參數(shù)方程在拋物線弦長(zhǎng)問題中的應(yīng)用

陜西理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院（723000） 張 甲 郝建梅

圓錐曲線是由一平面去截二次錐面所得的一類曲線，包含橢圓、雙曲線和拋物線三類［1］。一直以來，有關(guān)圓錐曲線的問題均是高考的熱門考點(diǎn)，特別是有關(guān)圓錐曲線的弦長(zhǎng)問題。《求橢圓弦長(zhǎng)，方法知多少？》［2］一文給出了橢圓弦長(zhǎng)的一般計(jì)算公式。如果拋物線弦長(zhǎng)問題也有一般的計(jì)算公式，則計(jì)算量將會(huì)大大減少。拋物線同橢圓和雙曲線一樣，也可用教材中給出的求圓錐曲線弦長(zhǎng)的常用公式d=（k表示直線的斜率，x1和x2分別表示直線與拋物線相交時(shí)兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）來求解弦長(zhǎng)問題，但是想要求出公式中的x1+x2和x1x2，就要聯(lián)立直線與拋物線的方程，再運(yùn)用韋達(dá)定理求解［3］，因此計(jì)算量較大。此外，在解決過拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題時(shí)，根據(jù)拋物線的定義，常用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，即d=x1+x2+p（p表示拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離）。但是在使用該公式時(shí)必須要知道直線與拋物線兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和，即x1+x2，所以，如果能推導(dǎo)出已知直線方程和拋物線方程，就能求出直線與拋物線相交時(shí)的弦長(zhǎng)，使得問題迎刃而解。

高中數(shù)學(xué)系列選修教材中引入了參數(shù)方程，參數(shù)方程的應(yīng)用是解決動(dòng)點(diǎn)軌跡等問題常用的一類解題方法。一般地，曲線參數(shù)方程的定義可表述為，若某一曲線l上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）可表示為某一變量t的函數(shù)，其中

在t的允許取值范圍內(nèi)，每一個(gè)t所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M（x,y）都在曲線l上，則稱式（1）為曲線l的參數(shù)方程。根據(jù)以上敘述，本文考慮用拋物線的參數(shù)方程去求解拋物線的弦長(zhǎng)問題，為敘述方便，本文先給出拋物線y2=2px（p＞0）的參數(shù)方程［4］：

t∈（-∞,0）?（0,+∞），參數(shù)t表示拋物線上除原點(diǎn)以外的任何一點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率的倒數(shù)。

一、拋物線弦長(zhǎng)的一般計(jì)算公式

（一）當(dāng)直線斜率存在且不等于0時(shí)

如圖1，已知直線y=kx+m（k為直線斜率，且k≠0）與拋物線y2=2px（p＞0）交于A，B兩點(diǎn)，為直線與x軸的交點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|。

圖1

可根據(jù)上述拋物線的參數(shù)方程，求解拋物線弦長(zhǎng)問題，具體過程如下：

又因?yàn)榫€段AB與AC有相同的斜率，所以

因?yàn)橹本€與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，所以4p(p-2km)＞0，即式（4）中的兩個(gè)值一定是A，B兩點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率的倒數(shù)，將其代入式（3），得

（二）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)

如圖2，已知直線x=m與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|。

圖2

二、例題解析

［例1］設(shè)拋物線y2=4x與直線y=2x-4 相交于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|。

解法一：由聯(lián)立得4x2-20x+16=0，化簡(jiǎn)得x2-5x+4=0。

設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1)，(x2,y2)，根據(jù)韋達(dá)定理，得x1+x2=5，x1x2=4，

解法二：根據(jù)式（5），可得

點(diǎn)評(píng)：本題拋物線方程和直線方程均已給出，是一道常規(guī)的求拋物線弦長(zhǎng)的題目。傳統(tǒng)的方法需要聯(lián)立兩個(gè)方程來求解，在聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理計(jì)算時(shí)比較容易出錯(cuò)。

［例2］過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F作一條直線，且直線的傾斜角為，該直線與拋物線所交的弦為AB，已知弦長(zhǎng)|AB|=8，求p。

點(diǎn)評(píng)：本題是已知拋物線與直線相交的弦長(zhǎng)，求拋物線的方程。雖然例1和例2的解題思路都一樣，但例2 引入了未知數(shù)p，利用圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式計(jì)算時(shí)難度會(huì)更大一些。比較兩種計(jì)算方法，發(fā)現(xiàn)解法二利用式（5）更簡(jiǎn)便。

