一種改進(jìn)的二維局部均值分解算法

馬朝永，付云超，胥永剛

(北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京100124)

1 引言

圖像處理中無論是紋理分析、圖像增強(qiáng)還是邊緣檢測，都是針對圖像中特定的尺度內(nèi)容，通過對圖像不同尺度成分的提取，往往可以加快并且優(yōu)化后續(xù)圖像處理的結(jié)果，因此圖像多尺度分析是圖像處理之前必不可少的關(guān)鍵一步[1，2]。

近些年，圖像多尺度分析方法不斷發(fā)展，2003年J.C.Nune等人將經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition，EMD)推廣到二維信號(hào)領(lǐng)域，得到二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(bidimensional empirical mode decomposition BEMD)[3]，BEMD對非線性信號(hào)具有很好的時(shí)頻分析特性，而圖像是一種典型的非線性非平穩(wěn)信號(hào)，其中含有多種頻率成分：噪聲、邊緣和紋理是高頻信息，背景和灰度穩(wěn)定的區(qū)域是低頻信息[4-6]。BEMD通過從原始圖像中減去均值包絡(luò)函數(shù)將圖像中的不同頻率內(nèi)容拆分出來，得到一系列穩(wěn)定的不同尺度的二維固有模態(tài)分量(bidimensional intrinsic mode function，bimf)圖像和一個(gè)趨勢殘差圖像，但是BEMD存在嚴(yán)重的端點(diǎn)效應(yīng)和模態(tài)混疊現(xiàn)象[7，8]。2005年Jonathan S.Smith[9]在EMD的基礎(chǔ)上，針對EMD存在的不足，提出了一種新的多尺度時(shí)頻分析方法—局部均值分解(local mean decomposition，LMD)，LMD通過從原始信號(hào)中分解出純調(diào)頻信號(hào)并與包絡(luò)估計(jì)函數(shù)相乘，得到一系列瞬時(shí)頻率有物理意義的純調(diào)頻調(diào)幅信號(hào)與一個(gè)剩余信號(hào)；LMD的端點(diǎn)效應(yīng)不明顯，分解得到的分量信號(hào)中保存了更多的頻率信息和包絡(luò)信息。2015年陳思漢等人[10]提出二維局部均值分解，用于對圖像進(jìn)行多尺度分解，其利用Delaunay三角剖分算法，對極大值圖像和極小值圖像進(jìn)行三角網(wǎng)格插值，得到局部均值函數(shù)和包絡(luò)估計(jì)函數(shù)，并通過設(shè)置篩分終止條件，最終將圖像分解成多個(gè)二維乘積函數(shù)(bidimensional production function，bpf)圖像，不同分量圖像包括不同的尺度成分。但由于插值算法的龐大計(jì)算量以及對相鄰極值點(diǎn)之間的“欠沖”和“過沖”造成的模態(tài)混疊現(xiàn)象，并且BLMD依賴于兩種閾值的選擇，缺乏自適應(yīng)性。使得BLMD并不能成為一種高效的二維信號(hào)多尺度分析方法。

針對于此，本文在BLMD的基礎(chǔ)上提出一種改進(jìn)算法，用OSF代替三角剖分插值算法對圖像進(jìn)行局部均值函數(shù)和包絡(luò)估計(jì)函數(shù)的求取[11]，其中OSF的窗口尺寸由每次待分解圖像自身極值點(diǎn)信息驅(qū)動(dòng)，具有自適應(yīng)性；包絡(luò)估計(jì)函數(shù)在每次分解當(dāng)中只迭代兩次，以此作為新的篩分終止條件，能有效降低算法的循環(huán)次數(shù)，減少計(jì)算量。通過對自然圖像和仿真圖像的實(shí)驗(yàn)分析，證明了改進(jìn)算法在對圖像中不同尺度內(nèi)容進(jìn)行分解方面具有一定的優(yōu)勢。

