模糊蘊涵生成的序

李 琪,孫文璟,張麗珠,薄其高,李 鋼

齊魯工業(yè)大學(xué)(山東省科學(xué)院) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,山東 濟(jì)南 250353

模糊蘊涵由于在近似推理、模糊控制、模糊關(guān)系方程、模糊形態(tài)學(xué)、圖像處理等領(lǐng)域[1-9]的廣泛應(yīng)用,逐漸引起了學(xué)者們的關(guān)注。文獻(xiàn)[1]討論了模糊蘊涵的性質(zhì),文獻(xiàn)[10]分析了模糊蘊涵誘導(dǎo)的偏序,文獻(xiàn)[11]研究了相關(guān)的方程。在一般情況下,由于單位區(qū)間是一個有界格,類似在其他邏輯運算符的情況下,因此學(xué)者們在有界格上生成蘊涵并研究生成的蘊涵與其他邏輯算子之間的關(guān)系[12-14]。在本文中,我們在有界格L上定義了一種由蘊涵生成的新偏序I。另外,給出由合取一致模U生成的偏序≤U,并探討兩個序之間的關(guān)系。

1 預(yù)備知識

本節(jié)中,我們回顧本文使用的一些基本概念和結(jié)論。

定義1[13]:設(shè)(L,≤,0,1)是一個有界格。若二元函數(shù)T(S),滿足交換性、結(jié)合性、單調(diào)遞增且具有單位元1(0),則稱之為三角模(三角余模)。

定義2[14]:設(shè)(L,≤,0,1)是一個有界格。若二元函數(shù)U:L2→L是交換的,結(jié)合的,非遞減的,且存在e∈L使得U(e,x)=x,x∈[0,1]成立,則稱U為定義在L上的一致模,e為單位元。

顯然,三角模(三角余模)是一致模e=1(e=0)的特殊情況。另外,U(0,1)∈{0,1}。若U(0,1)=0,稱U為合取一致模；若U(0,1)=1,稱U為析取一致模。

在本文中,符號U(e)表示有界格L上關(guān)于單位元e∈L的一致模集合。

定義3[15]:設(shè)L≠?。若對于任意的a,b,c∈L,二元關(guān)系≤,滿足以下性質(zhì):

a≤a； (自反性)

若a≤b且b≤a,那么a=b； (反對稱性)

若a≤b且b≤c,那么a≤c； (傳遞性)

則稱≤為L上的偏序。

定義4[11]:設(shè)(L,≤,0,1)是一個有界格。若一元遞減函數(shù)N:L→L滿足N(0)=1,N(1)=0,則稱N為模糊否定。進(jìn)一步:如果L上的N是對合(N(N(x))=x,x∈L)的,那么稱N為強否定。

定義5[12]:有界格(L,≤,0,1)上的二元函數(shù)I:L2→L,對于任意的x,y,z∈[0,1]滿足以下條件:

當(dāng)x≤y時,I(x,z)≥I(y,z)成立；

(I1)

當(dāng)y≤z時,I(x,y)≤I(x,z)成立；

(I2)

I(1,0)=0,I(0,0)=I(1,1)=1；

(I3)

則稱I為模糊蘊涵。

定義6[1,3,5]:若對于任意的x,y,z∈[0,1],在有界格L上的蘊涵I關(guān)于合取一致模U的單位元e滿足輸入法則

I(x,I(y,z))=I(U(x,y),z)。 (LIU)

若對于任意的y∈L,蘊涵I關(guān)于e滿足左中性原則

I(e,y)=y,e∈]0,1[,y∈[0,1]。 (NPe)

為I關(guān)于e的自然否定。

定義7[1]:

1)由析取一致模Ud和強否定N生成的(U,N)-蘊涵如下所示:

IUd,N(x,y)=Ud(N(x),y),x,y∈L。 (1)

2)由析取一致模Ud,合取一致模U和強否定N生成的QL-算子如下所示:

IQL(x,y)=Ud(N*(x),U(x,y)),x,y∈L。 (2)

若IQL是模糊蘊涵,那么對于任意的x∈L,Ud一定是使得Ud(x,N(x))=1的三角余模。在這種情況下,IQL稱為QL-蘊涵。

3)設(shè)f:[0,1]→[0,∞]為嚴(yán)格遞減且連續(xù)的函數(shù)有f(1)=0。函數(shù)If:[0,1]×[0,1]→[0,1]定義如下:

If(x,y)=f-1(x·f(y)),x,y∈[0,1], (3)

稱為f-生成蘊涵,約定0·∞=0。

4)設(shè)g:[0,1]→[0,∞]為嚴(yán)格遞增且連續(xù)的函數(shù)有g(shù)(0)=0。函數(shù)Ig:[0,1]×[0,1]→[0,1]定義如下:

