理解變化量,探究切割后長方體表面積的策略

李美紅

(浙江省杭州市臨平區(qū)臨平第一小學(xué) 浙江 杭州 311000)

1.測(cè)試的背景

實(shí)際教學(xué)中許多數(shù)學(xué)老師都有這樣的經(jīng)驗(yàn)：長方體表面積的新課教學(xué)中，學(xué)生能根據(jù)實(shí)物很快推導(dǎo)其計(jì)算公式，但是在實(shí)際解決問題的過程中錯(cuò)誤五花八門。尤其是正方體切割后變成了兩個(gè)長方體過程中，產(chǎn)生了新的量。對(duì)于這一典型習(xí)題。他們到底會(huì)想到怎樣的解題策略，采用不同策略的學(xué)生人數(shù)各有多少，這些問題并不十分清楚。為此，筆者給出一個(gè)表面積問題。讓五年級(jí)的兩個(gè)平行班的學(xué)生去解決“一個(gè)正方體切割成兩個(gè)相同的長方體后的表面積計(jì)算。”試圖從學(xué)生的習(xí)題中了解變化量，尋求解決新的長方體表面積的策略，提升學(xué)生的空間觀念。

2.測(cè)試的問題、對(duì)象和過程

2.1 測(cè)試的問題。一個(gè)正方體的表面積是96平方厘米，把它切成兩個(gè)相等的長方體后，每個(gè)長方體的表面積是多少平方厘米？

如果你認(rèn)為做完題目了，請(qǐng)?jiān)谙旅娴摹鮾?nèi)打√

(1)你認(rèn)為這道題目有趣嗎？

很有趣□ 比較有趣□ 一般□ 無趣□

(2)你認(rèn)為這道題目難嗎？

很難□ 比較難□ 一般□ 不難□

(3)做完這道題，你有什么想法？

2.2 測(cè)試的對(duì)象。根據(jù)現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，杭州市臨平區(qū)五年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了正方體的特征。因此，測(cè)試的對(duì)象選擇了小學(xué)五年級(jí)的學(xué)生各一個(gè)班，學(xué)生的年齡是11、12歲，人數(shù)分別是43、44人。

2.3 測(cè)試的過程。某天下午，在學(xué)生不知情的情況下，對(duì)學(xué)生進(jìn)行測(cè)試。在測(cè)試前，沒有給學(xué)生任何的解題提示，直接讓學(xué)生獨(dú)立地解答，并自我記錄做題時(shí)間。如果學(xué)生自己認(rèn)為解題已經(jīng)完成，就把測(cè)試卷交給老師，學(xué)生在解題過程中，沒有任何的討論與交流，整個(gè)測(cè)試過程基本反映了學(xué)生獨(dú)立地在自然情景下解答這一正方體切割成兩個(gè)相同長方體后的表面積的真實(shí)水平。測(cè)試后，我們對(duì)學(xué)生的解題情況進(jìn)行初步整理，在整理的基礎(chǔ)上，選擇了個(gè)別學(xué)生一一進(jìn)行訪談。測(cè)試與訪談在兩天中完成。

3.測(cè)試的結(jié)果

3.1 我校503班44位學(xué)生中有26位學(xué)生能正確解答這個(gè)面積問題，504班43位學(xué)生中有22位學(xué)生能正確解答這個(gè)面積問題。通過匯總數(shù)據(jù)分析我們發(fā)現(xiàn)503班學(xué)生解答這個(gè)面積問題的正確率是59%。504班學(xué)生解答這個(gè)面積問題的正確率是51.2%，有部分學(xué)生不能正確地計(jì)算長方體的表面積。兩個(gè)班的正確率比較接近。

3.2 兩個(gè)班學(xué)生解決實(shí)際問題方法有所不同，學(xué)生思維模式有共性又有差異。細(xì)品學(xué)生每一份測(cè)試卷，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維模式還是超乎老師想象之外，真可謂教學(xué)相長也。主要集中以下幾種策略：

策略一：“從變化的面考慮”

先求一個(gè)面的面積是16平方厘米；再求變化的面的面積是8平方厘米；變化的面有4個(gè)，不變的面的面積有2個(gè)。下面是一名學(xué)生的解答過程：

據(jù)統(tǒng)計(jì)503班有5人采用了這一策略，504班有3人采用了這一策略。這類學(xué)生仔細(xì)觀察了題目給出的圖形，尋找“變”與“不變”的面，從而解決了每個(gè)長方體的面積。由此可見，變化的面和不變的面，學(xué)生都在仔細(xì)觀察思考，這樣的觀察對(duì)教學(xué)意義深遠(yuǎn)。