2 二維局部均值分解算法

陳思漢等人將LMD首次推廣到二維圖像領(lǐng)域，結(jié)合圖像信號(hào)與一維信號(hào)的不同與自身特點(diǎn)，提出利用Delaunay三角剖分算法對相鄰極值點(diǎn)之間插值，從而得到局部均值函數(shù)圖像和包絡(luò)估計(jì)函數(shù)圖像，并且設(shè)置了得到每一個(gè)乘積函數(shù)圖像需要滿足的篩分終止條件。BLMD的分解步驟如下：

1)圖像初始化hij(x，y)=f(x，y)，設(shè)置窗口尺寸閾值Tw和極值點(diǎn)個(gè)數(shù)閾值Tm；

2)用8-鄰域窗算法求圖像hij(x，y)中的局部極大值點(diǎn)，搜索每個(gè)極大值點(diǎn)Tw鄰域內(nèi)所有極小值點(diǎn)，如果極小值點(diǎn)個(gè)數(shù)大于Tm，則進(jìn)入步驟3)，否則Tw+1，重復(fù)步驟2)；

3)用Delaunay三角剖分插值算法對極大值點(diǎn)圖像和極小值點(diǎn)圖像進(jìn)行插值，得到極大值包絡(luò)Emax和極小值包絡(luò)Emin，計(jì)算局部均值圖像Eave和包絡(luò)估計(jì)圖像aij，并進(jìn)行平滑處理

(1)

(2)

4)待分解圖像減去局部均值圖像，并對剩余圖像進(jìn)行解調(diào)；計(jì)算公式如下

hi(j+1)(x，y)=hij(x，y)-Eave

(3)

(4)

5)判斷Sij(x，y)是否是純調(diào)頻函數(shù)，判斷依據(jù)如下

1-Δ≤aij≤1+Δ

(5)

此即為篩分終止條件，如果滿足該條件，則停止迭代，進(jìn)入步驟6)。否則，返回步驟2)，繼續(xù)迭代直到Sin(x，y)為純調(diào)頻信號(hào)，將此過程中得到所有包絡(luò)估計(jì)函數(shù)ain相乘得到包絡(luò)信號(hào)；

ai=ai1ai2…ain

(6)

6)純調(diào)頻信號(hào)Sin(x，y)與包絡(luò)估計(jì)信號(hào)ain相乘，得到一個(gè)乘積函數(shù)分量圖像bpfi，將原始圖像f(x，y)減去分量圖像得到的剩余圖像作為原始圖像，返回步驟1)，繼續(xù)循環(huán)，直到達(dá)到預(yù)設(shè)的分解次數(shù)，或者剩余圖像中局部極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)少于兩個(gè)。

bpfi=Sin(x，y)·ai

(7)

ri(x，y)=f(x，y)-bpfi

(8)

最終原始圖像被分解成多個(gè)尺度由小到大排列的乘積函數(shù)圖像和一個(gè)殘余圖像r(x，y)，公式表示如下：

(9)

陳思漢在提出二維局部均值分解時(shí)，并沒有給出明確的適用二維圖像的篩分終止條件Δ的取值范圍，而是沿用處理一維信號(hào)時(shí)的取值范圍[12-14]，造成在圖像分解過程中出現(xiàn)過度迭代或者欠迭代，這都將使尺度分解產(chǎn)生誤差；并且窗口尺寸閾值Tw和極值點(diǎn)個(gè)數(shù)閾值Tm都是經(jīng)驗(yàn)量，并沒有給出確切的選擇依據(jù)，由于每幅圖像紋理復(fù)雜度及頻率復(fù)雜度的不同，對于Tw和Tm的選擇也不盡相同，除此之外，BLMD還存在嚴(yán)重的由于插值算法造成的模態(tài)混疊現(xiàn)象。因此，BLMD算法仍有一些不足之處。