5)設(shè)h:[0,1]→[-∞,∞]為嚴(yán)格遞減且連續(xù)的函數(shù)有h(0)=-∞,h(e)=0和h(1)=+∞。函數(shù)Ih:[0,1]×[0,1]→[0,1]定義如下:

稱為h-蘊涵。

6)設(shè)h:[0,1]→[0,1],當(dāng)e∈]0,1[時為嚴(yán)格遞減且連續(xù)的函數(shù)有h(e)=0。函數(shù)I:[0,1]×[0,1]→[0,1]定義如下:

稱為廣義h-蘊涵。其中函數(shù)h(-1)是h的偽逆,如下所示:

此外,廣義h-蘊涵可以用h(-1)簡化為如下:

2 主要結(jié)論

在本節(jié)中,通過模糊蘊涵和一致模分別定義了兩種偏序,并討論了這些序相關(guān)的性質(zhì)。進(jìn)一步研究了二者之間的關(guān)系。

引理1:設(shè)(L,≤,0,1)是一個有界格且U∈U(e)。序關(guān)系≤U定義如下,對于x,y∈L,

x≤Uy??l*≥e使得U(l*,y)=x, (10)

是一個偏序。

證明:我們將從自反性,反對稱性和傳遞性來證明≤U是一個偏序。

(自反性)若我們?nèi)*=e≥e,那么對于任意的x∈L,由U(e,x)=x,得x≤Ux。

(反對稱性)設(shè)x,y∈L使得x≤Uy且y≤Ux。那么存在l1,l2≥e使得U(l1,y)=x,U(l2,x)=y。因此我們得到x=U(l1,y)≥U(e,y)=y,y=U(l2,x)≥U(e,x)=x,則x=y。

(傳遞性)對于任意的x,y,z∈L,設(shè)x≤Uy且y≤Uz。那么存在兩個元素l1,l2≥e使得U(l1,y)=x,U(l2,z)=y。通過x=U(l1,y)=U(l1,U(l2,z))=U(U(l1,l2),z)和U(l1,l2)≥e,得到x≤Uz。

定義8:設(shè)(L,≤,0,1)是有界格,U∈U(e)為合取一致模且I是滿足(LIU)的蘊涵。對于任意的x,y∈L,序關(guān)系定義如下:

xIy??l≥e使得I(l,x)=y。 (11)

注1:注意到,公式(10)定義的序≤U和文獻(xiàn)[10]中的S-偏序是相互對偶的。簡單地說,當(dāng)e=0時,公式(11)定義的序S和文獻(xiàn)[12]中的I-偏序是相互對偶的。

引理2:設(shè)(L,≤,0,1)是有界格,U∈U(e)為合取一致模且I是滿足(LIU)的蘊涵。若I關(guān)于單位元e滿足(NPe),那么公式(11)定義的序關(guān)系I為L上偏序。

證明:我們將從自反性,反對稱性和傳遞性來證明。

(自反性)由(NPe)可知存在l=e≥e,使得對于任意的x∈L,有I(l,x)=I(e,x)=x。

(反對稱性)設(shè)x,y∈L使得xIy并且yIx,那么存在l1,l2≥e,使得I(l1,x)=y,I(l2,y)=x。通過(I1)和(NPe),得x=I(e,x)≥I(l1,x)=y和y=I(e,x)≥I(l2,y)=x,因此x=y。

(傳遞性)對于任意的x,y,z∈L,設(shè)xIy且yIz。那么存在兩個元素l1,l2≥e,使得I(l1,x)=y,I(l2,y)=z。通過(LIU)我們得到z=I(l2,y)=I(l2,I(l1,x))=I(U(l2,l1),x),則

U(l2,l1)=U(l1,l2)≥U(e,e)=e。

那么xIz。

進(jìn)一步,下面的引理將證明公式(11)中定義的偏序與自然序的關(guān)系。

引理3:設(shè)(L,≤,0,1)是有界格,U∈U(e)為合取一致模且I是滿足(LIU)與(NPe)的蘊涵。若對于任意的x,y∈L有(x,y)∈I,那么(y,x)∈≤。

證明:對于任意的x,y∈L,設(shè)xIy。那么,存在元素l≥e使得I(l,x)=y。

通過(11)和(NPe),我們得到x=I(e,x)≥I(l,x)=y。所以,(y,x)∈≤。

引理4:設(shè)(L,≤,0,1)是有界格并且U∈U(e)。若對于任意的x,y∈L,有(x,y)∈≤U,那么(y,x)∈≤。

證明:對于任意的x,y∈L,設(shè)x≤Uy。那么存在l≥e使得U(l,y)=x。

我們得到y(tǒng)=U(e,y)≤U(l,y)=x。所以,(y,x)∈≤。

引理3和引理4的逆不一定成立,下面給出了一個反例。

例1:設(shè)一致模ULK=(TLK,SLK,0.5)∈Umin。那么由ULK生成的RU-蘊涵如下所示:

