破產(chǎn)控制約束下組合投資:兩階段MiniMax模型

康志林, 王志煥

(1.華僑大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)院,福建 泉州 362021; 2.華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建 泉州 362021; 3.金融數(shù)學(xué)福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(莆田學(xué)院),福建 莆田 351100)

0 引言

自Markowitz的均值-方差模型誕生以來(lái)，理性投資者通常有兩個(gè)目標(biāo)：最大化收益和最小化風(fēng)險(xiǎn)。根據(jù)Markowitz組合投資理論，給定收益水平，通過(guò)最小化投資組合的方差可以獲得最低風(fēng)險(xiǎn)；或給定投資者可以容忍的風(fēng)險(xiǎn)水平，通過(guò)最大化期望收益可以獲得最高收益。除方差外，學(xué)者們從不同角度給出了投資組合風(fēng)險(xiǎn)度量方式，主要分為兩類(lèi)：一類(lèi)是基于偏差-風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。如，Minimax風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度[1]、下偏矩風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度[2]。另一類(lèi)是基于概率(分位數(shù))-風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。如，在險(xiǎn)價(jià)值(VaR)[3]。

在實(shí)際投資決策中，由于單期組合投資自身的局限性，自然地將經(jīng)典的Markowitz均值-方差模型推廣到多期情形，其中最具代表性的工作是Li和Ng[4]。此外，對(duì)投資者而言，要確認(rèn)她的財(cái)富受益于多期投資組合策略，特別重要的一點(diǎn)是，在到達(dá)投資期限之前避免破產(chǎn)事件的發(fā)生。因此，破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)控制是最優(yōu)動(dòng)態(tài)資產(chǎn)組合選擇過(guò)程中需要考慮的一個(gè)重要因素。Zhu[5]提出了拓展的均值-方差模型，借以幫助投資者在收益-風(fēng)險(xiǎn)權(quán)衡意義下獲得最優(yōu)回報(bào)，且對(duì)破產(chǎn)具有良好的風(fēng)險(xiǎn)控制。Bielecki等[6]在連續(xù)時(shí)間框架下研究了破產(chǎn)控制約束下具有隨機(jī)參數(shù)的均值-方差投資組合選擇問(wèn)題。在假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)隨機(jī)收益取決于隨機(jī)市場(chǎng)的狀態(tài)，并遵循馬爾可夫鏈條件下，Wei和Ye[7]考慮了隨機(jī)市場(chǎng)中帶破產(chǎn)約束的多階段均值-方差投資組合模型。徐維軍等[8]基于可信性測(cè)度理論，根據(jù)Roy的定義給出了未來(lái)現(xiàn)金流量隸屬三角模糊變量的控制破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并構(gòu)建了項(xiàng)目投資過(guò)程中受到破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)因素影響的含破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)約束的多項(xiàng)目投資組合決策模型。同樣，Zhang和Liu[9]利用可信度理論，提出了具有破產(chǎn)控制的多階段模糊投資組合選擇的均值-方差模型。最近，Li等[10]研究了具有交易成本和破產(chǎn)約束的三階段不確定多期投資組合選擇問(wèn)題，在模型中他們分別用不確定的期望值和方差來(lái)度量投資的最終財(cái)富和風(fēng)險(xiǎn)。易發(fā)現(xiàn)，除了徐維軍等[9]，現(xiàn)有研究均基于均值-方差框架。本文擬在康志林和曾燕[11]基礎(chǔ)上，類(lèi)似文獻(xiàn)Fu等[12](僅考慮兩階段)，對(duì)破產(chǎn)控制約束下兩階段MiniMax投資組合問(wèn)題進(jìn)行研究。

本文結(jié)構(gòu)安排如下。第一部分，給出破產(chǎn)控制約束相關(guān)概念和多期MiniMax模型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。第二部分，在市場(chǎng)不允許賣(mài)空及含破產(chǎn)控制約束條件下，研究?jī)呻A段MiniMax模型的最優(yōu)解析策略。

1 破產(chǎn)事件與多期MiniMax模型

考慮一個(gè)含n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)Sj(j=1,…,n)的隨機(jī)金融市場(chǎng)。投資者在零時(shí)刻以初始財(cái)富M0進(jìn)入市場(chǎng)。投資者可以在接下來(lái)的T-1期將其財(cái)富按某一規(guī)則分配到n個(gè)資產(chǎn)中，并在第T期結(jié)束時(shí)獲得最終財(cái)富。假設(shè)Rij為資產(chǎn)Sj在t期的隨機(jī)收益率，rij為Rij的期望收益(t=1,,T,j=1,…,n)。定義向量Rt=(Rt1,…,Rtn)′和向量rt=(rt1,…,rtn)′，其中a′表示向量的轉(zhuǎn)置。