3 快速自適應(yīng)二維局部均值分解算法

FABLMD的改進(jìn)之處既是關(guān)鍵的一步是用OSF求極大值圖像和極小值圖像的包絡(luò)面，得到的上下包絡(luò)面更加精確，并且相比較于三角剖分插值，計(jì)算速度更快，能夠大大的節(jié)省計(jì)算開銷。

3.1 順序統(tǒng)計(jì)濾波器

OSF分為極大值統(tǒng)計(jì)濾波器和極小值統(tǒng)計(jì)濾波器；OSF的3×3模板如圖1所示，濾波器的窗口大小由待分解圖像自身極值點(diǎn)信息驅(qū)動(dòng)，具有自適應(yīng)性，窗口尺寸的計(jì)算步驟為：

圖1 順序統(tǒng)計(jì)濾波器3×3模板

1)利用8-鄰域法尋找待分解圖像Ij(x，y)的局部極大值點(diǎn)和局部極小值點(diǎn)；

2)計(jì)算每一個(gè)極大值點(diǎn)與之相鄰最近的極大值點(diǎn)之間的距離，然后四舍五入求整，存在向量dmax中，同理，將每個(gè)相鄰最近的極小值點(diǎn)之間的距離存在向量dmin中。

最后順序統(tǒng)計(jì)濾波器的計(jì)算公式有如下四種：

W1=min{min(dmax)，min(dmin)}

(10)

W2=max{min(dmax)，min(dmin)}

(11)

W3=min{max(dmax)，max(dmin)}

(12)

W4=max{max(dmax)，max(dmin)}

(13)

通過上式可以看出，式(10)到(13)計(jì)算得到OSF的窗口尺寸逐漸增大。窗口尺寸越大，分解得到的分量圖像之間的差別就越大，窗口尺寸越小，分解得到的分量圖像之間的差別就越小，具體選擇何種公式計(jì)算得到的統(tǒng)計(jì)濾波器，需要根據(jù)目的需求確定；以上四種計(jì)算公式都是根據(jù)圖像自身的灰度信息確定的，在每次待分解的圖像上計(jì)算一次。

以極大值統(tǒng)計(jì)濾波器為例，極大值統(tǒng)計(jì)濾波器通過在圖像上以1個(gè)像素為步長進(jìn)行平移，將窗口下所有像素的灰度值進(jìn)行排序，選擇其中最大的值作為窗口中心位置的灰度值，其它位置的灰度值不變；對整幅圖像進(jìn)行遍歷，然后使用均值濾波器進(jìn)行平滑處理，同理使用極小值統(tǒng)計(jì)濾波器對圖像進(jìn)行相同操作，兩種順序統(tǒng)計(jì)濾波器的尺寸相同，皆取整為奇數(shù)大小。最終得到局部均值函數(shù)和包絡(luò)估計(jì)函數(shù)。圖2是對模擬圖像的數(shù)字矩陣用極大值統(tǒng)計(jì)濾波器求上包絡(luò)的示意圖。

圖2 極大值濾波器求上包絡(luò)圖像

3.2 FABLMD

快速自適應(yīng)二維局部均值分解算法的具體步驟為：

1)圖像初始化，Ii1(x，y)=G(x，y)；

2)按照目的需要，根據(jù)式(10)-(13)，選擇其中一個(gè)，在圖像Ii1(x，y)上計(jì)算OSF的窗口尺寸；

3)用OSF求Ii1(x，y)的上包絡(luò)Ui1(x，y)和下包絡(luò)圖像Li1(x，y)，進(jìn)而計(jì)算得到局部均值函數(shù)Emi1和包絡(luò)估計(jì)函數(shù)ai1，并對局部均值函數(shù)和包絡(luò)估計(jì)函數(shù)進(jìn)行均值平滑處理

(14)

(15)

