一種互聯(lián)系統(tǒng)的分布式結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計方法

杜俊鵬，關(guān)燕鵬

(山西大學自動化系，山西 太原 030006)

1 引言

現(xiàn)實生活中存在著一種系統(tǒng)，如電力系統(tǒng)、通信系統(tǒng)、石化系統(tǒng)等，它們都具有結(jié)構(gòu)復(fù)雜、關(guān)聯(lián)性強、功能全面、影響因素多的特點。稱之為互聯(lián)的大系統(tǒng)[1-5]。特別是隨著互聯(lián)網(wǎng)的興起和發(fā)展，這一跨地區(qū)甚至跨國家的大規(guī)模互聯(lián)系統(tǒng)承擔著科研、教育、商務(wù)等重要任務(wù)，發(fā)展迅速，為社會經(jīng)濟發(fā)展創(chuàng)造了巨大效益。

對于每一個大型互聯(lián)系統(tǒng)，如何建立子系統(tǒng)以及如何規(guī)劃子系統(tǒng)之間的連接和協(xié)調(diào)是核心問題。通常需要部署一系列的控制器，以便對每個子系統(tǒng)進行有效和高效的監(jiān)視和控制。傳統(tǒng)上，這種設(shè)計過程是以分散的方式實現(xiàn)的，即每個控制器只能從自己的子系統(tǒng)感知測量信息，然后實現(xiàn)對自己子系統(tǒng)的控制輸入。這種去中心化的配置結(jié)構(gòu)具有計算量小、設(shè)計復(fù)雜程度低等優(yōu)點，但同時也不可避免地導致了系統(tǒng)性能的惡化和網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中應(yīng)用范圍的限制。事實上，隨著通信技術(shù)和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，控制器可以在地理上分布，也可以遠程調(diào)度。每個本地控制器的信息可以通過一個共享的通信網(wǎng)絡(luò)在它的鄰居之間進行交換。這樣，每個控制器可以使用更多的反饋信息，這就意味著整個互聯(lián)系統(tǒng)的控制性能有望得到改善。

基于以上討論，本文考慮了網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中各子系統(tǒng)控制站之間通信拓撲的設(shè)計問題。首先，如果在每個子系統(tǒng)中都設(shè)置一個控制器，并在每個子系統(tǒng)與其它子系統(tǒng)之間建立一個通信通道，顯然對管理者最有利，并且能夠以最好的效果管理整個控制系統(tǒng)。然而，這種方法在實踐中往往是行不通的。一方面，一般不需要在每個子系統(tǒng)之間建立通信通道，這樣會產(chǎn)生大量的冗余；另一方面，建設(shè)成本也是一個考驗。因此，如何利用較少的通信信道來達到預(yù)期的控制效果是討論的核心問題。那么應(yīng)該在哪些控制器之間搭建通信信道呢？在現(xiàn)有的分布式控制結(jié)果中，分布式控制器之間的耦合關(guān)系通常用固定加權(quán)圖來描述，因此是預(yù)先確定的。換句話說，空間分布式控制器的通信拓撲結(jié)構(gòu)是預(yù)先給定的，在整個設(shè)計和實現(xiàn)過程中保持不變。但是，從工程的角度來看，確定一個控制器是否應(yīng)該從另一個控制器獲取信息可能并不容易，因為必須在安裝成本和系統(tǒng)性能的變化之間進行權(quán)衡，而這是事先不確定的。因此，在充分考慮系統(tǒng)性能要求的前提下，對網(wǎng)絡(luò)化互聯(lián)系統(tǒng)控制器之間的連接進行調(diào)度是十分必要的。

本文假設(shè)滿足實際系統(tǒng)的通信信道的數(shù)目是一個固定值，以此平衡通信成本和控制性能，即將此問題轉(zhuǎn)化為一個稀疏優(yōu)化問題來處理。稀疏優(yōu)化是相關(guān)領(lǐng)域的一個研究熱點[6-10]。在文獻[6]中，設(shè)計了一種交替方向乘子法的稀疏約束方法，經(jīng)驗證可以用一個設(shè)定值控制矩陣的稀疏水平；文獻[7]研究了一類約束條件下的最優(yōu)控制問題，它可以在不增加有限維的情況下求解稀疏最優(yōu)控制問題；文獻[8]中，將一種稀疏正則化原理，應(yīng)用于對模糊圖像的盲復(fù)原上，對目標圖像進行稀疏正則化約束，得到了稀疏性正則化約束目標圖像復(fù)原模型。

