分?jǐn)?shù)教學(xué)應(yīng)先“量”后“率”

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù);認(rèn)知序;教學(xué)序

【中圖分類號(hào)】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2022）01-0069-03

初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，教師常會(huì)將“量”（表示數(shù)量）與“率”（表示關(guān)系）混合起來教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生在解決問題時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)混淆。如遇到“把3米長的繩子平均分成5段，每段長[（? ?）（? ?）]米，每段占全長的[（? ?）（? ?）]”這類問題時(shí)，學(xué)生經(jīng)常出錯(cuò)，教師往往疲于糾錯(cuò)。為什么教了那么多遍，學(xué)生還是記不住呢？我們不妨先來看幾個(gè)教學(xué)片段。

【案例呈現(xiàn)】

[案例1]“量”“率”混淆

師（板書[12]）：同學(xué)們，認(rèn)識(shí)它嗎？（直接教學(xué)讀寫）

師：你能用手中的材料表示出[12]嗎？

生操作，反饋：把一個(gè)圓片平均分成兩份，每份是它的二分之一，寫作[12];把一張正方形紙平均分成兩份，每份是它的二分之一，寫作[12]……

學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)并不是一張白紙，直接讓學(xué)生借助手中的圖形表示[12]，看似創(chuàng)設(shè)了一個(gè)開放的情境，結(jié)果卻將學(xué)生引入“量”“率”不分的境地。學(xué)生表示出來的分?jǐn)?shù)是有大小的，分別是[12]個(gè)圓、[12]張正方形紙……而在具體用語言表達(dá)時(shí)，又將分?jǐn)?shù)表示為兩個(gè)量之間的關(guān)系，如把一個(gè)圓片平均分成兩份，每份是它的[12]……很明顯，這樣做，打亂了分?jǐn)?shù)教學(xué)“量”“率”認(rèn)識(shí)的順序。那么，教師該如何來引導(dǎo)學(xué)生把握分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的進(jìn)程呢？

[案例2]由“量”進(jìn)入，逐步過渡到“率”

環(huán)節(jié)一：由“量”引入，感知分?jǐn)?shù)可以表示物體的數(shù)量

1.談話引入。

師（課件出示圖1）：一個(gè)圓片代表一個(gè)月餅，請(qǐng)大家分別在相應(yīng)方框中填上月餅的個(gè)數(shù)。

生：2個(gè)、1個(gè)、半個(gè)（0.5個(gè)、[12]個(gè)）、小半個(gè)、小小半個(gè)……

2.從“半個(gè)”入手，引導(dǎo)學(xué)生初步感知分?jǐn)?shù)。

師：“半個(gè)”是怎樣得到的？

生：把一個(gè)月餅分成兩塊，其中一塊就是半個(gè)。

師（出示<f：＼教育8本書＼江蘇教育2022＼小學(xué)1期＼小學(xué)1期圖片＼課例評(píng)析? 袁恩忠? 人教版三上? 分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí) （ 芮火才薦，朱老師轉(zhuǎn)2020.10.10）-B3E6＼image4.pdf>）：這是半個(gè)嗎？

生：不是，要平均分成兩半，一樣大。

師：像這樣，把一個(gè)月餅平均分成兩塊，其中一塊就是半個(gè)月餅，在數(shù)學(xué)中我們可以記錄成[12]個(gè)月餅。（板書：[12]個(gè)）

小結(jié)：像這樣，我們可以用一條短橫表示平均分，用數(shù)字“2”表示分成的塊數(shù)，用數(shù)字“1”表示拿的塊數(shù)。（板演書寫順序）

師：“半個(gè)”“把一個(gè)月餅平均分成兩塊，拿其中的一塊”“[12]個(gè)”，你喜歡哪種記錄方法？

由“半個(gè)”過渡到“ [12]個(gè)”，讓學(xué)生知道可以用“把一個(gè)月餅平均分成兩塊，拿其中的一塊”和“ [12]個(gè)”兩種不同的記錄方式，初步感悟分?jǐn)?shù)表示的簡潔性，在表達(dá)上由語言表征向符號(hào)表征轉(zhuǎn)換。

3.嘗試應(yīng)用。

師（指 <f：＼教育8本書＼江蘇教育2022＼小學(xué)1期＼小學(xué)1期圖片＼課例評(píng)析? 袁恩忠? 人教版三上? 分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí) （ 芮火才薦，朱老師轉(zhuǎn)2020.10.10）-B3E6＼image5.jpeg> ）：你能用一個(gè)分?jǐn)?shù)表示嗎？

師：想象一下，原來的那一個(gè)完整的月餅在哪里？（出示另外兩塊）你為什么會(huì)想到用[13]個(gè)月餅來記錄？

師：把一個(gè)月餅平均分給四個(gè)人，每人分得多少月餅？你能畫一畫或?qū)懸粚憜幔?/p>

4.小結(jié)分?jǐn)?shù)各部分名稱。

師：剛才，我們會(huì)用[12]個(gè)月餅、[13]個(gè)月餅、[14]個(gè)月餅來記錄結(jié)果，你覺得分?jǐn)?shù)和整數(shù)有什么不同點(diǎn)？