4)圖像Ii1(x，y)減去局部均值函數(shù)，并對剩余圖像進(jìn)行解調(diào)，計(jì)算公式如下；將解調(diào)后的圖像作為Ii2(x，y)返回步驟2)，繼續(xù)執(zhí)行，又得到一個(gè)包絡(luò)估計(jì)函數(shù)ai2和解調(diào)函數(shù)Hi2(x，y)

Si1(x，y)=Ii(x，y)-Emi1

(16)

(17)

Ii2(x，y)=Hi1(x，y)

(18)

將兩次得到的包絡(luò)估計(jì)函數(shù)相乘得到包絡(luò)信號(hào)ai，包絡(luò)信號(hào)與最新的解調(diào)函數(shù)相乘得到一個(gè)乘積函數(shù)分量圖像bpfi

ai=ai1·ai2

(19)

bpfi=Hi2(x，y)·ai

(20)

原始圖像減去bpfi的剩余圖像作為下次分解的處理圖像Ii+1(x，y)，返回步驟1)繼續(xù)循環(huán)，直到達(dá)到預(yù)設(shè)的分解次數(shù)或者剩余圖像中極值點(diǎn)個(gè)數(shù)小于2個(gè)。

ri(x，y)=Ii(x，y)-bpfi

(21)

Ii+1(x，y)=ri(x，y)

(22)

這樣，一幅成分復(fù)雜的圖像就被分解成了幾幅不同尺度范圍的分量圖像和一個(gè)反映灰度趨勢信息的剩余圖像；其中，步驟4)提出了一種新的篩分終止條件—包絡(luò)估計(jì)函數(shù)ai1只迭代兩次，相比于BLMD的篩分終止條件，新的篩分終止條件大大減少了算法循環(huán)次數(shù)，節(jié)省時(shí)間成本，通過對仿真圖像和自然圖像的實(shí)驗(yàn)分析都驗(yàn)證了其有效性。

4 實(shí)驗(yàn)分析

首先用仿真圖像驗(yàn)證FABLMD的有效性，仿真圖像是由三幅頻率不同的正弦圖像合成，如圖3所示，尺度由小到大排列，頻率逐漸減??；對合成圖像圖3(d)分別用BLMD和FABLMD進(jìn)行三次分解，其中BLMD采用文獻(xiàn)[10]所提算法，F(xiàn)ABLMD的OSF窗口大小選用式(12)進(jìn)行計(jì)算。首先對兩種方法其中一次分解得到的包絡(luò)面進(jìn)行比較，如圖4所示，可以看出由三角剖分插值得到的上包絡(luò)里明顯存在“過包絡(luò)”現(xiàn)象；相反，OSF估計(jì)得到的包絡(luò)面較平整，不存在“過包絡(luò)”。如圖5、6示，分解得到三幅分量圖像和一幅剩余圖像。

圖3 仿真圖像

圖4 兩種包絡(luò)面計(jì)算方法效果對比

圖5 FABLMD效果

通過對比圖5和圖6兩種算法的分解效果，直觀上可以看出FABLMD分解得到三個(gè)bpf更加接近原相同尺度的仿真圖像，而BLMD的分解結(jié)果明顯偏暗；為客觀的對比兩種算法的特性，統(tǒng)計(jì)兩種算法分解得到每個(gè)分量圖像與相同尺度范圍的仿真圖像的相關(guān)系數(shù)corr2，以及分解三次所用時(shí)間，相關(guān)系數(shù)反映了兩幅圖像的相似度，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。從表1中可以看出，改進(jìn)算法的分解結(jié)果與原仿真圖像的相關(guān)系數(shù)更高，算執(zhí)行時(shí)間更短，這主要得益于利用OSF求局部均值函數(shù)和包絡(luò)估計(jì)函數(shù)的自適應(yīng)性和精確性。

