無刷直流電機的分?jǐn)?shù)階建模方法*

吳雨林 李 眾

（江蘇科技大學(xué) 鎮(zhèn)江 212003）

1 引言

無刷直流電機的出現(xiàn)代替了許多傳統(tǒng)的電機，它是現(xiàn)代電力電子技術(shù)、控制理論和電機技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物，具有優(yōu)越的調(diào)速性能，主要表現(xiàn)在控制性能好、調(diào)速范圍寬、啟動轉(zhuǎn)矩大、運行平穩(wěn)、效率高等方面。目前已經(jīng)被廣泛用于諸多高精產(chǎn)業(yè)，如國防、航空航天、機器人、工業(yè)過程控制、精密機床、汽車電子、家用電器、智能汽車、辦公自動化等領(lǐng)域［1］。

分?jǐn)?shù)階微積分中是近年來常用的一種數(shù)學(xué)方法，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)是用分?jǐn)?shù)階微分方程描述的系統(tǒng)［2］，其中的階數(shù)能夠連續(xù)變化，可以更準(zhǔn)確地描述復(fù)雜系統(tǒng)。目前分?jǐn)?shù)階微積分已被廣泛使用于各種領(lǐng)域的建模研究，如電池模型［3］、圖像處理［4］流體力學(xué)［5］、生物系統(tǒng)［6］等。在電機控制領(lǐng)域，電感和電容這些儲能元件本質(zhì)上是分?jǐn)?shù)階的，采用分?jǐn)?shù)階微積分方法能夠?qū)崿F(xiàn)對整個電動機系統(tǒng)建立模型。Rajagopal 等［7］從無刷直流電動機的整數(shù)階模型出發(fā)，推導(dǎo)了無刷直流電動機的分?jǐn)?shù)階模型，對無刷直流電動機的動態(tài)特性和混沌控制和穩(wěn)定進行了研究。余偉等［8］進行了永磁同步電機的分?jǐn)?shù)階建模研究，該方法將電動機作為一個整體進行建模，未能很好地利用電動機的組成機理。鄭偉佳等［9］根據(jù)永磁同步電動機的組成機理分別對電磁環(huán)節(jié)和機械環(huán)節(jié)進行參數(shù)辨識，得到了更好的模擬效果，但是模型實用性較差，需要專門設(shè)計多個實驗對不同的模型參數(shù)進行辨識。本文將采用一種新的方法對無刷直流電機的系統(tǒng)特性進行分?jǐn)?shù)階建模，以取得對電機更好的模擬效果。

2 無刷直流電機的分?jǐn)?shù)階建模

2.1 無刷直流電機數(shù)學(xué)模型

無刷直流電機的數(shù)學(xué)模型可參考文獻［10］，這里給出本文所修改的分?jǐn)?shù)階模型相關(guān)方程。無刷直流電機的電壓平衡方程式可表示為

其中分?jǐn)?shù)階的階次滿足0＜ε＜2。

本文所用的無刷直流電機型號為57BL52-230，其參數(shù)如表1所示?？刂瓢迨褂玫氖腔谝夥ò雽?dǎo)體公司、型號為STM32F302R8 的ARM芯片。

表1 物理樣機電機參數(shù)

2.2 控制策略

本文無刷直流電機采用的控制策略為基于矢量控制的雙閉環(huán)PI 控制。外環(huán)為速度控制，由速度期望值nref與其實際值n作差，速度控制器選用PI控制。內(nèi)環(huán)為電流控制，定子電流經(jīng)矢量變換被分解成直軸電流Id（勵磁電流）和交軸電流Iq（轉(zhuǎn)矩電流），電動機矢量控制就是控制轉(zhuǎn)矩電流和勵磁電流大小。由速度控制器得到Q 軸的期望電流Iqref，本文采取期望勵磁電流Idref=0 的控制策略，由期望矢量電流Iqref、Idref與實際值Id、Iq 作差，電流控制器選用PI 控制，得到直軸交軸的電壓值，再經(jīng)矢量反變換，通過SVPWM（空間矢量脈寬調(diào)制）得到三相逆變器PWM波的占空比，最終控制電機。

整個控制流程如圖1所示。

圖1 控制流程框圖

3 分?jǐn)?shù)階模型的參數(shù)辨識

3.1 分?jǐn)?shù)階微積分算子的整數(shù)階近似

分?jǐn)?shù)階積分器1/sη可用一個一階積分器和一個用Oustaloup 遞推濾波器近似的分?jǐn)?shù)階微分器串聯(lián)來逼近［12～14］，設(shè)需要逼近的頻段范圍為（ωL，ωH），Oustaloup 遞推濾波器的個數(shù)為2N + 1（N 為正整數(shù)），則分?jǐn)?shù)階積分環(huán)節(jié)可近似成如式（5）所示形式。

3.2 分?jǐn)?shù)階階次的獲取

分?jǐn)?shù)階參數(shù)辨識采用基于輸出誤差的非線性辨識方法［15］，對系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階模型階次辨識的方法如下。

在實驗平臺和仿真模型上加上相同的激勵得到響應(yīng)的實驗數(shù)據(jù)y仿真數(shù)據(jù)y?，詳細(xì)表現(xiàn)系統(tǒng)的誤差的公式為

