實數(shù)的六個命題點

劉瓊瓊

實數(shù)是中考重點考查的知識點之一，但許多同學認為實數(shù)內(nèi)容相對簡單，不太重視實數(shù)的學習，從而在解決與實數(shù)相關(guān)的題目時出現(xiàn)會做但做錯的現(xiàn)象?，F(xiàn)從六個命題點進行知識梳理，查漏補缺，以期對同學們的復習有所幫助。

命題點一：絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)

例1 （1）-2021的絕對值是（ ）。

A.[12021] B.[-12021] C.-2021 D.2021

（2）[-13]的相反數(shù)是（ ）。

A.[13] B.[-13] C.3 D.-3

（3）實數(shù)100的倒數(shù)是（ ）。

A.100 B.-100 C.[1100] D.[-1100]

【解析】根據(jù)絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)的概念解題。（1）D;（2）A;（3）C。

【點評】（1）正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0。（2）一個正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，一個負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0。（3）求一個數(shù)的倒數(shù)有以下技巧：①求整數(shù)的倒數(shù)，可以把整數(shù)看成是分母為1的分數(shù)，再把分數(shù)的分子、分母顛倒位置即可;②求真分數(shù)的倒數(shù)，直接把分數(shù)的分子、分母顛倒位置即可;③求一個小數(shù)的倒數(shù)，先把小數(shù)化成分數(shù)，再求其倒數(shù);④求一個帶分數(shù)的倒數(shù)，先把帶分數(shù)化成假分數(shù)，再求其倒數(shù)。

命題點二：科學記數(shù)法

例2 （1）2021年揚州世界園藝博覽會以“綠色城市，健康生活”為主題。在某搜索引擎中輸入“揚州世界園藝博覽會”，約有3020000個相關(guān)結(jié)果，數(shù)據(jù)3020000用科學記數(shù)法表示為 。

（2）原子很小，1個氧原子的直徑大約為0.000000000148m，將0.000000000148用科學記數(shù)法表示為 。

（3）據(jù)國家衛(wèi)生健康委員會發(fā)布，截至2021年5月23日，31個?。▍^(qū)、市）及新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團累計報告接種新冠病毒疫苗51085.8萬劑次，將“51085.8萬”用科學記數(shù)法表示為（ ）。

A.0.510858×109 B.51.0858×107

C.5.10858×104 D.5.10858×108

【解析】科學記數(shù)法是把一個數(shù)寫成a×10n的形式，1≤[a]<10，n為不等于0的整數(shù)。（1）3.02×106;（2）1.48×10-10;（3）D。

【點評】把一個數(shù)用科學記數(shù)法表示的方法：（1）a值的確定，1≤[a]<10。（2）n值的確定，當原數(shù)的絕對值≥10時，n是正整數(shù)，n的值等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1或原數(shù)變?yōu)閍時小數(shù)點向左移動的位數(shù);當0<原數(shù)的絕對值<1時，n是負整數(shù)，n的絕對值等于原數(shù)中左起第1個非零實數(shù)前零的個數(shù)（包括小數(shù)點前面的0）或原數(shù)變?yōu)閍時小數(shù)點向右移動的位數(shù)。另外還要注意原數(shù)字后面的萬、億等單位，以及結(jié)果是否需要計算。

命題點三：數(shù)軸的應(yīng)用

例3 實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（ ）。

A.a>-2 B.[a]>b

C.a+b>0 D.b-a<0

【解析】觀察數(shù)軸得出a<-2，b>0，[a]>[b]，故A選項錯誤，B選項正確;根據(jù)有理數(shù)的加法法則a+b<0，C選項錯誤;因為b>a，所以b-a>0，D選項錯誤。故選B。

【點評】觀察數(shù)軸上的數(shù)應(yīng)從三個方面入手：（1）數(shù)的正負性;（2）絕對值大小;（3）利用數(shù)軸比較大?。〝?shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)）。解決此題需要把數(shù)與形結(jié)合起來，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。

命題點四：平方根、算術(shù)平方根、立方根

例4 （1）49的平方根是 。

（2）4的算術(shù)平方根為 。

（3）64的立方根是 。

【解析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念解題。（1）±7;（2）2;（3）4。

【點評】非負數(shù)a的平方根是[±a]，算術(shù)平方根是[a]，實數(shù)b的立方根是[b3]。

命題點五：無理數(shù)的估算

例5 若m<[27]

【解析】因為[27]=[28]，[25]<[28]<[36]，所以5<[28]<6，所以m=5。

【點評】估算[a]的取值范圍，需從兩個方面入手：（1）確定與a相鄰的兩個完全平方數(shù)，即比a大和比a小且最接近a的兩個完全平方數(shù);（2）分別求出這些完全平方數(shù)的算術(shù)平方根，從而得出m的值。

命題點六：實數(shù)的運算

例6 （1）[-2]-20210+[83]-（[12]）-1。

（2）（[-13]）0+[3-3]+tan60°。

【解析】（1）和（2）涉及絕對值、零指數(shù)冪、立方根、負指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值等考點。在計算時，我們首先應(yīng)針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果。

（1）原式=2-1+2-2=1。

（2）原式=1+3-[3]+[3]=4。

【點評】實數(shù)的運算通常將絕對值、算術(shù)平方根、立方根、零指數(shù)冪、負指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)等考點集于一題，綜合考查運算能力。解題時要注意以下幾點：（1）零次冪，a0=1（a≠0）;（2）負整數(shù)指數(shù)冪，a-p=[1ap]（a≠0，p為正整數(shù)），特別地，a-1=[1a]（a≠0）;（3）熟記特殊角的三角函數(shù)值;（4）注意各項的符號。

（作者單位：江蘇省豐縣常店初級中學）

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