［例3］求拋物線y2=2px(p＞0)的通徑長(zhǎng)|AB|。

解法二：根據(jù)式（6）可求得通徑長(zhǎng)|AB|=

點(diǎn)評(píng)：本題涉及拋物線通徑長(zhǎng)度的求解。解法一是根據(jù)拋物線通徑的相關(guān)性質(zhì)，聯(lián)立拋物線方程和通徑所在的直線方程求解。解法二是根據(jù)式（6）直接計(jì)算，進(jìn)一步顯示出拋物線弦長(zhǎng)的一般計(jì)算公式的簡(jiǎn)便性。

［例4］如圖3 所示，拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F為圓x2+y2-4x=0 的圓心，斜率為2 且過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，D兩點(diǎn)，與圓交于B，C兩點(diǎn)，求|AB|+|CD|。

圖3

解法一：已知拋物線的焦點(diǎn)為圓x2+y2-4x=0的圓心，所以拋物線方程為y2=8x；斜率為2 的直線過拋物線的焦點(diǎn)，所以直線方程為y=2x-4。聯(lián)立直線方程和拋物線方程可得4x2-24x+16=0，化簡(jiǎn)得x2-6x+4=0。設(shè)A，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1)，(x2,y2)，根據(jù)韋達(dá)定理，得x1+x2=6，所以弦長(zhǎng)|AD|=6+4=10，即|AB|+|CD|=10-4=6。

解法二：根據(jù)題干求出拋物線的方程y2=8x和直線方程y=2x-4，由式（5）得，|AD|=，所 以|AB|+|CD|=10-4=6。

點(diǎn)評(píng)：通過仔細(xì)讀題并結(jié)合圖形可知，本題的解題關(guān)鍵是求出拋物線與直線相交的弦長(zhǎng)。題目讓計(jì)算|AB|+|CD|，實(shí)際就是計(jì)算拋物線弦長(zhǎng)減去圓直徑的長(zhǎng)度。

以上4 個(gè)例題涵蓋了直線與拋物線相交時(shí)，直線斜率存在和直線斜率不存在且剛好過拋物線焦點(diǎn)的情況。通過分析以上4 個(gè)例題可知，將式（5）和式（6）用于求解拋物線弦長(zhǎng)問題可避免在聯(lián)立直線方程和拋物線方程的過程中可能出現(xiàn)的計(jì)算失誤，同時(shí)達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的效果。若將以上兩個(gè)公式用于選擇題等小題的計(jì)算，則可以快速地解決問題。參數(shù)方程思想貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)，是解決許多復(fù)雜問題的重要工具。對(duì)于許多復(fù)雜問題，引入?yún)?shù)方程進(jìn)行求解可大大降低解題難度。圓錐曲線的參數(shù)方程雖然在高考中占比不是很大，但如果能作為一種重要工具加以熟練運(yùn)用將會(huì)有不少的收獲。

拋物線的弦長(zhǎng)問題，看上去似乎不太復(fù)雜，可是一旦拋物線方程或者直線方程比較復(fù)雜時(shí)，再將兩個(gè)方程聯(lián)立用韋達(dá)定理求解會(huì)非常麻煩，大多數(shù)學(xué)生很難在較短時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確求解。本文將拋物線的參數(shù)方程應(yīng)用于拋物線弦長(zhǎng)問題，推導(dǎo)出了拋物線弦長(zhǎng)的一般計(jì)算公式，即式（5）和式（6）。這兩個(gè)公式涵蓋了直線與拋物線相交的所有情況。當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸或者y軸的正半軸或負(fù)半軸時(shí)，推導(dǎo)方法與式（5）和式（6）類似，本文不再一一贅述。《求拋物線弦長(zhǎng)的一個(gè)公式》［3］一文利用拋物線的一般方程也給出了該公式的推導(dǎo)過程。對(duì)高中生而言，在解題的過程中運(yùn)用參數(shù)方程可能稍有難度，但經(jīng)過不斷努力熟練掌握該方法，在解題時(shí)就可以取得事半功倍的效果。訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用拋物線的參數(shù)方程求拋物線的弦長(zhǎng)，可有效發(fā)展學(xué)生的解題思維。