夠更準(zhǔn)確地描述具有相同紋理區(qū)域的小波系數(shù)間的關(guān)系.

圖5 HMT-3S模型[54]

然而，圖像Wavelet 分解子帶的方向性有限，使得HMT-3S 應(yīng)用在圖像分割上的分割結(jié)果區(qū)域一致性不強，分割邊緣也不夠清晰.文獻［55］將HMT-3S 模型框架應(yīng)用于SAR 圖像的第二代Bandelet變換系數(shù)HMT建模中，較好地解決了Wavelet 域HMT-3S 模型的圖像分割結(jié)果區(qū)域一致性較差和分割邊緣不夠清晰問題.此外，文獻［42］也采用了該框架構(gòu)建了Contourlet 域的HMT-3S模型.

文獻［43］提出一種基于系數(shù)多狀態(tài)關(guān)聯(lián)的HMT模型（M-NSST-HMT），首先，對NSST 兄弟子帶間的相關(guān)性進行統(tǒng)計，獲得圖像NSST 系數(shù)兄弟子帶間具有與父子系數(shù)間類似的統(tǒng)計特性，同時將兄弟間的持續(xù)性與聚集性作為HMT 模型狀態(tài)轉(zhuǎn)移參考因素之一，其樹形傳遞結(jié)構(gòu)如圖6所示，并采用互信息作為系數(shù)之間相關(guān)性的客觀評價指標(biāo)，建立自適應(yīng)權(quán)重函數(shù)決定兄弟系數(shù)與父系數(shù)對當(dāng)前系數(shù)影響的權(quán)重.M-NSST-HMT 模型被應(yīng)用于圖像去噪中，取得了較傳統(tǒng)NSST-HMT更好的去噪效果，同時為進一步探索MGA-HMT模型的多狀態(tài)傳遞關(guān)系提供了一種思路.文獻［56］重新定義了NSCT方向子帶系數(shù)的廣義鄰域關(guān)系，并對其聯(lián)合概率密度分布進行了研究，獲得NSCT 系數(shù)與其四鄰域系數(shù)存在最強相關(guān)性的結(jié)論；然后，對NSCT 系數(shù)與其四鄰域系數(shù)分別應(yīng)用Gaussian Copula 建模，并根據(jù)其Copula熵值，建立基于Copula 熵的多元GSM，克服了傳統(tǒng)HMT 模型只考慮尺度間傳遞關(guān)系而忽略了尺度內(nèi)傳遞關(guān)系的問題，結(jié)合隱馬爾可夫樹模型架構(gòu)，構(gòu)建了一種基于Copula 熵多元混合高斯分布的隱馬爾可夫樹模型.

圖6 M-NSST-HMT樹形傳遞結(jié)構(gòu)[43]

綜上所述，深入挖掘圖像MGA 變換系數(shù)的多維度相關(guān)性，用以指導(dǎo)相應(yīng)HMT模型的狀態(tài)傳遞過程，對提升模型的預(yù)測能力具有很大幫助.

3.3 參數(shù)的快速計算問題

EM 算法［34］又被稱為期望最大化算法，對依賴于無法觀測的隱性變量的概率模型，該算法可有效地尋找參數(shù)最大似然估計或者最大后驗估計.傳統(tǒng)MGAHMT 模型大都采用EM 算法對參數(shù)進行訓(xùn)練，然而該算法需要通過多次“期望-最大化”的迭代才能實現(xiàn)［57］，從而導(dǎo)致HMT 模型的訓(xùn)練過程具有較高的計算復(fù)雜度，這在一定程度上影響了模型的運算效率，限制了HMT 模型的實際應(yīng)用.針對該類問題，文獻［44］提出了一種無需模型參數(shù)訓(xùn)練的基于快速分類的Wavelet 域HMT 模型的參數(shù)估計方法，對每個子帶的Wavelet 系數(shù)根據(jù)空間自適應(yīng)閾值被分為兩類，分別對應(yīng)于傳統(tǒng)HMT 模型中GSM 模型的“大狀態(tài)”和“小狀態(tài)”，然后利用局部統(tǒng)計量實現(xiàn)對模型參數(shù)的估計.該方法為HMT 模型的參數(shù)估計提供了一種新思路.在此基礎(chǔ)上，文獻［45］將該模型框架應(yīng)用于雙樹復(fù)小波變換中，提出了一種非訓(xùn)練復(fù)小波HMT 模型，并將其應(yīng)用于圖像去噪中.與傳統(tǒng)HMT 模型相比，該模型具有較高的計算效率，同時也取得了很好的去噪效果.