策略二：“從每個(gè)單一的量考慮”

先求出原來正方體一個(gè)面的面積；再求出新產(chǎn)生面的面積；然后逆向思維推算現(xiàn)在長方體的長、寬、高；最終解決了新的長方體的表面積。

503班有19人采用了這一解題策略，504班有15人采用了這一策略。這類學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，緊緊圍繞課堂學(xué)過的長方體表面積公式，逐一尋找現(xiàn)在的這一個(gè)長方體的長、寬、高的量。這說明了打好扎實(shí)的基礎(chǔ)對(duì)提高學(xué)生靈活解題也起一定的積極作用。

策略三：“從增加的面考慮”

先求出分割后每一部分的面積；再加上增加的一個(gè)面的面積。下面是一名學(xué)生的解答過程：

據(jù)統(tǒng)計(jì)503班有4人采用了這一策略，504班有5人采用了這一策略。這類學(xué)生根據(jù)“每切一下，增加兩個(gè)面的知識(shí)點(diǎn)考慮?！彼季S方式靈活，學(xué)習(xí)潛力很大。教學(xué)中可以作為培養(yǎng)學(xué)生空間思維的深度和寬廣特性。

策略四：“從兩個(gè)整體的長方體考慮”

先解決原來正方體一個(gè)面的面積，圖中新產(chǎn)生了兩個(gè)面的面積，和原來正方體面積之和再除以2就是現(xiàn)在長方體的表面積。如下圖所示：

據(jù)統(tǒng)計(jì)503班有5人采用了這一策略，504班有4人采用了這一策略。這類學(xué)生能從整體和局部出發(fā)考慮問題，思維方式正確。但列綜合算式能力有待提高。教學(xué)中應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo)，不斷培養(yǎng)列綜合算式的習(xí)慣。

策略五：“從轉(zhuǎn)換面的教導(dǎo)考慮”

先求出一個(gè)面的面積；再想分開的合在一起就一共是4個(gè)面的面積。下面是一名學(xué)生的解答過程：

503班有1人采用了這一策略，504班有沒有人采用了這一策略。這類學(xué)生善于把不同面積的兩個(gè)面轉(zhuǎn)化成原有圖形的一個(gè)面，轉(zhuǎn)化思想得到有機(jī)滲透。他們學(xué)的靈活、有趣。學(xué)習(xí)不是負(fù)擔(dān)，能夠多次體會(huì)到學(xué)習(xí)的樂趣。

策略六：“從每個(gè)單一的量考慮”

原來正方體一個(gè)面的面積顯而易見，圖形左右兩個(gè)面沒有變化，上下前后四個(gè)面的面積是原來面積的一半。就是如下所示兩面的面積加上四個(gè)面的面積。

據(jù)統(tǒng)計(jì)503班有3人采用了這一策略，504班有沒有人采用了這一策略。這類學(xué)生能夠從已知條件入手，不斷細(xì)化各個(gè)元素，從而尋求到題目的答案。分析能力強(qiáng)、思維嚴(yán)謹(jǐn)、有序。

策略七：“從總量中減去變化的面考慮”

先求出原來一個(gè)正方體的面積，再用原來的面積總和減去變化的四個(gè)變化面的面積。四個(gè)變化面的面積相當(dāng)于原來一個(gè)面面積的一半。具體步驟如下

據(jù)統(tǒng)計(jì)503班有1人采用了這一策略，504班有沒有人采用了這一策略。這類學(xué)生抓住語文字面意思“減去”的含義入手。減去上、下、左、右四個(gè)面就是原來的兩個(gè)面。文字理解深刻，理解能力強(qiáng)。

3.3 學(xué)生是一個(gè)個(gè)鮮活的生命，他們奇特各異的思維，真是讓老師興奮、激動(dòng)。他們從自身原生態(tài)的思維模式出發(fā)，按照自己最初的想法思考。

認(rèn)知機(jī)構(gòu)有差異、起伏、深度。但是他們具有“整體”、“單一”、看問題的能力；也能滲透“變換”“轉(zhuǎn)換”的數(shù)學(xué)思想；有“變”與“不變”的角度思考的策略；有從字面意思出發(fā)解決的途徑；有從基層落實(shí)著手解決問題的能力。不同的學(xué)生呈現(xiàn)了多種不同的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思考模式。

3.4 題目的有趣性、難度和答題的正確率之間有著比較密切的關(guān)系。我們備課組統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)班對(duì)題目有趣度和對(duì)題目難度的比例各個(gè)層次出奇的接近。興趣是最好的老師，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和愛好是重中之重。