其中n 為采樣數(shù)據(jù)點個數(shù)，為了讓分?jǐn)?shù)階模型能更準(zhǔn)確地描述電機行為，需要得到系統(tǒng)誤差值為最小值時θ和ε的值，將此值作為分?jǐn)?shù)階模型的階次參數(shù)此時對模型參數(shù)選取的問題轉(zhuǎn)變成求解數(shù)學(xué)模型取得誤差函數(shù)極小值時對應(yīng)的參數(shù)問題。由于基于機理建立的仿真模型較為復(fù)雜不適用復(fù)雜的曲線擬合算法，并且參數(shù)變化范圍不大，同時為了避免陷入局部最優(yōu)解，本文采用窮舉法劃區(qū)計算，最終得到分?jǐn)?shù)階模型的參數(shù)。具體步驟如下。

1）搭建實驗平臺，根據(jù)已經(jīng)測得的電機參數(shù)利用仿真軟件Matlab 建立相應(yīng)的基于機理的無刷直流電機的整數(shù)階仿真模型和控制器模型，根據(jù)前文所述方式建立相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階仿真模型。

2）在實驗平臺用階躍信號測試物理樣機，通過數(shù)據(jù)采集器得到電機的速度響應(yīng)曲線，將實驗數(shù)據(jù)輸入Matlab，用高斯濾波對實驗數(shù)據(jù)進行降噪處理，由于是離散化地采樣，在Matlab 默認(rèn)為是線性插值。濾波處理前后的圖形如圖2所示。

圖2 電機采樣數(shù)據(jù)處理

3）保持仿真模型的PI 控制器參數(shù)和實驗平臺的控制器參數(shù)一致，用同樣的信號測試無刷直流電機分?jǐn)?shù)階仿真模型，調(diào)整θ、ε值，得到分?jǐn)?shù)階無刷直流電機仿真模型的仿真結(jié)果。

4）用經(jīng)濾波處理后得到的實驗數(shù)據(jù)和分?jǐn)?shù)階無刷直流電機仿真得到的仿真數(shù)據(jù)計算系統(tǒng)誤差值，其結(jié)果如表2，未在表中顯示的θ、ε其計算系統(tǒng)誤差的結(jié)果均大于352。

表2 系統(tǒng)誤差值

由表2 可知，θ=0.76，ε=1.10 時，作為測量標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)誤差e 的值最小，這時無刷直流電機分?jǐn)?shù)階仿真模型階躍響應(yīng)的轉(zhuǎn)速曲線對實際電機階躍響應(yīng)的轉(zhuǎn)速曲線擬合得最好，因此本文模型選取θ=0.76、ε=1.10 作為無刷直流電機的分?jǐn)?shù)階模型階次。分?jǐn)?shù)階模型對實際電機轉(zhuǎn)速曲線的擬合效果如圖3。

圖3 轉(zhuǎn)速曲線擬合效果

4 無刷直流電機分?jǐn)?shù)階模型驗證

為了判斷無刷直流電機的分?jǐn)?shù)階模型是否比原來的整數(shù)階模型更準(zhǔn)確地模擬了實際電機的行為，需要進一步實驗驗證。

設(shè)計實驗分別在不同的速度控制器參數(shù)下和不同的輸入激勵下，比較整數(shù)階模型的系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階模型與實際電機的差距，結(jié)果如下。

1）更改速度控制器參數(shù)對仿真模型進行驗證，實際電機階躍響應(yīng)的轉(zhuǎn)速曲線及整數(shù)階模型和分?jǐn)?shù)階模型階躍響應(yīng)的轉(zhuǎn)速曲線如圖4，其中整數(shù)階模型和分?jǐn)?shù)階模型的系統(tǒng)誤差值e 的計算結(jié)果分別為532、8311。

圖4 更改控制器參數(shù)后模型的模擬效果

2）更改輸入激勵對仿真模型進行驗證，得到的實際電機階躍響應(yīng)的轉(zhuǎn)速曲線及整數(shù)階模型和分?jǐn)?shù)階模型階躍響應(yīng)的轉(zhuǎn)速曲線如圖5。統(tǒng)誤差值e的計算結(jié)果分別為938、7495。

圖5 更改輸入激勵后模型的模擬效果

圖4、圖5 均可以明顯看出分?jǐn)?shù)階模型比整數(shù)階模型對實際電機有更好的模擬效果。

5 結(jié)語

實際系統(tǒng)的復(fù)雜性，導(dǎo)致基于已知參數(shù)的機理建模的無刷直流電機模型對實際電機的模擬效果很差，而基于數(shù)理建模的無刷直流電機的模型則難以對電機仿真模型進行修改。本文提出的無刷直流電機的分?jǐn)?shù)階建模方法兼具機理與數(shù)理建模的優(yōu)點，且更具有實用性和可操作性。由辨識得到分?jǐn)?shù)階模型的分?jǐn)?shù)階階次，在不同的實驗條件下進行實驗并對分?jǐn)?shù)階模型和整數(shù)階模型的仿真結(jié)果進行對比表明，分?jǐn)?shù)階模型比整數(shù)階模型能更精確地模擬實際無刷直流電機的行為。