綜上所述，在MGA-HMT 模型中，參數(shù)的訓(xùn)練和估計效率直接影響到模型的實際應(yīng)用.盡管傳統(tǒng)MGAHMT 模型中所采用的EM 算法可有效地保證對參數(shù)的估計精度，但其存在參數(shù)訓(xùn)練計算復(fù)雜度高的弱點.如何有效地提高模型參數(shù)的計算效率是一個需要關(guān)注的問題，而目前這方面的研究文獻還不是很多，還有待更深入的研究.

3.4 模型的3D延拓問題

傳統(tǒng)MGA-HMT 模型是針對2D 靜態(tài)圖像提出的，若直接應(yīng)用于諸如視頻、高光譜影像和計算機斷層掃描醫(yī)學(xué)圖像等3D 數(shù)據(jù)，只能逐幀（波段）對圖像進行處理，這將使模型的執(zhí)行效果和效率受到極大的限制.目前，有文獻報道了兩類方法可實現(xiàn)對傳統(tǒng)MGA-HMT模型的3D 延拓：一種是基于多維度預(yù)測的3D-HMT 模型構(gòu)建方法，另一種是基于3D 多尺度分析的3D-HMT 模型構(gòu)建方法.

對于第一種方案，文獻［46］從空間維和光譜維兩方面對高光譜（HyperSpectral，HS）影像NSST 高頻方向子帶的特性進行研究，通過對HS 波段影像NSST 高頻方向子帶系數(shù)的概率密度分布進行估計，獲得了HS 影像NSST 系數(shù)具有“高尖峰、長拖尾”的特性；通過對HS波段影像空間維和光譜維NSST 高頻方向子帶系數(shù)的廣義鄰域相關(guān)性進行統(tǒng)計分析，獲得了HS 影像NSST高頻子帶系數(shù)在空間維和光譜維均具有“聚集性”和“持續(xù)性”的特性，即空間維不同尺度、相同方向高頻子帶中的父子系數(shù)，以及光譜維高頻子帶系數(shù)與隨后相鄰幾個波段對應(yīng)系數(shù)的狀態(tài)均具有一定的相關(guān)性；在此基礎(chǔ)上提出了一種HS 影像NSST 域的隱馬爾可夫森林模型（NSST-HMF）對HS 影像NSST 系數(shù)的相關(guān)性進行刻畫（圖7 給出了NSST-HMF 空-譜維方向子帶間系數(shù)傳遞關(guān)系），第一次在HS 影像HMT 的預(yù)測結(jié)構(gòu)上同時考慮了空間維和光譜維兩種狀態(tài)的相關(guān)性來協(xié)同指導(dǎo)HMT模型的系數(shù)預(yù)測，提高了模型的預(yù)測準(zhǔn)確性.

圖7 NSST-HMF多維度系數(shù)傳遞關(guān)系示意圖[46]

近年來3D-MGA作為MGA領(lǐng)域的研究熱點受到關(guān)注［4］.經(jīng)典3D-MGA 工具包括Surfacelet 變換［58］、3DWavelet變換［59］和3D-Shearlet變換［60］等.文獻［47］提出一種Surfacelet 域的3D-HMT 模型用于視頻煙霧檢測.Surfacelet 延伸了2D Contourlet 變換的思想，首先應(yīng)用“沙漏型”濾波器對視頻進行三個方向的濾波，再用“棋盤形”濾波器和重采樣矩陣建立方向濾波器，其相應(yīng)頻帶劃分如圖8（a）所示.所構(gòu)建的3D-HMT 模型采用了GSM 對每個子帶系數(shù)進行描述，再通過EM 算法對模型參數(shù)進行估計，結(jié)合SVM 支持向量機模型實現(xiàn)對煙霧視頻的煙霧檢測，實驗結(jié)果驗證了所提3D-HMT模型的有效性.

圖8 Surfacelet的頻帶劃分和八叉樹結(jié)構(gòu)[47]

綜上所述，盡管目前關(guān)于MGA-HMT 模型3D 延拓方面的文獻還不是很多，但上述兩個文獻為3D-HMT模型的構(gòu)建和應(yīng)用提供了思路.

