解題訓(xùn)練：打開(kāi)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“任督”脈象
——以核心素養(yǎng)引領(lǐng)下的初中數(shù)學(xué)新課程活動(dòng)為例

吳麗娟

(北京市北大附中石景山學(xué)校 100144)

新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)從學(xué)科的角度來(lái)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與提出問(wèn)題，并能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，不斷增強(qiáng)他們的應(yīng)用意識(shí)，努力提高他們的實(shí)踐能力.然而，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中我們不難發(fā)現(xiàn)，由于基礎(chǔ)知識(shí)不牢、前后聯(lián)系欠佳、思維靈活不夠等多重因素的影響，許多學(xué)生在以學(xué)用結(jié)合為根本的“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題”上，普遍缺乏應(yīng)有的基本方法、多元思維和創(chuàng)新意識(shí).理論和實(shí)踐充分表明，只有從根本上培養(yǎng)初中生的“解題”能力，才能把他們引向真正意義上的良性發(fā)展道路.影響解題現(xiàn)象的主要因素究竟有哪些？如何訓(xùn)練并培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決能力呢？

1 制約初中生數(shù)學(xué)解題能力的主要因素

解題即解決問(wèn)題，即是指在教師的實(shí)際主導(dǎo)和有效指導(dǎo)下，學(xué)生在面對(duì)學(xué)科問(wèn)題過(guò)程中，把已學(xué)知識(shí)和技能在聯(lián)系實(shí)際認(rèn)知狀態(tài)下，經(jīng)過(guò)自我加工、綜合應(yīng)用和思維轉(zhuǎn)化，最終達(dá)成未知目標(biāo)并較好體現(xiàn)“學(xué)用結(jié)合”的過(guò)程和結(jié)果.就初中數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)說(shuō)，影響學(xué)生解題現(xiàn)象的因素很多，集中地體現(xiàn)在如下幾點(diǎn)：一是學(xué)生對(duì)以數(shù)學(xué)概念、公式、定理和法則為主的最基礎(chǔ)性理論知識(shí)學(xué)習(xí)不夠、掌握不牢，解決實(shí)際問(wèn)題自然無(wú)法得心應(yīng)手.二是嚴(yán)重缺乏“深中有淺、淺中有深、深淺結(jié)合”的有針對(duì)性訓(xùn)練，直接地導(dǎo)致了學(xué)習(xí)思維的靈敏度尤其是應(yīng)用思維的靈活度不夠.三是教師在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，多數(shù)停留在“講一題是一題”層面上，不但缺少題后反思，也沒(méi)有把問(wèn)題教學(xué)上升到思想方法和集體策略上.所以說(shuō)，學(xué)生有做不完的練習(xí)，始終發(fā)生不斷重復(fù)的錯(cuò)誤現(xiàn)象；教師有改不完的作業(yè)，還始終有講不完的錯(cuò)題.一言以蔽之，培養(yǎng)學(xué)生解題能力才是扭轉(zhuǎn)現(xiàn)狀的根本所在.

2 有效培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)解題能力的策略分析

教學(xué)實(shí)踐是一項(xiàng)融“理念指導(dǎo)、目標(biāo)引領(lǐng)、策略遵循”為有機(jī)體的綜合性工程.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)以“生本學(xué)主”為指導(dǎo)，通過(guò)“魚(yú)漁兼授”教學(xué)，不斷形成令人期待的善教樂(lè)學(xué)效應(yīng).

2.1 落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，為解題訓(xùn)練打好基礎(chǔ)

“萬(wàn)丈高樓平地起，點(diǎn)點(diǎn)滴滴皆根基.”同樣道理，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的解題應(yīng)用能力應(yīng)注重從“打好基礎(chǔ)”做起，否則一切都是“虛幻”.這種做法的基本步驟如下：一是善于培養(yǎng)認(rèn)真審題的良好習(xí)慣，為探索解題途徑提供方向性選擇，并為選擇相應(yīng)的解題方法提供決策依據(jù).這是首要前提和客觀基礎(chǔ).二是判明題型，從中預(yù)見(jiàn)解題的策略和原則.主要體現(xiàn)在——對(duì)題目的整體性認(rèn)知，對(duì)條件與目標(biāo)的化簡(jiǎn)，對(duì)隱蔽條件的發(fā)掘和把握等.三是分析解題思路，探求解題途徑，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，掌握解題方法.這是訓(xùn)練并培養(yǎng)學(xué)生解題能力的核心和關(guān)鍵.在這個(gè)方面，教師應(yīng)善于引導(dǎo)并幫助學(xué)生掌握解題的科學(xué)程序、策略原則和轉(zhuǎn)化方法.四是理順解題思路，依據(jù)邏輯規(guī)律來(lái)表達(dá)規(guī)范化解題過(guò)程.這是培養(yǎng)良好解題習(xí)慣的有效載體和重要途徑.上述這些，都是不容忽視且無(wú)可或缺的訓(xùn)練基礎(chǔ).