設(shè)Vt-1為投資者在第t期開(kāi)始時(shí)的初始財(cái)富，xij(j=1,2,…,n)為第t期開(kāi)始時(shí)投資于第j個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的金額。假設(shè)市場(chǎng)不允許賣(mài)空，即xij≥0。因此，財(cái)富演化方程可以表示為

(1)

(2)

當(dāng)投資者的總財(cái)富在任何中間時(shí)刻或最后時(shí)刻低于預(yù)先設(shè)定的災(zāi)難閾值時(shí)，就會(huì)發(fā)生破產(chǎn)。如果投資者破產(chǎn)，由于其負(fù)債高、信用低，因而無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行相應(yīng)的投資。現(xiàn)記第t期的災(zāi)難閾值為b1，且將第t期的破產(chǎn)事件標(biāo)記為BRt，則BRt事件發(fā)生的概率為[7]P(BRt)=P(Vt≤bt,Vi>bt,i=1,2,…,t-1),t=1,…,T。

P(BRt)=P(Vt≤0,Vi>0,i=1,2,…,t-1)

假設(shè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡，即他或她希望最大化期末財(cái)富E(VT)，同時(shí)最小化期末總風(fēng)險(xiǎn)。這里，期末總風(fēng)險(xiǎn)定義為每項(xiàng)資產(chǎn)在一段時(shí)間內(nèi)投資的最大絕對(duì)偏差之和，且從第1期到第期，每期的風(fēng)險(xiǎn)都不能超過(guò)給定的水平。因此，相應(yīng)問(wèn)題可以表述為一個(gè)具有兩個(gè)相互沖突目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題:

min{wT,-E(VT)}

E(|Rtjxtj-rtjxtj|)≤εtE(Vt-1),t=1,…,T

通過(guò)引入風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)λ∈(0,1), 將雙目標(biāo)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題:

2 兩階段MiniMax問(wèn)題最優(yōu)投資策略

E[f2(w2,V2)]

=λw2-(1-λ)E(V2)

s.t.q2jx2j≤z2,j=1,2,… ,n

定理1[11]對(duì)任意λ∈(0,1)，當(dāng)

(3)

(4)

則問(wèn)題(P2)的最優(yōu)解為

(5)

(6)

其中，A12(λ),A22(λ)為擬投資的資產(chǎn)集。

由式(6)，易得

=V1a2

綜上，有

=λw1+V1[λa2-(1-λ)·

=λw1-b2V1

s.t.q1jx1j≤z1,j=1,…,n,q1jx1j≤ε1V0,j=1,…,n

s.t.q1jx1j≤z1,j=1,…,n

定理2對(duì)任意λ∈(0,1)，當(dāng)

(7)

(8)

問(wèn)題(P1)的最優(yōu)解為

(9)

(10)

其中A11(λ),A21(λ)為擬投資的資產(chǎn)集，該集合由如下規(guī)則確定：

A11(λ)={n,n-1,…,n-k1},A21(λ)={m,m-1,…,1}，其中m=n-k1-1。

情形1當(dāng)b2>0,如果存在整數(shù)k1≥0,k2≥0,k1+k2∈[0,n-3],n≥3使得

(11)

(12)

…

(13)

(14)

則A11(λ)={n,n-1,…,n-k1},A21(λ)={m,m-1,…,m-k2},其中m=n-k1-1。

情形2當(dāng)b2<0，如果存在整數(shù)k1≥0,k2≥0,k1+k2∈[0,n-3],n≥3，使得

(15)

(16)

…

(17)

(18)

則A11(λ)={1,2,…,k1+1},A21(λ)={m,m+1,…,n-k2-1},其中m=k1+2。

3 期末總財(cái)富與總風(fēng)險(xiǎn)

根據(jù)式(1)、定理1和定理2的結(jié)論，可導(dǎo)出期末總財(cái)富E[V2]和總風(fēng)險(xiǎn)w2:

由于第t(t=1,2)期風(fēng)險(xiǎn)可表示為

因此，由式(2)可得第2期期末總風(fēng)險(xiǎn)