基于差錯分析的初中概率計(jì)算題教學(xué)

郝懷銀

摘要：初中概率計(jì)算題主要是古典概型計(jì)算題，并且不需要通過計(jì)數(shù)原理計(jì)算，只需要列舉統(tǒng)計(jì)一次隨機(jī)試驗(yàn)及某個(gè)隨機(jī)事件包含的等可能結(jié)果數(shù)。學(xué)生解題困難的根源在于，不能針對隨機(jī)試驗(yàn)的基本過程或要素進(jìn)行分析，正確得到（表示出）所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果。對此，教學(xué)要重體驗(yàn)，讓學(xué)生感受等可能出現(xiàn)的結(jié)果源自隨機(jī)試驗(yàn)的過程（要素）;重表達(dá)，讓學(xué)生學(xué)會不重不漏地列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：概率計(jì)算;古典概型;學(xué)生錯誤;等可能;樹狀圖

概率計(jì)算是數(shù)學(xué)中考的重要考點(diǎn)之一，題目難度適中，但學(xué)生在解題中頻頻出錯。本文結(jié)合幾道學(xué)生錯誤率較高的概率計(jì)算題，分析差錯原因，梳理教學(xué)對策。

一、初中概率計(jì)算題的典型差錯分析

初中概率計(jì)算題主要是古典概型計(jì)算題，并且不需要（其實(shí)是不能夠，因?yàn)闆]有學(xué)習(xí)過）通過計(jì)數(shù)原理計(jì)算，只需要列舉統(tǒng)計(jì)一次隨機(jī)試驗(yàn)及某個(gè)隨機(jī)事件包含的等可能結(jié)果數(shù)。因此，學(xué)生解題困難的根源在于，不能針對隨機(jī)試驗(yàn)的基本過程或要素進(jìn)行分析，正確得到（表示出）所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果。因而，學(xué)生解題的錯誤集中表現(xiàn)在，憑感覺或從其他主觀臆斷的角度分析，得到一些并不等可能出現(xiàn)的結(jié)果，并據(jù)此進(jìn)行計(jì)算。

最簡單的例子是，同時(shí)拋擲兩枚相同的硬幣一次，有學(xué)生認(rèn)為，朝上的一面等可能出現(xiàn)的結(jié)果有“兩正”“一正一反”“兩反”三個(gè)。實(shí)際上，這三個(gè)結(jié)果不是等可能出現(xiàn)的。正確的解法是，兩枚硬幣整體朝上一面的結(jié)果是兩枚硬幣各自朝上一面的結(jié)果組合決定的，因此等可能出現(xiàn)的結(jié)果有“A正B正”“A正B反”“A反B正”“A反B反”四個(gè)。

下面來看兩個(gè)復(fù)雜一點(diǎn)的例子：

題1把3顆算珠放在計(jì)數(shù)器的3根插棒上構(gòu)成一個(gè)數(shù)字，例如圖1擺放的算珠表示300?，F(xiàn)將3顆算珠任意擺放在這3根插棒上。若構(gòu)成的數(shù)是兩位數(shù)，則十位數(shù)字為1的概率為。

學(xué)生的錯誤解答是：構(gòu)成兩位數(shù)一共有12、21、30三個(gè)等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中十位數(shù)字為1的有1個(gè)，所以概率是13。這里出錯的原因是，學(xué)生得到的結(jié)果不是等可能出現(xiàn)的。正確的解法是，3顆算珠整體擺放的結(jié)果是3顆算珠各自擺放的結(jié)果組合決定的，因此可以逐個(gè)寫出3顆算珠擺放的結(jié)果，形成一個(gè)整體的結(jié)果，從而一一列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果：（十，十，十）、（十，十，個(gè)）、（十，個(gè)，十）、（十，個(gè)，個(gè)）、（個(gè)，十，十）、（個(gè)，十，個(gè)）、（個(gè)，個(gè)，十）。因此，一共有7個(gè)等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中十位數(shù)字為1的有3個(gè)，所以概率為37。

題2某初中每天對全校學(xué)生的午休情況進(jìn)行檢查，初一、初二、初三3個(gè)年級都要被檢查到。某天由甲、乙、丙3名同學(xué)檢查，他們來自3個(gè)不同的年級，每人只能檢查1個(gè)年級。求他們都不檢查自己所在年級的概率。

學(xué)生的錯誤解答是：他們要么檢查自己所在的年級，要么不檢查自己所在的年級，所以概率是12。這里出錯的原因同樣是，學(xué)生得到的結(jié)果不是等可能出現(xiàn)的。正確的解法是，3名同學(xué)整體檢查的結(jié)果是3名同學(xué)各自檢查的結(jié)果組合決定的，因此可以基于題目條件的限制，一一列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果：（初一，初二，初三）、（初一，初三，初二）、（初二，初一，初三）、（初二，初三，初一）、（初三，初一，初二）、（初三，初二，初一）。再假設(shè)3名同學(xué)分別來自初一、初二、初三（其他情況下結(jié)果數(shù)不變），從而找出他們都不檢查自己所在年級的結(jié)果：（初二，初三，初一）、（初三，初一，初二）。最終求出概率為26=13。