然后，把稀疏優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一種勢約束問題，由于勢約束問題的復(fù)雜性，它通常是一種非線性的難解的問題[11]，通常能在投資學、金融學、運籌學等涉及優(yōu)化博弈的領(lǐng)域見到這種問題。在本文中，采用一種混合整數(shù)放松法來解決這種問題。

2 問題描述

2.1 系統(tǒng)框架

如圖1所示，考慮一個由以下形式的p個子系統(tǒng)組成的互聯(lián)系統(tǒng)

(1)

其中：i，j∈{1，2，…，p}，xi(t)∈Rni為系統(tǒng)狀態(tài)向量，ui(t)∈Rmi為系統(tǒng)控制輸入向量，Ai，Bi和Gij表示具有合適維度的常數(shù)矩陣，子系統(tǒng)i和子系統(tǒng)j通過Gij或Gji物理連接，如果子系統(tǒng)j和i之間沒有互相影響，那么耦合矩陣Gij=0。假設(shè)系統(tǒng)沒有丟包現(xiàn)象，所有狀態(tài)都可以測量，分布式網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 互聯(lián)系統(tǒng)的分布式控制框架

2.2 問題提出

分布式控制系統(tǒng)分為p個子系統(tǒng)，具有分布范圍廣、傳感器數(shù)量多、對網(wǎng)絡(luò)傳輸能力要求高的特點?？刂破髟O(shè)計形如(2)式所示

(2)

其中，Ki是控制器增益矩陣，F(xiàn)ij是需要去確定的具有適當維數(shù)的耦合矩陣。從式中可以看出，非零Fij意味著控制器i可以利用xj(t)的信息，而Fij=0意味著i不能利用xj(t)的信息。也就是說，一個非零Fij意味著控制器i和j之間存在著一個有向通信信道。

在現(xiàn)有的相關(guān)文獻中，一般認為控制器只能從相鄰的控制器獲取信息[12-14]，通?？刂破髦g的通信關(guān)系是隨機設(shè)置的，不能確定應(yīng)該提前在哪些控制器之間設(shè)置通信連接。在通信時，通過設(shè)置盡可能多的通信通道來滿足系統(tǒng)的需要。這樣雖然保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但也會在一定程度上浪費資源，建立過多的通信渠道，還容易導致網(wǎng)絡(luò)攻擊[15]，系統(tǒng)的安全性越來越差。在本文中，對控制器之間的耦合通信通道的數(shù)量進行了約束，該約束等價于非零耦合矩陣Fij的數(shù)量。

在上述分析的基礎(chǔ)上，給出以下關(guān)于通信信道數(shù)量限制的定義

(3)

然后將為互聯(lián)系統(tǒng)(1)中設(shè)計的分布式控制器可以表示為

(4)

其中

而0≤κ≤p(p-1)，表示給系統(tǒng)設(shè)置的控制站之間耦合連接的最大允許數(shù)目，如果一個分布式控制器滿足(4)式，就稱其為具有稀疏結(jié)構(gòu)的分布式控制器。

注1：從(4)中可以看出，如果整數(shù)κ=0，設(shè)計的分布式控制器將變成一個分散控制器，而在κ=p(p-1)的情況下，分布式控制器的效果將相當于集中控制器，每一個控制器可以使用所有子系統(tǒng)的狀態(tài)信息[16，17]。

根據(jù)上述分析，得到分布式網(wǎng)絡(luò)閉環(huán)控制系統(tǒng)如下

(5)

其中

x(t)：=col{x1(t)，x2(t)，…xp(t)}

以及

(6)

3 集中式控制器設(shè)計

在本節(jié)中，將建立一個保證閉環(huán)控制系統(tǒng)呈指數(shù)漸近穩(wěn)定的充分條件。使用李雅普諾夫方法來證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。首先引入一個李雅普諾夫函數(shù)

V(t，x(t))=xT(t)Px(t)

(7)

式中P為正定矩陣。

對李雅普諾夫函數(shù)關(guān)于時間t求導可得

(8)

結(jié)合式(5)，上式可表示為

(9)