4 總結(jié)與展望

隨著MGA工具的不斷發(fā)展，對其系數(shù)分布、傳遞規(guī)律的研究顯得愈加重要.20 世紀(jì)90 年代以來，MGAHMT 模型成為圖像統(tǒng)計模型領(lǐng)域的一個重要研究方向.本文以傳統(tǒng)MGA-HMT 模型的一般架構(gòu)、MGAHMT 模型所涉及的關(guān)鍵問題及其發(fā)展為脈絡(luò)對MGAHMT模型進行了綜述.首先，以Wavelet-HMT模型為例對MGA-HMT 模型的基本架構(gòu)進行介紹，同時對傳統(tǒng)MGA-HMT 模型的發(fā)展情況進行了分析；然后，對傳統(tǒng)MGA-HMT 模型的一些關(guān)鍵問題進行了闡述，并對每一問題的研究進展、解決思路進行了分析和討論.近年來盡管MGA-HMT 模型受到關(guān)注并在很多圖像處理領(lǐng)域得到了很好的應(yīng)用，然而正像本文第3 節(jié)所討論的那樣，MGA-HMT 模型中有很多關(guān)鍵問題的研究尚處于起始階段，特別是隨著MGA 理論和工具的不斷發(fā)展，這些問題有待進行更深入的研究.本文認(rèn)為未來MGA-HMT 模型研究領(lǐng)域在以下4 個方面的工作應(yīng)該受到重視并得以發(fā)展.

（1）MGA-HMT模型有效性評價指標(biāo)體系的建立

盡管MGA-HMT模型的基本理論架構(gòu)已趨于完善，但對模型的有效性評價還停留在模型后續(xù)應(yīng)用的有效性評價上.事實上，同一模型應(yīng)用于不同領(lǐng)域其性能可能會產(chǎn)生較大的差異.MGA-HMT模型的主要功能是對圖像多尺度系數(shù)之間的傳遞關(guān)系進行刻畫，這樣僅通過實際應(yīng)用效果而對模型優(yōu)劣進行評判勢必會具有一定的片面性.直接針對MGA-HMT 模型建立評價指標(biāo)體系不僅有利于MGA-HMT 模型自身的發(fā)展和對多尺度分解系數(shù)相關(guān)性的判斷，而且也會為HMT 模型的實際應(yīng)用提供必要的指導(dǎo).

（2）MGA-HMT模型與學(xué)習(xí)方法的結(jié)合

近年來，深度學(xué)習(xí)、字典學(xué)習(xí)等基于學(xué)習(xí)的圖像處理方法［61，62］展現(xiàn)出旺盛的生命力.HMT 模型作為經(jīng)典的概率圖模型，可以對圖像特征的傳遞關(guān)系進行很好的刻畫，而學(xué)習(xí)方法的實質(zhì)也是對圖像特征進行提取，因此如何建立合理的HMT模型并與圖像的學(xué)習(xí)過程相關(guān)聯(lián)是值得期待的工作.目前這方面的研究工作已初露端倪［63，64］，相信未來這方面會得到很好的發(fā)展.

（3）適應(yīng)新MGA發(fā)展的HMT模型構(gòu)建

MGA 為圖像提供了一種具有方向性的稀疏表示方法.繼Wavelet變換對圖像中奇異點特性進行有效表示之后，后Wavelet時代的MGA為具有面奇異或線奇異的高維奇異特性提供了一種更優(yōu)或更稀疏的表示方法，從而為更好地捕捉圖像中的多方向邊緣和紋理等特性提供了有效的支撐.但MGA 發(fā)展的腳步卻并沒有停止，比如U-系統(tǒng)［65］、V-系統(tǒng)［66］等后MGA 方法正在氤氳而生，同時也為圖像的稀疏表示提供了新的支撐.挖掘這些后MGA特性，探究其系數(shù)之間的傳遞及依賴關(guān)系，進而建立相應(yīng)的HMT 模型，對于促進這些MGA 的發(fā)展、更好地滿足不同應(yīng)用領(lǐng)域的需求具有重要意義.

（4）3D-MGA下3D-HMT模型的發(fā)展

2D-MGA、3D-MGA的研究起步較晚，目前發(fā)展尚未完備，許多問題還在探索中［4］.已出現(xiàn)的3D-Wavelet 變換、3D-Contourlet 變換和3D-Shearlet 變換等3D-MGA 變換［4，67，68］在對3D 圖像（影像）的稀疏表示和特征刻畫上擁有獨特的優(yōu)勢.然而目前研究這些3D-MGA 系數(shù)統(tǒng)計規(guī)律的文獻還很少，而基于3D-MGA 的3D-HMT 模型則更少.相信隨著高光譜影像、核磁共振影像和計算機斷層掃描影像等3D 圖像（影像）處理和應(yīng)用需求的快速增加，該領(lǐng)域的研究將會得到很好的發(fā)展.