2.2 教會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，為解題訓(xùn)練暢通渠道

“掌握數(shù)學(xué)思想和方法，能夠讓數(shù)學(xué)更加地易于理解和記憶……領(lǐng)會(huì)基本思想和方法，則是通向遷移大道的光明大道”.(布魯納語(yǔ))在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要善于挖掘題目的內(nèi)涵，從中總結(jié)并提煉解題時(shí)所蘊(yùn)含的思想和方法，并引導(dǎo)學(xué)生借助這種思想方法來(lái)尋找解題思路.一是在問(wèn)題解決過(guò)程中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，如化歸、模型、數(shù)形結(jié)合、類比、歸納、猜想等，從而讓學(xué)生思維品質(zhì)更具合理性、條理性和敏捷性.二是在題后反思中提煉數(shù)學(xué)思想和方法，如解法是怎樣想出來(lái)的？這種解法的關(guān)鍵是什么？還能找到更好的解題途徑嗎？在這種解題中學(xué)到了什么？三是積極提倡一題多解、一題多變，引導(dǎo)學(xué)生從中透過(guò)問(wèn)題現(xiàn)象看到它的本質(zhì)，引導(dǎo)他們對(duì)于變換后的題型進(jìn)行比較和分析，從而深化理解、加強(qiáng)把握，深入體悟內(nèi)含的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)而尋找這種問(wèn)題的“根”.有了“根”，即可達(dá)成“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的解題目標(biāo)，由此能夠打通解題能力培養(yǎng)的基本通道.

轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)解題中非常重要的一種方法，它能夠引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，將學(xué)生原本不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，這是在初中數(shù)學(xué)解題過(guò)程當(dāng)中常用的方法之一.借由這一轉(zhuǎn)化思想，提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)起良好的創(chuàng)新意識(shí)，而具備這一能力的關(guān)鍵，就在于學(xué)生是否能夠抓到題目當(dāng)中的題眼，能夠運(yùn)用其所學(xué)的內(nèi)容去找尋問(wèn)題的解決之法，是否能夠?qū)⒆约翰皇煜さ膯?wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)樽约罕容^熟悉的內(nèi)容.所以老師應(yīng)該從學(xué)生的數(shù)學(xué)水平以及理解能力出發(fā)，在教學(xué)前提出適宜的問(wèn)題，為學(xué)生創(chuàng)造出良好的教學(xué)情境，將教材中難以理解的抽象內(nèi)容轉(zhuǎn)化為學(xué)生日常生活里比較常見(jiàn)的事例，借用這種方式，逐漸加強(qiáng)學(xué)生的理解能力和接受水平，讓學(xué)生能夠養(yǎng)成思維上的慣性，即便看到不熟悉的內(nèi)容，也不會(huì)產(chǎn)生抵觸的情緒，而是習(xí)慣性的用轉(zhuǎn)化性的思想，將其變?yōu)樽约罕容^熟悉的內(nèi)容，從而順利的解決問(wèn)題.老師要幫助學(xué)生端正其學(xué)習(xí)的態(tài)度，正確的看待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)其本身就是從未知到已知的過(guò)程，從不熟悉到熟悉，所以在解題的過(guò)程當(dāng)中，遇到不會(huì)的問(wèn)題非常正常，而如何面對(duì)不會(huì)的問(wèn)題，順利的找到解決的方法才是關(guān)鍵.所以老師可以讓學(xué)生靜下心來(lái)仔細(xì)分析題目，嘗試將題目當(dāng)中不了解的內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)樽约核煜さ膬?nèi)容，讓學(xué)生形成轉(zhuǎn)化思想，并且在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，注重提高學(xué)生的綜合能力，讓學(xué)生能夠樹(shù)立起自信心，勇于面對(duì)難題.