(10)

可以看出(10)中，存在非線性項，而非線性項不利于問題的解決，對式子兩邊同乘一個P-1，于是上式變?yōu)?/p>

(11)

然后對上式進行變量代換，令

(12)

于是(11)式變?yōu)?/p>

(13)

(13)式為一個不存在非線性項的線性式子，當該式成立時，則系統(tǒng)穩(wěn)定。

4 結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計

基于前面穩(wěn)定性分析的結(jié)果，本節(jié)將對如何設(shè)計分布式稀疏控制器進行具體介紹。受[18，19]中預(yù)先設(shè)定的勢約束的重新提法的啟發(fā)，得到了以下結(jié)果。

(14)

(15)

利用混合整數(shù)法，可以將勢約束問題轉(zhuǎn)化為一個混合整數(shù)規(guī)劃的線性問題，這類線性的規(guī)劃問題可以通過各類線性處理工具比較容易的解決。

然后，考慮了基于上述算法的標準放松

(16)

這里當將yl的取值變成了一個范圍，這并不是很大的變化，但是它拓寬了可行域，一定程度上提高了系統(tǒng)的自由度，此時系統(tǒng)的可行域如圖2所示。然后繼續(xù)考慮增加系統(tǒng)的可行域，首先，定義函數(shù)

圖2 放松后混合整數(shù)法的可行域

(17)

以及

(18)

當d≥0時，可以證明

(19)

(20)

然后再次展開系統(tǒng)的可行域，如圖3所示。

圖3 再次放松的可行域

綜上，帶有勢約束的優(yōu)化問題由于其復(fù)雜性通常難以解決，通過定理1，將這種約束問題轉(zhuǎn)化為一種放松方法進行求解，然后通過yalmip、cplex以及groubi等工具箱可以有效地解決該問題。

結(jié)合定理1和(13)式穩(wěn)定性分析條件，即可設(shè)計出滿足稀疏約束要求的分布式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)控制器。

5 仿真例子

在本節(jié)中，選擇了一個三機電力系統(tǒng)模型進行仿真，以證明上述方法的有效性(對于電力系統(tǒng)的更多動力學和建模，可以參考文獻[19，20])。它的分布式控制系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)組成。每個子系統(tǒng)如下所示

(21)

其中，xi(t)=col{θi(t)-θi0，ωi(t)，Pi(t)-Pi0，Xi(t)-Xi0}表示第i個子系統(tǒng)的狀態(tài)向量；θi(t)表示第i個機器的轉(zhuǎn)子角度；ωi(t)表示第i個機器的相對速度；Pi(t)表示第i個機器的機械功率；Xi(t)表示第i個機器的蒸汽閥門開度；θi0，Pi0，Xi0是前面這些參數(shù)的標稱值；參數(shù)矩陣如下所示

(22)

式中，Dci，Hi，ω0以及矩陣中的其它參數(shù)代表了電力系統(tǒng)中的阻尼系數(shù)、慣性常數(shù)、渦輪增益等相關(guān)參數(shù)。

矩陣Ai和Bi中的參數(shù)值如表1、2所示

表1 矩陣Ai和Bi中的參數(shù)

表2 矩陣Ai和Bi中的參數(shù)

矩陣Gij中的參數(shù)值如下所示

β12=β13=-27.49

β21=β23=-23.10

β31=β32=-23.10

(23)

(24)

其中

(25)

仿真時，取以下數(shù)據(jù)為初始條件

Matlab仿真得到的三個子系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)如圖4、5、6所示。從圖中可以看出，系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的，這也支持了之前的理論推導。

圖4 電力系統(tǒng)子系統(tǒng)1的狀態(tài)響應(yīng)

圖5 電力系統(tǒng)子系統(tǒng)2的狀態(tài)響應(yīng)

圖6 電力系統(tǒng)子系統(tǒng)3的狀態(tài)響應(yīng)

6 結(jié)論

本文提出了一個基于混合整數(shù)放松方法的分布式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計方法，分布式控制器之間的耦合連接的數(shù)量用κ來約束。該方法解決了一類勢約束難題，通過擴展可行域的方法使問題變得更方便、更自由。然后用李亞普諾夫泛函分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后，以電力系統(tǒng)為例說明了該方法的有效性。