復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)中應(yīng)關(guān)注的要點(diǎn)梳理

侯祥偉

(山東省鄒城市第二中學(xué))

復(fù)數(shù)是歷年各省市高考命題的必考點(diǎn),但題目難度不大,屬于學(xué)生不能失分的點(diǎn),其命題視角主要涉及復(fù)數(shù)的基本概念、基本運(yùn)算、復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及復(fù)數(shù)的簡單應(yīng)用等.學(xué)生在學(xué)習(xí)中要準(zhǔn)確把握復(fù)數(shù)的相關(guān)概念,熟練應(yīng)用相應(yīng)的運(yùn)算法則、運(yùn)算技巧等,小題不大做.下面總結(jié)幾個要點(diǎn),供讀者參考.

1 掌握復(fù)數(shù)的基本概念

復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a,b∈R,i為虛數(shù)單位,i2＝－1),其中a為實(shí)部,b為虛部,復(fù)數(shù)是既有“大小”又有方向的量,其“大小”又稱為復(fù)數(shù)的“?！?表示為|z|＝;實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)是共軛復(fù)數(shù);當(dāng)實(shí)部為0,虛部不為0時,z為純虛數(shù),當(dāng)虛部為0時,z為實(shí)數(shù).這些都是復(fù)數(shù)最基本的概念,以這些概念為視角的試題是高考?？碱}型.解題中要注意對概念進(jìn)行辨析.

例1“a＝0”是“復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a,b∈R)為純虛數(shù)”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

學(xué)生在解答本題時,常錯選C.原因是忽視了復(fù)數(shù)z＝a＋bi為純虛數(shù)的條件是a＝0,且b≠0,故正確選項(xiàng)為B.

例2若復(fù)數(shù)z滿足z＋i＝3－i,那么z的虛部是( ).

A.2 B.－2 C.2i D.－2i

學(xué)生在解答本題時,由于對復(fù)數(shù)有關(guān)概念的掌握不扎實(shí),常錯選A 或D.注意虛部是指i的系數(shù),與其前面的符號是一個整體.故正確選項(xiàng)為B.

2 理解復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a,b∈R)與復(fù)平面(實(shí)部為橫軸,虛部為縱軸)內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)一一對應(yīng).當(dāng)z為實(shí)數(shù)時,該點(diǎn)落在橫軸上,當(dāng)z為純虛數(shù)時,該點(diǎn)落在縱軸上(除原點(diǎn)).復(fù)數(shù)也可以與向量建立對應(yīng)關(guān)系,即z＝a＋bi與向量對應(yīng),其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).因此某些復(fù)數(shù)問題可借助向量運(yùn)算來求解.

例3在復(fù)平面內(nèi),“點(diǎn)A在虛軸上”是“點(diǎn)A所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

學(xué)生在解答本題時易錯選C,原因是忽視了特殊點(diǎn),即坐標(biāo)原點(diǎn),它所對應(yīng)的是實(shí)數(shù)0.故“點(diǎn)A在虛軸上”是“點(diǎn)A所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的必要不充分條件.故正確選項(xiàng)為B.

例4已知復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|＝1,|z2|＝1,若z1＋z2＝1＋,則|z1－z2|＝_________.

3 熟練復(fù)數(shù)的運(yùn)算

復(fù)數(shù)的運(yùn)算包括加、減、乘、除以及相等.兩個復(fù)數(shù)相加(減),將實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加(減).復(fù)數(shù)的乘法利用乘法分配律計算.復(fù)數(shù)的除法,利用兩個共軛復(fù)數(shù)之積為實(shí)數(shù)的原理,將分母實(shí)數(shù)化來實(shí)現(xiàn).兩個復(fù)數(shù)相等,即實(shí)部與實(shí)部相等,虛部與虛部相等.其他相應(yīng)的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算方法相同.注意in具有周期性,其最小正周期為4,即i4n＝1,i4n＋1＝i,i4n＋2＝－1,i4n＋3＝－i;若ω＝－,則ω0＝1,ω2＝,ω3＝1;1＋ω＋ω2＝0.另外要注意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小,但其?？梢员容^大小.

例5 若z＝則|z|＝( ).

本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的求解,屬于基礎(chǔ)題,只要準(zhǔn)確計算即可.因?yàn)?所以z＝,所以,故正確選項(xiàng)為B.

例6下列各選項(xiàng)中運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是( ).

A.i(1＋i) B.i2(1－i)

C.i(1＋i)2D.(1＋i)2

純虛數(shù),即實(shí)部為0,虛部不為0,只要利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,逐一將各選項(xiàng)中的復(fù)數(shù)關(guān)系式進(jìn)行計算化簡即可.

選項(xiàng)A,i(1＋i)＝－1＋i,不是純虛數(shù).

選項(xiàng)B,i2(1－i)＝－1＋i不是純虛數(shù).