比如在教學(xué)新的知識(shí)時(shí)，老師可以從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)提出問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)行思考，老師在這一過(guò)程當(dāng)中要發(fā)揮出自身的引導(dǎo)作用，讓學(xué)生結(jié)合自己之前所學(xué)的內(nèi)容，嘗試進(jìn)行理解，打開(kāi)學(xué)生的思維，將新的知識(shí)融入于舊知識(shí)當(dāng)中，從而順利的解決問(wèn)題.借由這種方式，降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，激發(fā)其學(xué)習(xí)的熱情，為學(xué)生營(yíng)造出良好的學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生能夠正確地認(rèn)知題目，最關(guān)鍵的是要能夠在其中找到自己所熟悉的點(diǎn)，學(xué)會(huì)將陌生的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為熟悉的內(nèi)容，以打開(kāi)學(xué)生的思維廣度，提高學(xué)生對(duì)于問(wèn)題的解決能力，讓學(xué)生在自主探索的過(guò)程當(dāng)中，改變傳統(tǒng)的解題模式，形成更好的邏輯思維能力以及創(chuàng)新思維能力，樹(shù)立起學(xué)習(xí)的自信心，加強(qiáng)重難點(diǎn)知識(shí)的理解和掌握，引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立起完善的知識(shí)體系，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，加強(qiáng)實(shí)際生活與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

2.3 形成解題清晰思路，為解題訓(xùn)練提高效率

舉例如下：已知在正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，而且兩邊分別交CB、DC(或延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H.對(duì)應(yīng)問(wèn)題有：

①當(dāng)∠MAN點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，直接寫(xiě)出AH與AB的數(shù)量關(guān)系；

②當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，上述發(fā)現(xiàn)的AH與AB數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果成立進(jìn)行證明，如不成立寫(xiě)出理由；

③已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng).

在解題后進(jìn)行實(shí)際回顧和探討，其目的和任務(wù)即在于——對(duì)解題的結(jié)果和方法進(jìn)行總結(jié)與提煉，對(duì)實(shí)際過(guò)程中的思想觀點(diǎn)、重要因素和同類問(wèn)題解法進(jìn)行概而括之并積極推廣，幫組學(xué)生提煉基本思想和方法，進(jìn)而在學(xué)習(xí)掌握和熟能生巧中不斷提升解題效率.由上述例題進(jìn)行反思：①45°角給出什么啟示？②可把兩條線段之和轉(zhuǎn)換成同一條線段.解決問(wèn)題③可借鑒問(wèn)題②方法.如此練習(xí)和設(shè)計(jì)安排，幫助學(xué)生形成解題方法，尋找前兩小題與后一小題的聯(lián)系，引導(dǎo)更加深入思考，有效訓(xùn)練學(xué)習(xí)思維.若能養(yǎng)成習(xí)慣，就能讓學(xué)生在解題訓(xùn)練中超越“題?！睉?zhàn)術(shù)，進(jìn)而在“少而精”解題中收獲最大化效益.

2.4 指導(dǎo)完善知識(shí)儲(chǔ)備，為解題訓(xùn)練降低難度

從某種意義上來(lái)說(shuō)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的難與易現(xiàn)象，取決于學(xué)生主體在知識(shí)信息儲(chǔ)備上的實(shí)際情況.儲(chǔ)備充分或者完善了，解決問(wèn)題就會(huì)變得簡(jiǎn)單、事半功倍；反之，就會(huì)難度較大、事倍功半.就一般情況說(shuō)來(lái)，數(shù)學(xué)題干中的相關(guān)信息覆蓋，往往能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)“化難為易”的目標(biāo).也就是說(shuō)，在常態(tài)化教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)通過(guò)不斷地“激勵(lì)、喚醒和鼓舞”，組織并引領(lǐng)學(xué)生不斷地完善自己在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的知識(shí)儲(chǔ)備和信息完善.值得強(qiáng)調(diào)的是，在某一種類型教學(xué)結(jié)束后，教師還可通過(guò)“微課”或“信息集錦”等形式，為學(xué)生提供更加豐富、更具內(nèi)涵的“反芻與消化”資源，讓他們?cè)谧灾鲗W(xué)習(xí)和合作探究中進(jìn)一步地理解、體驗(yàn)和內(nèi)化.“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆.”只有在“學(xué)與思”“思與用”融合下，在持之以恒的“學(xué)思做”狀態(tài)下，才能走向真正的“熟能生巧”.

“數(shù)學(xué)中不僅擁有真理，還具有至高的美.”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，訓(xùn)練學(xué)生解題能力對(duì)于學(xué)用結(jié)合來(lái)說(shuō)，是有效的途徑.在這種培養(yǎng)中還蘊(yùn)藏著“美與美感”現(xiàn)象.我們應(yīng)為之貢獻(xiàn)心智和力量.