此外，還有一類錯誤可以歸結(jié)為審題不清（或缺少生活常識），沒有注意到題目（或生活實(shí)際）已經(jīng)對隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果做了限制，即有些結(jié)果理論上可能發(fā)生，實(shí)際上不可能發(fā)生。例如：

題3小秋打算去某影城看電影。她用手機(jī)打開購票頁面，發(fā)現(xiàn)座位已售和可選情況如圖2所示（虛線框內(nèi)為黃金區(qū)域，其余為普通區(qū)域;深色為已售座位，白色為可選座位）。

（1）小秋獨(dú)自觀影，她選擇第4排或第5排的概率是;

（2）小秋約小葉一同觀影，求她選擇的2個(gè)同排相鄰的座位恰好都在黃金區(qū)域的概率。

解本題時(shí)，有學(xué)生沒有注意到深色為已售座位，不能選擇，不能作為一次試驗(yàn)的結(jié)果，因而出現(xiàn)錯誤。

二、基于差錯分析的教學(xué)建議

（一）重體驗(yàn)，讓學(xué)生感受等可能出現(xiàn)的結(jié)果源自隨機(jī)試驗(yàn)的過程（要素）

概率計(jì)算都是隨機(jī)試驗(yàn)（事件）引發(fā)的，隨機(jī)試驗(yàn)有一定的現(xiàn)實(shí)性與操作性。因此，教師不能讓學(xué)生只憑借想象和思考，抽象地理解隨機(jī)試驗(yàn)，計(jì)算有關(guān)概率，而要充分設(shè)計(jì)實(shí)踐活動，讓學(xué)生親自做隨機(jī)試驗(yàn)，體驗(yàn)試驗(yàn)的基本過程及要素，從而真正地感受到等可能出現(xiàn)的結(jié)果源自隨機(jī)試驗(yàn)的過程（要素），學(xué)會分析概率計(jì)算題中等可能出現(xiàn)的結(jié)果，認(rèn)識概率的本質(zhì)。

比如，設(shè)計(jì)這樣一道題：2封信投到3個(gè)不同的信箱，共有多少種等可能的結(jié)果？課前準(zhǔn)備2個(gè)信封a、b，3個(gè)盒子A、B、C，讓學(xué)生拿著2個(gè)信封去投。學(xué)生在操作過程中，會先拿其中一個(gè)信封去投，再拿另外一個(gè)信封去投，從而能體會到一次試驗(yàn)是投2封信到3個(gè)信箱，2封信都投完，試驗(yàn)才完成。雖然初中沒有教學(xué)分步計(jì)數(shù)原理，但是，可以通過這個(gè)試驗(yàn)讓學(xué)生感受到分步完成。由此，試驗(yàn)結(jié)果就是2封信分別在哪個(gè)信箱，列出來應(yīng)該是（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B）、（C，C）這9種，它們是等可能出現(xiàn)的。此外，還要引導(dǎo)學(xué)生注意到，如果不加區(qū)分，（A，A）和（B，B）、（A，B）和（B，A）等有可能被看成同一個(gè)結(jié)果，而這樣得到的結(jié)果就可能不是等可能出現(xiàn)的，因此，一定要抓住隨機(jī)試驗(yàn)的基本過程或要素，分析所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果。

（二）重表達(dá)，讓學(xué)生學(xué)會不重不漏地列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果

有時(shí)，隨機(jī)試驗(yàn)的基本過程比較復(fù)雜（要素較多），包含的等可能出現(xiàn)的結(jié)果較多。因此，學(xué)生即使知道抓住隨機(jī)試驗(yàn)的基本過程或要素進(jìn)行分析，也很難不重不漏地列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果。對此，教師既要引導(dǎo)學(xué)生抓住隨機(jī)試驗(yàn)的基本過程或要素逐個(gè)有序地思考，也要引導(dǎo)學(xué)生借助列表、樹狀圖等方法清楚地表達(dá)出結(jié)果。一般地，若隨機(jī)試驗(yàn)的基本過程包括兩個(gè)步驟（要素），可以用列表或樹狀圖的方法;若隨機(jī)試驗(yàn)的基本過程包括三個(gè)及以上步驟（要素），最好用樹狀圖的方法。

比如，上述試題1中的隨機(jī)試驗(yàn)就包括三個(gè)步驟（要素），可以用樹狀圖的方法表達(dá)出在沒有“構(gòu)成的數(shù)是兩位數(shù)”的條件限制下（實(shí)際上，此題有第2問，即求構(gòu)成的數(shù)是三位數(shù)的概率，就去掉了“構(gòu)成的數(shù)是兩位數(shù)”的條件限制）所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果（如圖3所示）。

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