得出矛盾。

引理5:設(shè)(L,≤,0,1)是有界格,U∈U(e)為合取一致模且I:L2→L是滿足(LIU)和(NPe)的蘊涵。對于任意的x,y,z∈L,

xIy?I(z,x)II(z,y)。 (13)

證明:對于任意的x,y∈L,設(shè)xIy。那么存在l≥e使得I(l,x)=y。

通過(LIU),得到下列等式:

那么,由I(z,y)=I(l,I(z,x))和l≥e得I(z,x)II(z,y)。

由文獻(xiàn)[16]的命題7可知,(L,Iφ)是一個偏序集。下面的引理討論序I和Iφ之間的關(guān)系。

引理6:設(shè)(L,≤,0,1)是有界格,U∈U(e)為合取一致模且I:L2→L是滿足(LIU)和(NPe)的蘊涵。設(shè)φ:L→L是滿足φ(e)=e的保序雙射,那么對于任意的x,y∈L,當(dāng)且僅當(dāng)φ(x)Iφ(y)時,xIφy。

證明:(充分性)對于任意的x,y∈L,設(shè)xIφy。那么存在元素l≥e使得Iφ(l,x)=y。

由于φ-1(I(φ(l),φ(x)))=y,因此,得到I(φ(l),φ(x))=φ(y)。此外,φ(l)≥φ(e)=e是顯然的。則φ(x)Iφ(y)。

(必要性)設(shè)φ(x)Iφ(y),那么存在元素l≥e使得I(l,φ(x))=φ(y)。由于φ是雙射的,對于l∈L,存在元素l*∈L使得φ(l*)=l。由于φ是保序雙射并且l≥e,則l*≥e是顯然的。由φ(y)=I(l,φ(x))=I(φ(l*),φ(a)),我們得到Iφ(l*,x)=φ-1(I(φ(l*),φ(x)))=y,其中l(wèi)*≥e。則xIφy。

引理7:設(shè)(L,≤,0,1)是有界格,U∈U(e)為合取一致模且I:L2→L是滿足(LIU)和(NPe)的蘊涵。設(shè)φ:L→L是滿足φ(e)=e的保序雙射。那么,對于任意的x,y∈L,當(dāng)且僅當(dāng)(L,I)是一個格,(L,Iφ)是一個格。

證明:本引理證明過程與文獻(xiàn)[16]的定理2類似。

下面,我們證明序≤U與文獻(xiàn)[10]中定義的序U是不同的。此外,討論了由g-,f-生成蘊涵,h-蘊涵生成的序I與U生成的序≤U之間的關(guān)系,序I關(guān)于合取一致模的單位元e滿足輸入法則(LIU)和左中性原則(NPe)。

下面的引理給出了公式(10)定義的序≤U與文獻(xiàn)[10]中定義的序的區(qū)別。

引理8:設(shè)(L,≤,0,1)是有界格,U∈U(e)為合取一致模且I:L2→L是滿足(LIU)和(NPe)的蘊涵。那么,對于任意的x,y,z∈L,

x≤Uy?I(y,z)II(x,z)。 (15)

證明:對于任意的x,y∈L,設(shè)x≤Uy。那么,存在元素l≥e使得U(l,y)=x。

由I(l,I(y,z))=I(U(l,y),z)=I(x,z)且l≥e,我們得到I(y,z)II(x,z)。

推論1:設(shè)(L,≤,0,1)是有界格,U∈U(e)為合取一致模,e∈[0,1[且I:L2→L是滿足(LIU)和(NPe)的蘊涵有I(1,e)=0。那么,對于任意的x,y∈L,

引理9:設(shè)(L,≤,0,1)是有界格,U∈U(e)為合取一致模且I:L2→L是滿足(LIU)和(NPe)的蘊涵。那么,對于任意的x,y∈[e,1],xUy?I(x,z)II(y,z),z∈L。

證明:對于任意的x,y∈[e,1],設(shè)xUy。那么,存在元素l≥e使得U(x,l)=y。

由I(l,I(x,z))=I(U(l,x),z)=I(y,z)且l≥e,我們得到I(x,z)II(y,z)。

由文獻(xiàn)[11]的結(jié)果得到以下定理。

定理1:設(shè)(L,≤,0,1)是有界格,Ud為析取一致模,N為強否定且IUd,N是L上的結(jié)合(U,N)-蘊涵。那么,當(dāng)且僅當(dāng)Uc為L上的一致模且定義如下:

Uc(x,y)=N(Ud(N(x),N(y))),x,y∈L,

IUd,N關(guān)于合取一致模Uc滿足輸入法則(LIUc)。

引理10:設(shè)(L,≤,0,1)是有界格,Ud∈U(e)為析取一致模且N為L上的強否定。設(shè)IUd,N為關(guān)于合取一致模Uc滿足輸入法則(LIUc)的結(jié)合(U,N)-蘊涵。那么,對于任意的x,y∈L,當(dāng)且僅當(dāng)N(y)≤UCN(x)時,xIUd,Ny。

證明:通過定理1可得Uc是Ud的N-對偶。由于N是強否定,顯然N是滿射。那么對于任意的e∈L,存在元素e’使得N(e’)=e,可得

由此看來,元素e’∈L是Uc的單位元。因此,由引理2可知,(L,IUd,N)是一個偏序集。

(充分性)對于任意的x,y∈L,設(shè)xIUd,Ny。則存在元素l≥e’使得IUd,N=(l,x)=y,

其中Ud(N(l),x)=y。由于Uc是Ud的N-對偶,我們有

Uc(l,N(x))=N(Ud(N(l),N(N(x))))

=N(Ud(N(l),x)

=N(y)。

(18)

則N(y)≤UCN(x)。

推論2:設(shè)(L,≤,0,1)是有界格,Ud∈U(e)為析取一致模且N為L上的強否定。設(shè)IUd,N為關(guān)于合取一致模Uc滿足輸入法則(LIUc)的結(jié)合(U,N)-蘊涵。那么,當(dāng)且僅當(dāng)(L,IUd,N)是一個格,(L,≤UC)是一個格。

由文獻(xiàn)[11]的結(jié)論,得到下面定理。

定理2:設(shè)(L,≤,0,1)是有界格,x∈L。S為滿足S(x,N(x))=1的三角余模,U為合取一致模并且N為L上的強否定。若相應(yīng)的QL-算子關(guān)于合取一致模Uc滿足輸入法則(LIUc),則Uc和U均是L上的三角模。

通過定理2,我們得出以下結(jié)論。

推論3:設(shè)(L,≤,0,1)是有界格,IQL是由合取一致模U,析取一致模Ud和L上的強否定N*生成的QL-蘊涵。若IQL關(guān)于合取一致模Uc滿足輸入法則(LIUc),那么(L,IQL)是反鏈。

證明:IQL(x,y)=Ud(N*(x),U(x,y))是顯然的。由于IQL是模糊蘊涵,Ud一定為滿足Ud(x,N*(x))=1,x∈L的三角余模。所以,通過定理2的結(jié)論可知,Uc和U均是L上的三角模且Uc的單位元e一定是1。由于IQL(1,y)=Ud(N*(1),U(1,y))=Ud(0,y)=y,那么IQL關(guān)于1滿足(NP)。則(L,IQL)是一個偏序集。由文獻(xiàn)[1]的命題7.39可知,IQL為由IQL(x,y)=S(N*(x),y)定義的(S,N)-蘊涵,且Uc是S的N*-對偶。下面,設(shè)xIQLy,那么存在l=1使得y=IQL(1,x)=S(N*(1),x)=x。因此,(L,IQL)是反鏈。

推論4:設(shè)Ig:[0,1]×[0,1]→[0,1]是關(guān)于三角模T滿足輸入法則的g-生成蘊涵,那么([0,1],Ig)是反鏈。

證明:由文獻(xiàn)[1]中的定理3.2.8已知Ig關(guān)于1滿足左中性原則(NP)。因此,由引理2可知,([0,1],Ig)是一個偏序集。

對于任意的x,y∈[0,1],若xIgy,那么存在l=1使得x=Ig(1,x)=y。因此,([0,1],Ig)是反鏈。

相似地,下面的推論也成立。

推論5:設(shè)If:[0,1]×[0,1]→[0,1]是關(guān)于三角模T滿足輸入法則的f-生成蘊涵,那么([0,1],If)是反鏈。

推論6:設(shè)Ih:[0,1]×[0,1]→[0,1]是關(guān)于三角模T滿足輸入法則的(廣義)h-蘊涵,那么([0,1],Ih)是反鏈。

3 結(jié) 論

本文介紹了一類序,它是由有界格上滿足輸入法則(LIU)和左中性原則(NPe)的蘊涵定義的序I,并討論了相關(guān)性質(zhì)。另外,給出基于有界格上一致模的一種新的序≤U。我們探討了由關(guān)于合取一致模U的單位元e滿足輸入法則(LIU)和左中性原則(NPe)的(U,N)-蘊涵生成的序I與序≤U之間的關(guān)系。得到由QL-,g-,f-生成蘊涵,h-蘊涵生成的序I所構(gòu)成的序結(jié)構(gòu)(L,I)。結(jié)果表明,相應(yīng)的序結(jié)構(gòu)都是反鏈。