師：為什么要用這樣上下排列的兩個(gè)數(shù)字來表示分?jǐn)?shù)呢？

師：短橫表示“平均分”，平均分的塊數(shù)用幾表示，寫在下面;拿的塊數(shù)用幾表示，寫在上面。（板演書寫順序）

師：短橫代表平均分，叫“分?jǐn)?shù)線”;數(shù)一數(shù)分了多少塊當(dāng)作“分母”，再數(shù)一數(shù)拿了其中的幾塊當(dāng)作“分子”。（板書：先分后數(shù)）

通過引導(dǎo)學(xué)生用“ [13]個(gè)”“ [14]個(gè)”等記錄月餅的大小，梳理分?jǐn)?shù)記錄的規(guī)律，從而得出分?jǐn)?shù)的表示方法以及分?jǐn)?shù)各部分的名稱。

上述看似兩個(gè)環(huán)節(jié)，其實(shí)都是在一個(gè)“量”的語境下展開的，是一個(gè)完整的“序”，即分?jǐn)?shù)如何記錄分月餅的過程，讓學(xué)生完整地經(jīng)歷用數(shù)學(xué)符號(hào)記錄一種“非整”的物的過程。

環(huán)節(jié)二：由“量”過渡到“率”，感知分?jǐn)?shù)可以表示關(guān)系

出示圖2。

師：菠蘿是蘋果的幾倍？為什么？

生1：2倍。蘋果有2個(gè)，菠蘿有4個(gè)，4÷2=2。

生2：2倍。將2個(gè)蘋果看作一份，菠蘿就有這樣的2份。（如圖3）

師：是以誰為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較的？

生：蘋果。

師：如果以菠蘿為標(biāo)準(zhǔn)，把菠蘿看作一份，蘋果怎么來表示？

生1： [12]。

生2：把4個(gè)菠蘿看作一份的話，2個(gè)蘋果就是4個(gè)菠蘿的一半，所以用[12]表示。

師：同樣是一幅圖，為什么一下用2倍來表示，一下用[12]來表示呢？

生3：把蘋果看作一份的話，菠蘿就是這樣的兩份，用2倍來表示;把菠蘿看作一份的話，蘋果的個(gè)數(shù)就是菠蘿的一半，用[12]來表示。

師：怎樣比較兩個(gè)量之間的關(guān)系？

小結(jié)：標(biāo)準(zhǔn)不同;方法不同（數(shù)量比、份數(shù)比）。

環(huán)節(jié)三：“量”“率”區(qū)分

出示：（1）把2個(gè)西瓜平均分給4個(gè)人吃，每人吃了[12]個(gè)西瓜？（2）把2個(gè)西瓜平均分給4個(gè)人吃，每人吃了總數(shù)的[14]。

師：上述兩種說法對(duì)嗎？可以畫一畫，同桌互相說一說。

…………

在“倍的認(rèn)識(shí)”的基礎(chǔ)上順利實(shí)現(xiàn)了從“量”到“率”的過渡，促使學(xué)生厘清了“量”與“率”的區(qū)別，明晰了分?jǐn)?shù)的概念。

【問題思考】

數(shù)有兩個(gè)功能：一個(gè)是用來表示物體的數(shù)量;另一個(gè)是用來表示關(guān)系。關(guān)系總是拿來比較的，要比較就一定會(huì)有誰和誰比，這時(shí)就會(huì)出現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)量，所以會(huì)比較抽象。把一個(gè)抽象的關(guān)系表示成一個(gè)數(shù)，對(duì)小學(xué)生而言比較難。分?jǐn)?shù)作為一個(gè)抽象的數(shù)，既可以表示部分與整體的關(guān)系，又可以表示除法運(yùn)算的結(jié)果，還可以表示兩個(gè)整數(shù)量的比率。正因如此，小學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)出錯(cuò)的頻率也就相對(duì)較高。

綜上所述，筆者認(rèn)為，在分?jǐn)?shù)教學(xué)中，教師要注意處理好“認(rèn)知序”和“教學(xué)序”的關(guān)系。從數(shù)的發(fā)展史來看，最早產(chǎn)生的數(shù)是自然數(shù)（非負(fù)整數(shù)）。自然數(shù)“1”開始表示的是物體的數(shù)量，如1個(gè)月餅、1張桌子;后來在分物或度量過程中不能得到整數(shù)個(gè)時(shí)就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。從分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過程來看，分?jǐn)?shù)首先是表示數(shù)量且有大小，這與學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)相吻合。教材中“把××平均分成幾份，每份是它的（ ）分之一，寫作[1（? ? ?）]”這樣的表述，忽視了向?qū)W生表明分?jǐn)?shù)是描述大小的數(shù)，而直接引導(dǎo)其從“率”的角度來認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，這與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律不符。筆者建議教材補(bǔ)充“一半大小的月餅（或蛋糕）可以表示為[12]個(gè)月餅（或蛋糕），記作[12]個(gè)”這樣的表述，推動(dòng)學(xué)生建立由“量”到“率”的有序認(rèn)知。有了上述“率”的教學(xué)過渡之后，教師可以從兩個(gè)方面進(jìn)行鞏固：一方面，借助圖形，讓學(xué)生體驗(yàn)和感受到表示“量”的分?jǐn)?shù)的大小，理解分?jǐn)?shù)與以前認(rèn)識(shí)的自然數(shù)是一樣的，都可以表示物體的大小;另一方面，可以延展到其他不同的分?jǐn)?shù)，借助不同數(shù)量的圖形表征來揭示分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，使學(xué)生進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)。

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