選項(xiàng)C,i(1＋i)2＝－2不是純虛數(shù).

選項(xiàng)D,(1＋i)2＝2i為純虛數(shù).

綜上,正確選項(xiàng)為D.

4 準(zhǔn)確利用復(fù)數(shù)性質(zhì)

共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):令z＝a＋bi(a,b∈R),其共軛復(fù)數(shù)為＝a－bi,則z與在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱.

實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為其本身.

復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì):‖z1|－|z2‖≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|(復(fù)數(shù)模的三角不等式),|z1·z2|＝|z1|·,|zn|＝|z|n等,熟練利用這些性質(zhì),往往可以快速解題.

例7若復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i,則|z|＝( ).

根據(jù)題目所給關(guān)系式,可知z＝,再結(jié)合復(fù)數(shù)模的性質(zhì),即,得

故正確選項(xiàng)為C.

例8現(xiàn)給出如下所述四個命題.p1:如果復(fù)數(shù)z滿足∈R,那么z∈R;

p2:如果復(fù)數(shù)z滿足z2∈R,那么z∈R;

p3:如果復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1z2∈R,那么z1＝

p4:如果復(fù)數(shù)z∈R,那么∈R.

其中的真命題為( ).

A.p1,p3B.p1,p4

C.p2,p3D.p2,p4

假設(shè)z＝a＋bi(a,b∈R,且z≠0),那么R,據(jù)此可知b＝0,故z∈R,即p1是真命題.

若z＝i,而z2＝i2＝－1∈R,但z＝i?R,所以p2是假命題.

若z1＝z2＝i,則z1z2＝－1∈R,而z1≠z2,所以p3是假命題.

實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)即為其本身,亦為實(shí)數(shù),所以p4是真命題.

綜上,正確選項(xiàng)為B.

5 滲透復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)文化

教育部考試中心在“關(guān)于普通高考考試大綱修訂內(nèi)容”中要求“增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內(nèi)容,積極培育和踐行社會主義核心價值觀,充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用”.比如,在數(shù)學(xué)中增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容.將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合,加強(qiáng)引導(dǎo)學(xué)生對中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的了解.因此近幾年高考題、模擬題或競賽題中出現(xiàn)大量以復(fù)數(shù)為載體的數(shù)學(xué)文化試題,有效地起到這一引導(dǎo)功能.

例9歐拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(e是自然對數(shù)的底數(shù),i是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的,當(dāng)θ＝π時,就有eiπ＋1＝0,根據(jù)上述知識試判斷表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)位于( ).

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

歐拉公式將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,歐拉公式在復(fù)變函數(shù)里占有非常重要的地位.

例10在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a,b∈R)與向量(O為坐標(biāo)原點(diǎn))對應(yīng),設(shè)＝r.以射線Ox為始邊,OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為θ,則z＝r(cosθ＋isinθ).法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理:z1＝r1(cosθ1＋isinθ1),z2＝r2(cosθ2＋isinθ2),則z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)],由此可導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式:[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ).已知z＝＋i)4,則|z|＝( ).

棣莫弗定理與例9中的歐拉公式有緊密的聯(lián)系,如將復(fù)數(shù)改寫為指數(shù)形式,即z1＝r1eiθ1,z2＝r2eiθ2,則z1z2＝r1r2ei(θ1＋θ2).

6 落實(shí)復(fù)數(shù)工具應(yīng)用

復(fù)數(shù)既可以作為考點(diǎn)來考查,也可以作為工具用于解題,在處理某些函數(shù)最值問題或不等式證明問題時,通過構(gòu)造復(fù)數(shù),利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)?？墒箚栴}簡捷獲解,主要的工具就是復(fù)數(shù)模的三角不等式:

例11已知函數(shù)f(x)＝(x∈R),則函數(shù)f(x)的最小值為________.

本題可以利用幾何法求解,即“將軍飲馬”模型,也可以利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)簡捷處理.

將函數(shù)變形得

設(shè)復(fù)數(shù)z1＝(1－3x)＋2i,z2＝3x＋i,則|z1|＝,利用復(fù)數(shù)模的三角不等式得|z1|＋|z2|≥|z1＋z2|＝|1＋3i|＝,故函數(shù)f(x)的最小值為 10.

例12已知a,b,c∈R*,求證:

本題的證明方法很多,可以利用代數(shù)法,也可以利用幾何法.在此利用復(fù)數(shù)法進(jìn)行證明.

結(jié)合所證不等式的結(jié)構(gòu)特征,設(shè)z1＝a＋bi,z2＝b＋ci,z3＝c＋ai,根據(jù)復(fù)數(shù)模的三角不等式得

綜上,復(fù)數(shù)問題難度雖然不大,但要注意易錯、易混問題的辨析,準(zhǔn)確計算,避免造成無謂失分.上述幾個要點(diǎn),希望對學(xué)生的學(xué)習(xí)有所幫助.

(完)