從表1可知，504班學(xué)生認(rèn)為這個(gè)面積題的有趣的程度超過了503班的學(xué)生。班級(jí)差異還是存在的，504學(xué)生喜歡挑戰(zhàn)自我，超越自我的學(xué)風(fēng)更加熱烈些，學(xué)習(xí)積極性更加高漲些。學(xué)生從自己出發(fā)或者從他們最最熟悉的同學(xué)角度去思考給我們的教學(xué)和班上同學(xué)帶來的思維碰撞。下列是他們做完后的真實(shí)想法呈現(xiàn)。

表1 兩個(gè)班學(xué)生對(duì)題目有趣程度認(rèn)定的比例

師：做完這道題，你有什么想法？

生1：這道題不難，我覺得上課認(rèn)真聽和計(jì)算方面都不錯(cuò)的話，做對(duì)這道題75%的可能性是有的。有些圖形題，都要用畫圖表示。

生2：這道題看上去簡單，但公式不懂，意思不懂事做不出來的。

生3：這個(gè)題目是鍛煉我們的想象能力的。

生4：我的想法是：1、其實(shí)很簡單，不要想得太復(fù)雜；2、是平時(shí)做過的題目，積累很重要。

生5：這道題目看似很難，可只要認(rèn)真計(jì)算，仔細(xì)審題，理清頭緒，就很簡單了。

生6：這道題目不是非常難，剛剛做這道題時(shí)，我也想來很久，突然就想到作業(yè)本上有做到過，就按照老師教的思路寫了。

生7：我的想法是：這道題有一點(diǎn)腦筋要轉(zhuǎn)一下的感覺，我想可能對(duì)于一些不怎么愛動(dòng)腦筋的同學(xué)，有一點(diǎn)點(diǎn)的難度；我還覺得這道題目應(yīng)該簡化成為一道較難的填空題。

生8：這道題目可以有多種方式解答，很考驗(yàn)一個(gè)人的多項(xiàng)思維，真心的不錯(cuò)，題型筆記簡單，可以在原有樣板上稍加一些難度，可能會(huì)更加良好，只是我個(gè)人的真實(shí)感覺。

生9：認(rèn)真做事就能成功。

生10：最開始我想成了平方數(shù)，所以做不出來，不過后來寫好了。

生11：學(xué)數(shù)學(xué)就是在探索無窮的奧秘，每一道題都有樂趣，只有自己解答出來才能懂得其中的樂趣。

生12：我的想法是審題認(rèn)真，劃劃重要的詞句。

生13：這道題目簡單，解法多，比較有趣。

生14：做完這道題，我的想法是：題目要看仔細(xì)，不能馬上做，先在腦子里想一下順序再寫。

生15：做題目的時(shí)候不光要清楚題目的條件，如果有圖的話，也要仔細(xì)觀察圖。

生16：我覺得這種類型的題目，主要是在于對(duì)圖形的掌握，把一個(gè)正方體切成兩個(gè)長方體，其實(shí)就是多了兩個(gè)面，所以只要看懂圖形，做這類題目就不難了。

表1中兩個(gè)班覺得有趣和比較有趣的占了將近50%左右。在統(tǒng)計(jì)中筆者還有趣的發(fā)現(xiàn)：部分同學(xué)采用了多種方法解題。將近30%左右的學(xué)生采用了兩種以上的方法來思考。

表2可以看出認(rèn)為一般和不難的學(xué)生占了將近50%，有趣的是這部分學(xué)生的解答過程正確率相對(duì)認(rèn)為難或比較難的學(xué)生來說就高一些。如果我們?cè)诮虒W(xué)中，讓學(xué)生在獨(dú)立解決問題的基礎(chǔ)上，進(jìn)行討論與交流，那么學(xué)生就能相互啟發(fā)，從而促進(jìn)他們有較大的發(fā)展。

表2 兩個(gè)班學(xué)生認(rèn)定題目難度的比例和實(shí)際答題的正確率

3.5 男、女同學(xué)解題情況人數(shù)統(tǒng)計(jì)：

圖一：503班、504班解題正確人數(shù)統(tǒng)計(jì)

圖二：503班、504班解題錯(cuò)誤人數(shù)統(tǒng)計(jì)

圖一中發(fā)現(xiàn)503班男生、女生正確的人數(shù)接近，504班男生正確人數(shù)比女生多；圖二發(fā)現(xiàn)503班男生錯(cuò)誤人數(shù)比女生多，504男生、女生錯(cuò)誤人數(shù)接近。