圖6 BLMD效果

表1 兩種算法分解效果對比

接下來用cameraman和lena自然圖像(如圖7所示)來對兩種算法進(jìn)行檢驗(yàn)，相比于仿真圖像，自然圖像含有更多的特征信息，兩種算法的差距更加明顯。分別使用兩種算法對自然圖像進(jìn)行三次分解，并對兩種算法的運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，尺度按從小到大排列，如圖8、圖9所示。然后對分解后的分量圖像進(jìn)行重構(gòu)，結(jié)果見圖10，計(jì)算重構(gòu)后的圖像與原圖像的均方根誤差，均方根誤差是衡量圖像重構(gòu)精度的重要指標(biāo)之一，結(jié)果如表2所示。

圖7 自然圖像

圖8 FABLMD分解效果

圖9 BLMD分解效果

圖10 重構(gòu)效果

表2 均方根誤差對比

通過對比可以看出，在對自然圖像的分解效果上，F(xiàn)ABLMD的運(yùn)行時(shí)間短，分解速度更快；BLMD方法的bpf分量里存在明顯的“黑斑”和“白斑”，這就是“過包絡(luò)”和“欠包絡(luò)”產(chǎn)生的影響，比如lena的肩膀和cameraman的相機(jī)支架的位置；并且分解三次后的殘余圖像中仍然含有一些細(xì)節(jié)信息，分解不徹底；而FABLMD的bpf分量間不同尺度信息得到有效分離，并且改進(jìn)算法分解后的所有分量圖像的重構(gòu)與原始圖像的均方根誤差最??；這種差距來源于FABLMD對圖像中不同頻率成分的提取更加準(zhǔn)確，能夠避免較多的模態(tài)混疊，同時(shí)也展示了新的篩分終止條件對節(jié)約計(jì)算成本所做的貢獻(xiàn)。

對cameraman和lena選擇用式(11)計(jì)算得到的OSF尺寸進(jìn)行FABLMD分解，分解三次的各個(gè)尺度分量與殘余項(xiàng)如圖11所示，通過與圖8進(jìn)行對比，可以看出，當(dāng)濾波器尺寸較小時(shí)，前兩個(gè)分量所含的紋理、邊緣等細(xì)節(jié)更加細(xì)膩，因?yàn)樵肼暿歉哳l信息，因此第一個(gè)分量包含了圖像中的大部分噪聲，選擇較小的統(tǒng)計(jì)濾波器尺寸對圖像進(jìn)行多尺度分析時(shí)，有利于提取噪聲信息，分析噪聲模型；而當(dāng)OSF尺寸較大時(shí)，圖像的大部分信息主要集中在了前兩個(gè)分量里，而剩余分量只是反映了圖像的灰度趨勢，此時(shí)可以選擇對前兩個(gè)分量進(jìn)行重構(gòu)，獲得圖像主要的結(jié)構(gòu)信息，以降低數(shù)據(jù)冗余；所以可以根據(jù)需求的不同，來確定OSF的計(jì)算方式，因而本文所提的改進(jìn)算法在圖像多尺度分析領(lǐng)域更加靈活。

圖11 OSF尺寸為W2時(shí)分解效果

5 全文總結(jié)

本文在BLMD基礎(chǔ)上提出一種改進(jìn)算法，用OSF代替插值算法估計(jì)圖像上下包絡(luò)，能有效降低“過包絡(luò)”和“欠包絡(luò)”情況的發(fā)生；并提出一種新的篩分終止條件，包絡(luò)信號(hào)由相鄰兩次的包絡(luò)估計(jì)函數(shù)相乘得到，避免因?qū)ふ壹冋{(diào)頻信號(hào)而多次循環(huán)，能夠節(jié)約時(shí)間成本；仿真結(jié)果證明了改進(jìn)算法的可行性，并且FABLMD能夠有效抑制圖像多尺度分解產(chǎn)生的模態(tài)混疊現(xiàn)象，得到更準(zhǔn)確的特征提取結(jié)果，是一種更優(yōu)的圖像多尺度分析方法。