基于不確定指數(shù)O-U過程帶有浮動利率模型的亞式期權(quán)定價(jià)

劉兆鵬

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽 宿州 234000)

0 引言

期權(quán)定價(jià)在現(xiàn)代金融中扮演著重要的角色。亞式期權(quán)是一種強(qiáng)路徑依賴期權(quán)，其收益取決于期權(quán)合約存續(xù)期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的平均值，亞式期權(quán)可以規(guī)避到期前市場操縱所帶來的風(fēng)險(xiǎn)，是最受歡迎的奇異期權(quán)之一。

以往學(xué)者對亞式期權(quán)定價(jià)的研究主要是基于概率論，在Black-Scholes模型的假設(shè)下，獲得了一些有用的結(jié)論，具體可以參看文獻(xiàn)[1～3]。然而，在現(xiàn)實(shí)的金融市場中，由于信息不對稱，投資者無法獲得足夠的數(shù)據(jù)來解決投資選擇的問題，他們更愿意依靠以往的經(jīng)驗(yàn)來做出自己的決定，因此信度在金融決策中起到非常重要的作用。為了理性描述信度問題，劉寶錠提出了不確定理論?；诠蓛r(jià)波動遵循幾何劉過程的假設(shè)，Liu[4]開始了不確定金融的研究工作，建立了不確定股票模型并推導(dǎo)出歐式期權(quán)定價(jià)公式。此后，許多學(xué)者致力于不確定理論框架下的金融問題研究。例如，Peng和Yao[5]研究了一種新的不確定股票模型；Yao[6]給出了基于不確定均值回復(fù)股票模型的無套利定理。此外，Yao[6]推導(dǎo)出股票模型無套利的充要條件，Yao[8]研究了浮動利率股票模型的應(yīng)用；Zhang和Liu[9]研究了不確定金融市場下幾何亞式期權(quán)定價(jià)問題；Sun和Chen[10]提出具有浮動利率的不確定均值回復(fù)模型，推導(dǎo)出亞式期權(quán)定價(jià)公式； Lv和Liu[11]提出一個(gè)新的帶有浮動利率的不確定股票模型，并推到了歐式、美式和亞式期權(quán)定價(jià)公式；Wang和Chen[12]推導(dǎo)出具有不確定CIR浮動利率的亞式期權(quán)定價(jià)公式等。

本文基于已有文獻(xiàn)，提出一種新的不確定股票模型，假設(shè)股票價(jià)格服從不確定指數(shù)O-U過程，利率服從不確定均值回復(fù)模型，分別推導(dǎo)了亞式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價(jià)公式，設(shè)計(jì)了計(jì)算期權(quán)價(jià)格的數(shù)值算法，并給出數(shù)值算例。

1 不確定理論

不確定性理論已經(jīng)成為公理數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，用來處理主觀信念的程度。本節(jié)將介紹不確定變量和不確定微分方程的一些基本概念和定理。

定義1[4,15]L是非空集合(全集)Γ上的一個(gè)σ代數(shù)，集函數(shù)M:L→[0,1]如果滿足規(guī)范性公理、對偶性公理、次可加性公理和乘積公理，稱M為不確定測度。

Liu[4]給出不確定變量是ξ從不確定空間(Γ,L,M)到實(shí)數(shù)集上的一個(gè)可測函數(shù)，即對任意的Borel集，{ξ∈B}是一個(gè)事件。記Φ(x)=M{ξ∈x},x∈R，為不確定變量ξ的不確定分布；一個(gè)不確定分布Φ(x)被稱為是正則的，如果Φ(x)(0<Φ(x)<1)是一個(gè)連續(xù)的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，且有l(wèi)imΦ(x)=0,limΦ(x)=1，而Φ(x)的反函數(shù)Φ-1(α)稱作ξ的逆不確定分布。

引理1[14]ξ是具有不確定分布Φ的不確定變量。 若它的期望存在，則

定義3[16](Γ,L,M)為不確定空間，T是全序集(時(shí)間)。 一個(gè)不確定過程是從T×(Γ,L,M)到實(shí)數(shù)集的函數(shù)Xt(γ)，使得在任意時(shí)刻t對于任意一個(gè)Borel集B,{Xt∈B}都是一個(gè)事件。

定義4[4]不確定過程Ct如果滿足以下條件，則Ct被稱為典范Liu過程:

(i)C0=0而且?guī)缀跛械臉颖拒壍朗荓ipschitz連續(xù)的；

(ii)Ct是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程；

(iii)每一個(gè)增量Cs+t-Ct都是期望為0，方差為t2的正態(tài)不確定變量。即典范Liu過程的正態(tài)不確定分布和正態(tài)逆不確定分布分別是

定義5[4]若Ct典范Liu過程，f和g是兩個(gè)給定函數(shù)，則dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt,稱為不確定微分方程。

Liu[13]指出X1t,X2t,…,Xnt是獨(dú)立的，如果對于任意的正整數(shù)k和任意時(shí)刻t1,t2,…,tk,不確定向量ξi=(Xit1,Xit2,…,Xitn),i=1,2,…,n是獨(dú)立的。

2 模型和主要結(jié)論

2.1 模型假設(shè)

在金融實(shí)踐中，利率是一個(gè)重要的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，經(jīng)常受到一些不確定因素的影響,在探討期權(quán)定價(jià)時(shí)，有必要考慮浮動利率。Yao[8]提出了帶有浮動利率的如下股票模型：

(1)

其中rt為利率，Xt為股票價(jià)格，μ1,μ2,σ1,σ2是非負(fù)實(shí)數(shù)，C1t和C2t是相互獨(dú)立的典范Liu過程。

模型(1)考慮的是股票價(jià)格的短期波動。長期來看，利率和股價(jià)應(yīng)該圍繞某個(gè)均值水平上下波動，為此，Sun和Su[13]提出了帶有浮動利率的不確定均值回復(fù)股票模型：

(2)

其中rt為利率，Xt為股票價(jià)格，m1,m2,a1,a2,σ1,σ2(a1,a2≠0)是非負(fù)實(shí)數(shù)。

模型(2)可以反映出股票價(jià)格的均值回復(fù)特征。但是模型(2)是一種線性均值回復(fù)模型，為了更貼近現(xiàn)實(shí)金融市場，Dai[18]等人提出了非線性均值回復(fù)特征的不確定指數(shù)O-U模型。

(3)

其中r為利率，Yt為債券價(jià)格，Xt為股票價(jià)格，r,c,σ,μ是非負(fù)實(shí)數(shù)。

指數(shù)O-U過程是一類保證股價(jià)非負(fù)且具有回復(fù)水平的過程，它保證了股價(jià)在短期內(nèi)不會發(fā)生巨大波動，有利于投資者進(jìn)行投資決策。

本文將對以上模型做一些改進(jìn)，提出一種新的具有浮動利率的不確定指數(shù)O-U股票模型：

(4)

其中rt為利率，Xt為股票價(jià)格，a,b,c,μ,σ1,σ2是非負(fù)實(shí)數(shù),C1t和C2t是相互獨(dú)立的典范Liu過程。

股票價(jià)格遵循指數(shù)O-U過程，避免了傳統(tǒng)對數(shù)正態(tài)分布中股票價(jià)格隨時(shí)間單向變化的限制，而利率服從均值回復(fù)模型，可以反映出利率圍繞均值波動的特性，因此股票模型(4)更符合實(shí)際金融市場。

2.2 亞式期權(quán)定價(jià)

現(xiàn)基于新的不確定股票模型(4)，分別考慮亞式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)，股票價(jià)格為Xt，執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T。

定理1假設(shè)執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T，亞式看漲期權(quán)基于模型(4)的期權(quán)價(jià)格為

定理2假設(shè)執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T，亞式看跌期權(quán)基于模型(4)的期權(quán)價(jià)格為

3 數(shù)值算法

根據(jù)定理1和定理2，計(jì)算亞式期權(quán)價(jià)格的數(shù)值算法設(shè)計(jì)如下：

根據(jù)要求的精度選擇兩個(gè)較大的數(shù)N和M，令αi=i/N，i=1,2,…,N-1,ti=j·T/M,j=1,2,…,M。

(1)令i=0；

(2)令i←i+1；

(3)令j=0；

(4)令j←j+1；

4 結(jié)束語

本文在不確定理論的框架下討論了亞式期權(quán)的定價(jià)問題。首先提出了一個(gè)新的不確定金融模型，假設(shè)股票價(jià)格遵循不確定指數(shù)O-U過程，利率服從不確定均值回復(fù)模型，分別推導(dǎo)出亞式看漲期權(quán)和亞式看跌期權(quán)定價(jià)公式，為了對價(jià)格進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，設(shè)計(jì)了一些算法，并通過數(shù)值算例驗(yàn)證了算法的有效性，以期為金融決策和風(fēng)險(xiǎn)管理提供科學(xué)指導(dǎo)。