4.測(cè)試分析 策略研究

4.1 興趣是最好的老師。通過以上學(xué)生對(duì)題目感興趣程度和正確率的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，我們發(fā)現(xiàn)興趣是最好的老師，只有學(xué)生內(nèi)心喜歡數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)，被數(shù)學(xué)的學(xué)科魅力屈服，這樣是真正能學(xué)好數(shù)學(xué)的最高境界。

我們備課組分析學(xué)生、研究學(xué)生,努力從這些方面著手提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

(1)鼓勵(lì)為主，每天網(wǎng)上瀏覽十句夸獎(jiǎng)的話語再進(jìn)課堂。

(2)作用面批交流為主，了解孩子的真實(shí)思維再針對(duì)性教學(xué)

(3)多和家長溝通，表揚(yáng)孩子的優(yōu)點(diǎn)，讓家長配合一起鼓勵(lì)孩子。

(4)課堂注重思維的廣度和深度的拓展，鼓勵(lì)孩子敢想敢發(fā)表。

(5)和孩子們一起享受數(shù)學(xué)課堂，注意語音幽默貼近孩子生活。

4.2 針對(duì)練習(xí)，培養(yǎng)多元策略。圖形的教學(xué)是一個(gè)空間觀念培養(yǎng)的關(guān)鍵時(shí)期，每天的練習(xí)設(shè)計(jì)要緊密聯(lián)系課堂實(shí)際教學(xué)，學(xué)習(xí)了長方體的表面積計(jì)算后，逆向練習(xí)，切割后圖形的練習(xí)設(shè)計(jì)要具體補(bǔ)充，同時(shí)要注重實(shí)際教具的演示過程，注重知識(shí)的形成過程，讓教學(xué)也成為一種樂趣，和學(xué)生一起享受思考帶來的樂趣。

4.3 拓展練習(xí)，提升思維深度。沒有拓展練習(xí)的課堂猶如一池死水，無法激發(fā)學(xué)生探究的欲望。在基礎(chǔ)練習(xí)之后，每節(jié)課都要適當(dāng)安排拓展練習(xí)，類似于切割正方體表面積求長方體表面積這樣可以方法多種多樣，思維拓展，方法各異的練習(xí)。數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科的同時(shí)也要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的開放，提升思維的廣度。從而提升學(xué)生整體的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

我們需要不斷實(shí)踐和探索，追尋兩者的平衡，基礎(chǔ)扎實(shí)，進(jìn)行拓展練習(xí)。兩者結(jié)合展現(xiàn)師生智慧互動(dòng)的火花。

4.4 空間觀念，體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)意義。通過變化的量想，學(xué)生可以從不同的角度來發(fā)展空間觀念，體驗(yàn)每個(gè)面的現(xiàn)實(shí)意義。長方體表面積的計(jì)算可以從單一面出發(fā)，也可以整體思考，可以從增加的面考慮，也可以從減少的面考慮，孩子考慮的角度在變化，同時(shí)其他學(xué)生的思維可以促進(jìn)同學(xué)之間的共同進(jìn)步。通過這些途徑，學(xué)生感知和體驗(yàn)空間與圖形的現(xiàn)實(shí)意義。

4.5 轉(zhuǎn)換思想，知識(shí)融會(huì)貫通。轉(zhuǎn)化的思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)領(lǐng)域，但不管在哪方面，它都是以簡單的、已知的、實(shí)際的、基本的知識(shí)為基礎(chǔ)，將復(fù)雜的化為簡單的，抽象的化為具體的，一般的化為特殊的，非基本的化為基本的，從而得出正確的解答。

學(xué)生與學(xué)生之間的差異是客觀存在的，我們不要也不能期望所有的學(xué)生能夠齊頭并進(jìn)，讓不同的學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上得到不同的發(fā)展才是我們努力的方向。

結(jié)束語

教學(xué)需要積累和反思，且行且思。一個(gè)典型習(xí)題可以折射出教學(xué)問題。從學(xué)生中來的資源，是積累和反思的切入點(diǎn)。通過統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理來分析更科學(xué)、也更有說法力。在積累中反思，在積累中成長。改變教學(xué)行為之前，先改變我們的觀念吧。這關(guān)乎教學(xué)的靈魂和信念，這會(huì)讓我們的教學(xué)行為有了目標(biāo)和歸宿，即便只是一個(gè)習(xí)題也可以這么深入的思考和提煉。我們的教學(xué)真的可以這么快樂而有意義！